La théorie quantique des champs

Mikael Robertson et Jean-François Beaudoin


Table des matières

Introduction
1 Pourquoi une théorie quantique des champs
 1.1 Mécanique quantique à N particules
 1.2 Mécanique quantique relativiste
  1.2.1 Équation de Klein-Gordon
  1.2.2 Équation de Dirac
  1.2.3 Systèmes où le nombre N de particules change
 1.3 La solution aux problèmes
2 La théorie quantique des champs
 2.1 Formalisme de la théorie quantique des champs
 2.2 Champs libres
  2.2.1 Champ de Klein-Gordon
  2.2.2 Champ de Dirac
 2.3 La théorie quantique des champs : solution aux problèmes physiques
Conclusion


Introduction

Les photons et les électrons semblent avoir les caractéristiques d’un objet agissant à la fois comme un onde et comme une particule et semblent avoir des natures qui sont fondamentalement semblable.En interprétation classique, les électrons et autres particules sont tout de fois vu de façon très différentes que les photons.En effet,le photon provient d’un champ électromagnétique gouverné par les lois de Maxwell et il représente une quantification de ce champ. L’électron est, quant à lui, une particule à part entière et est vu comme un des bloc élémentaire qui forme les choses qui existent dans la nature.Les photons et les électrons peuvent être rammenés sur un même pied d’égalité de deux façon. Soit le photon est la particule à la base du champ électromagnétique, le champ étant une limite du cas où un très grand nombre de photons sont présents. Soit on construit un modèle où il existe pour chaque particule un champ fondamental dont les excitations sont les particules comme on le fait déjà pour le photon.

Ce deuxième choix est celui qui sera retenue dans la théorie des champs quantiques. On se retrouve alors dans un monde où le champ est interpreté comme étant ce qui est le plus fondamental et où la particule devient une excitation du champ qui lui est associé. Les interactions quantiques deviennent alors des termes d’interactions entre les différents champs sous forme de perturbations. La theorie des champs quantique est un cadre vaste qui s’est développé depuis les années 20. Fondamentalement, c’est le cadre qui permet de modéliser quantiquement les système qui, décrit de façon classique, contiennent un très grand nombre ou un nombre infini de degré de liberté. C’est dans l’optique de la théorie des champs que des théories célèbres tel que l’électrodynamique quantique, la théorie électrofaible et le modèle standard sont formulées.

Bien entendue, les physiciens n’ont pas créé cette théorie pour rien. Ce sont les difficultés d’interprétations de la mécanique quantique relativiste qui obligea les scientifiques à reformuler les théories et à y inclure la théorie des champs. Ce travail sera divisé en deux partie. En premier lieu, il y aura la motivation derrière l’apparition de la théorie des champs. Les principales difficultés de la mécanique quantique, particulièrement son extensions relativiste seront présentés.Par la suite, il y aura le développement de la théorie classique des champs et de son formalisme afin de pouvoir faire la quantification canonique du champ de Klein-Gordon et du champ de Dirac. Le but de cette quantification canonique sera de montrer comment une approche utilisant la théorie des champs quantiques permet de régler les problèmes d’interprétations de la mécanique quantique relativiste.


1 Pourquoi une théorie quantique des champs

Cette section donnera une description des problèmes physiques qui sont à la base du développement de la théorie quantique des champs. On y abordera les problèmes de la mécanique quantique appliquée à un nombre arbitraire N de particules ainsi que les problèmes intrinsèques de la mécanique quantique relativiste. On expliquera ensuite clairement pourquoi la théorie quantique des champs a été crée et les principales étapes qui ont menées à son développement.

1.1 Mécanique quantique à N particules

En mécanique quantique, une approche intuitive est inappropriée pour traiter le problème de N particules. En effet, considérons un système de N = 2 particules identiques a et b dans des états u et v orthonormés. Notre connaissance de la mécanique quantique nous porterait à croire que l’état quantique ψ du système de N = 2 particules serait :

|ψ ⟩ = |u⟩a |v⟩b
|ψ ⟩ = |u v ⟩
  a b
|ψ ⟩ = |ab⟩

Or, cette forme n’est pas valide, car elle suppose que l’on puisse distinguer les particules a et b (indices a et b). En mécanique quantique, cela est impossible, car on ne connait pas la trajectoire des particules, mais plutôt leur densité de probabilité de présence dans l’espace. Pour résoudre ce problème, il faut oublier notre intuition et poser un postulat supplémentaire en mécanique quantique, soit le postulat de symétrisation. Ce dernier stipule que les états quantiques sont soit complètement symétriques (dans le cas des bosons), soit complètement antisymétriques (dans le cas des fermions). Par conséquent, il stipule aussi qu’en mécanique quantique, il existe seulement 2 sortes particules discernables, soit les bosons et les fermions. De plus, étant un postulat de la mécanique quantique, cet énoncé est autant valable pour l’état quantique d’une seule particule que pour l’état quantique de plusieurs particules. L’état quantique acceptable ψ du système de N = 2 particules abordé plus haut est alors :

|ψ±⟩ =  1
√--
 2(|u⟩a |v⟩b ±|u⟩b |v⟩a)
|ψ±⟩ = √1-
 2(|uavb⟩±|ubva⟩)
|ψ ⟩
  ± = √1-
 2(|ab⟩±|ba⟩)

Avec le signe +, le système serait un boson alors qu’avec le signe , il serait un fermion. Ainsi de suite, on peut construire l’état quantique acceptable pour un système de N = 3 particules identiques a, b et c dans des états u, v et w orthonormés :

|ψ± ⟩ = -1-
√6-[|u⟩a |v⟩b |w ⟩c + |u⟩c |v⟩a |w⟩b + |u ⟩b |v⟩c |w⟩a±
(|u⟩b |v⟩a |w⟩c + |u ⟩a |v⟩c |w⟩b + |u⟩c |v⟩b |w ⟩a)]
|ψ± ⟩ = √1-
  6[|uavbwc⟩ + |ucvawb⟩ + |ubvcwa⟩± (|ubvawc⟩ + |uavcwb⟩ + |ucvbwa⟩)]
|ψ± ⟩ = √1-
  6[|abc⟩ + |cab⟩ + |bca⟩± (|bac⟩ + |acb⟩ + |cba⟩)]

On observe alors que l’état quantique pour un système de N = 2 particules était composé de 2 termes alors que l’état quantique pour un système de N = 3 particules est composé de 6 termes. En fait, en continuant de former les états quantiques des systèmes à N > 3 particules, il est possible de montrer que ces états auront N! termes. Ce résultat a une conséquence catastrophique sur la complexité des calculs en mécanique quantique pour des systèmes ayant un grand nombre de particules. Étant donné la croissance extrêmement rapide de la fonction factorielle, la complexité du problème devient rapidement une limite de la mécanique quantique. Par exemple, considérons un systèmes de N particules 1,2,3,...N 1,N qui sont dans un état symétrisé ou antisymétrisé ψ. On définit alors un opérateur F :

     N
F = ∑  f
    k=1 k

L’opérateur fk agit seulement sur la kième particule. On calcul alors la valeur moyenne de cet opérateur, soit :

< F > ψ = ⟨ψ|F|ψ⟩
< F > ψ = ⟨ψ| k=1Nf k|ψ⟩

On constate que le résultat comporterait théoriquement N! ×N ×N! termes, ce qui nécessiterait une quantité de calculs énorme si N était moindrement grand. En somme, la mécanique quantique se montre donc limitée dans la résolution de problèmes avec un nombre arbitraire N de particules. En effet, elle se montre défaillante lorsque ce nombre N devient grand.


1.2 Mécanique quantique relativiste

1.2.1 Équation de Klein-Gordon

On peut construire l’équation d’évolution temporelle en mécanique quantique relativiste en procédant de la même façon que pour l’équation du Schrödinger, soit l’équation d’évolution temporelle en mécanique quantique. Tout d’abord, on promouvoit l’hamiltonien H, la quantité de mouvement p et la position ⃗r au rang d’opérateur, soit :

H → Hˆ      ⃗p → ˆP     ⃗r → Rˆ

Afin de simplifier la démarche, on se met en représentation position. En considérant un état quantique arbitraire ψ dépendant du temps t et l’état quantique ⃗r de la représentation position, on a les relations suivantes :

Ĥ|ψ(t)⟩ = i∂
∂t |ψ (t)⟩
 ˆ
P|⃗r⟩ = i⃗
∇|⃗r⟩
Rˆ|⃗r⟩ = ⃗r|⃗r⟩

Alors, considérons le cas le plus simple possible, soit celui d’une particule libre. Dans ce cas, l’hamiltonien classique correspond à l’énergie totale donc E = H. Pour obtenir l’équation d’évolution temporelle en mécanique quantique, on aurait simplement pris l’équation classique de l’énergie d’une particule libre en remplaçant les quantités ci-dessus par leurs opérateurs, soit :

E = p2-
2m + V
H = p2
2m- + V
Ĥ⟨⃗r|ψ(t) = ( ˆ2    )
  P--+ V
  2m⟨⃗r|ψ(t)
i∂Ψ(⃗r,t)
-------
  ∂t = ( (− iℏ∇⃗)2    )
  -------+ V
    2mΨ(⃗r,t)
i∂Ψ(⃗r,t)-
  ∂t = -ℏ2
2m2Ψ(⃗r,t) + V Ψ(⃗r,t)

Évidemment, on reconnaît l’équation de Schrödinger. On utilise alors exactement le même raisonnement pour obtenir l’équation d’évolution temporelle en mécanique quantique relativiste. La seule différence est qu’on utilise plutôt l’équation classique relativiste de l’énergie pour une particule libre comme point de départ, soit la relation de dispersion d’Einstein :

E2 = p2c2 + m2c4
H2 = p2c2 + m2c4
Ĥ2⟨⃗r|ψ(t) = (          )
 ˆP2c2 + m2c4⟨⃗r|ψ(t)
(    )
 iℏ ∂
   ∂t2Ψ(⃗r,t) = (i∇⃗)2c2Ψ(⃗r,t) + m2c4Ψ(⃗r,t)
2∂2Ψ(⃗r,t)
--∂t2--- = 2c22Ψ(⃗r,t) + m2c4Ψ(⃗r,t)

Cette équation se nomme l’équation de Klein-Gordon et elle décrit théoriquement l’évolution d’un état quantique dans le temps de façon cohérente avec la relativité restreinte. On peut la retravailler pour obtenir :

0 = (  ∂2      )
 − --2 + ∇2
   ∂tΨ(⃗r,t) + m2c4
---2-
  ℏΨ(⃗r,t)
0 = 2Ψ(⃗r,t) +   2 4
m--c-
  ℏ2Ψ(⃗r,t)
0 = (         )
 □2 + m2c4-
       ℏ2Ψ(⃗r,t)

On reconnait alors l’opérateur d’alembertien qu’on a représenté ici par , soit la généralisation du concept de Laplacien dans le formalisme de la relativité restreinte. En utilisant justement ce formalisme avec la signature (+,,,), les unités naturelles = c = 1 et la convention de sommation d’Einstein, on peut réécrire cette équation sous sa forme la plus simplifiée, soit :

0 = (∂μ∂μ + m2)Ψ (⃗r,t)
avec :
    ( ∂     )T           ( ∂     )T
∂μ =  --, ⃗∇         ∂μ =  --, − ⃗∇
      ∂t                  ∂t

On obtient donc l’équation de Klein-Gordon sous sa forme simplifiée, soit théoriquement l’équation de Schrödinger relativiste. Malheureusement, cette dernière possède 2 problèmes fondamentaux qui mettent en question sa signification physique et donc l’interprétation physique de la mécanique quantique relativiste. Le premier se voit lorsqu’on la solutionne. Pour se faire, on procède en posant une ansatz comme solution. Intuitivement, sachant que l’onde plane est solution de l’équation de Schrödinger pour une particule libre, on a la choisit comme ansatz :

Ψ(⃗r,t) = Aei(⃗k⃗rωt)
Ψ(⃗r,t) = Aeikμxμ
avec :
     (    )T           (      )T
kμ =  ω, ⃗k         kμ = ω,  −⃗k        xμ = (t, ⃗r)T

On substitue alors cette solution dans l’équation de Klein-Gordon simplifiée :

0 = (∂ ∂μ + m2)
  μAeikμxμ
0 = μμ(      μ)
 Ae−ikμx + m2Aeikμxμ
0 = μ(          μ)
 ikμAe−ikμx + m2Aeikμxμ
0 = iA    μ
(∂μk )eikμxμ iAkμ(   −ikμxμ)
 ∂μe + m2Aeikμxμ
0 = iAkμik μeikμxμ + m2Aeikμxμ
0 = (   μ      2)
 − k kμ + mAeikμxμ
kμk μ = ω2 k2 = E2 p2 = m2
E2 = p2 + m2
E = ±∘-2----2
 p  + m

On arrive à un résultat complètement déroutant, soit l’existence d’une solution Ψ(⃗r,t) d’énergie négative. Ce résultat pose un très grand problème d’interprétation physique, particulièrement en physique quantique. En effet, cela suggère que, dans un système quantique décrit par l’équation de Klein-Gordon, l’état fondamental n’est plus l’état le plus stable, car une particule occupant un tel état pourrait émettre un photon pour aller à un état d’énergie négative. Or, on sait que cela irait totalement à l’encontre des observations expérimentales. Une théorie qui prédit une telle situation n’a donc aucune crédibilité. De plus, aucun argument ne permet de rejeter les solutions d’énergie négative, mis à part le choix arbitraire, ce qui est totalement innaceptable dans une démarche scientifique rigoureuse. L’existence de solutions d’énergie négative prédit donc des réalité absurde qui discrimine la véracité physique de la mécanique quantique relativiste. Il s’agit du premier problème fondamental de l’équation de Klein-Gordon.

Le second problème fondamental de l’équation de Klein-Gordon apparait lorsqu’on étudie la continuité de sa densité de probabilité. En fait, on peut facilement montrer que l’équation de Schrödinger implique une équation de continuité que la densité de probabilité, tel que défini en mécanique quantique, doit satisfaire. Explicitement ici, avec les abréviations Équation de Schrödinger ES et Ψ(⃗r,t) Ψ :

A : ES × Ψ iΨ∂Ψ
∂t- = ℏ2
2m-Ψ2Ψ + V ΨΨ
B : ES× Ψ →−iΨ∂ Ψ∗
----
 ∂t =  ℏ2
---
2mΨ2Ψ + V ΨΨ

On soustrait alors l’équation B à l’équation A :

iΨ∂Ψ-
 ∂t + iΨ  ∗
∂Ψ--
 ∂t =  2
ℏ--
2mΨ2Ψ + V ΨΨ +   2
-ℏ-
2mΨ2ΨV ΨΨ
i(              )
 Ψ ∗∂Ψ-+ Ψ ∂Ψ-∗
    ∂t      ∂t = ℏ2-
2m(Ψ∇2 Ψ∗ − Ψ ∗∇2Ψ )
i∂(Ψ∗Ψ )
--∂t--- = ℏ2
2m-∇⃗(     ∗   ∗   )
 Ψ∇⃗Ψ  − Ψ ⃗∇ Ψ
∂(Ψ ∗Ψ )
---∂t--+  ℏ
2mi-⃗∇(             )
 Ψ ∗∇⃗Ψ − Ψ∇⃗Ψ∗ = 0
∂ρ(⃗r,t)
-------
  ∂t+ ⃗∇⃗J (⃗r,t) = 0

On obtient donc l’équation de continuité associée à l’équation de Schrödinger avec ρ(⃗r,t) la densité de probabilité et J⃗ (⃗r,t) le courant :

         ∗       ⃗      --ℏ-(  ∗⃗      ⃗  ∗)
ρ(⃗r,t) = Ψ Ψ      J(⃗r,t) = 2mi Ψ  ∇Ψ − Ψ ∇Ψ

On procède de la même manière pour trouver l’équation de continuité associée à l’équation de Klein-Gordon. En faisant les abréviations Équation de Klein-Gordon EKG et Ψ(⃗r,t) Ψ et, cette fois, en utilisant le formalisme de la relativité restreinte définit précédemment, on a :

A : EKG × Ψ 0 = Ψ(         )
 ∂μ∂μ + m2Ψ
B : EKG× Ψ 0 = Ψ(∂ ∂μ + m2 )
  μΨ

On soustrait l’équation B à l’équation A :

Ψ(   μ    2)
∂μ ∂ + mΨ Ψ(   μ    2)
 ∂μ∂  + mΨ = 0
Ψ μμΨ Ψ μμΨ + m2ΨΨ m2ΨΨ = 0
Ψ μμΨ Ψ μμΨ = 0
μ   ∗ μ      μ  ∗
(Ψ ∂  Ψ − Ψ ∂ Ψ ) = 0
∂-
∂t(              )
  Ψ∗∂-Ψ − Ψ∂Ψ-∗
     ∂t     ∂t + ⃗∇(Ψ ⃗∇Ψ ∗ − Ψ ∗∇⃗Ψ ) = 0

On remarque alors que l’équation de continuité associée à l’équation de Klein-Gordon a la même forme que l’équation de continuité associée à l’équation de Schödinger, ce qui est logique, car considérer le cas relativiste ne devrait pas changer la forme d’une équation de continuité. De plus, pour assurer la cohérence de l’équation de continuité associée à l’équation de Klein-Gordon, il faut que sa définition de la densité de probabilité ρ(⃗r,t) soit réelle, car une densité de probabilité complexe n’a aucun sens. Observant le terme de densité de probabilité, on multiplie donc l’équation de continuité associée à l’équation de Klein-Gordon par un facteur i et on obtient alors les définitions suivantes pour la densité de probabilité ρ(⃗r,t) et le courant J⃗(⃗r,t) :

        (  ∗∂Ψ-    ∂Ψ-∗)              (     ∗    ∗   )
ρ(⃗r,t) = i Ψ ∂t − Ψ  ∂t        ⃗J(⃗r,t) = i Ψ⃗∇ Ψ − Ψ  ⃗∇Ψ

On constate que la définition de la densité de probabilité ρ(⃗r,t) donne bien un nombre réelle. Cependant, on constate aussi le second problème fondamental de l’équation de Klein-Gordon : cette densité de probabilité ρ(⃗r,t) n’est pas définit positive. En effet, son signe dépend de celui de Ψ(⃗r,t) et de sa dérivé temporelle. Cette mauvaise définition de la densité de probabilité peut mener à des résultats illogiques. Par exemple, en choisissant l’onde plane comme solution Ψ(⃗r,t) utilisée précédemment, on obtient (en unités naturelles) :

ρ(⃗r,t) = i(            (   ⃗     )            (     ⃗    ) )
    −i(⃗k⃗r−ωt)∂  Aei(k⃗r−ωt)      i(⃗k⃗r−ωt)∂  Ae−i(k⃗r−ωt)
(Ae        ------∂t-----− Ae       ------∂t------)
ρ(⃗r,t) = i(                                            )
 − iωAe −i(⃗k⃗r−ωt)Aei(⃗k⃗r−ωt) − iωAei(⃗k⃗r−ωt)Ae −i(⃗k⃗r−ωt)
ρ(⃗r,t) = i(       )
 − 2iω|A|2
ρ(⃗r,t) = 2E|A|2

Alors, tel que démontré précédemment, il existe des solutions d’énergies E négatives et donc de densité de probabilité ρ(⃗r,t) négative. Ce résultat incohérent est une évidence d’une densité de probabilité mal définie. En effet, une densité de probabilité négative n’a aucun sens. Cela implique l’existence de probabilités négatives, ce qui n’est pas définit en mathématique. Il s’agit donc d’un résultat absurde qui n’est pas interprétable dans le cadre de la mécanique quantique relativiste. En somme, l’équation de Klein-Gordon a donc deux grâves problèmes, soit l’existence de solutions d’énergie négative et une densité de probabilité mal définie. La mécanique quantique relativiste avec l’équation de Klein-Gordon n’est donc pas une théorie satisfaisante pour décrire la conciliation de la physique quantique et de la relativité restreinte. L’équation de Dirac est alors développée pour remédier à cette situation.

1.2.2 Équation de Dirac

L’équation de Dirac se veut être une version modifiée de l’équation de Klein-Gordon qui permet de solutionner ses problèmes d’énergies négatives et de densités de probabilté mal définies. L’idée est de considérer que ces problèmes sont causés par la dérivé seconde par rapport au temps présente dans l’équation de Klein-Gordon. Par conséquent, l’équation de Dirac est simplement une version linéarisée en temps de l’équation de Klein-Gordon. De plus, étant donné qu’en relativité restreinte l’espace et le temps sont placés sur un pied d’égalité, dans une version modifiée de l’équation de Klein-Gordon, la linéarisation en temps doit aussi impliquer la linéarisation en coordonnées spatiales. Sachant cela, on arrive qu’à un seul choix possible pour une forme générale de l’équation de Dirac. Dans le formalisme de la relativité restreinte utilisé précédemment et la représentation position, elle s’écrit :

i∂Ψ(⃗r,t)
  ∂t = ĤΨ(⃗r,t)
i∂Ψ(⃗r,t)
  ∂t = (         )
 ⃗α⋅ˆP + βmΨ(⃗r,t)
i∂Ψ(⃗r,t)
  ∂t = (           )
 − i⃗α⋅⃗∇ + βmΨ(⃗r,t)
i∂Ψ(⃗r,t)
  ∂t = (− iα ∂i + βm )
    iΨ(⃗r,t)

Ici, i désigne les coordonnées spatiales uniquement et αi et β sont des constantes à priori. On a donc théoriquement une version linéarisée de l’équation de Klein-Gordon, soit l’équation de Dirac. Cependant, étant donné sa définition même, on devrait pouvoir retrouver l’équation de Klein-Gordon à partir de l’équation de Dirac. On sait que l’équation de Klein-Gordon découle de la relation de dispersion d’Einstein, ici exprimée en coordonnées naturelles :

E2 = p2 + m2

Similairement, en observant l’équation de Dirac, on voit qu’elle découle clairement d’une relation de la forme :

E = ⃗α⋅⃗p+ βm

Par comparaison, on s’attend donc à ce que l’équation de Dirac au "carré", soit l’équation de Dirac appliquée sur elle-même, donne l’équation de Klein-Gordon. On vérifie donc cette égalité :

i∂-
∂t(        )
 i∂Ψ(⃗r,t)
    ∂t = ĤĤΨ(⃗r,t)
∂2Ψ(⃗r,t)-
  ∂t2 = Ĥ2Ψ(⃗r,t)
∂2Ψ(⃗r,t)-
  ∂t2 = (     i     )
 − iαi∂ + βm2Ψ(⃗r,t)
∂2Ψ(⃗r,t)
--∂t2--- = (     i     )
 − iαi∂ + βm (    j     )
 − iαj∂ +βmΨ(⃗r,t)
∂2Ψ(⃗r,t)
--∂t2--- = (                          )
 − αiαj∂i∂j − 2imβ αi∂i +β2m2Ψ(⃗r,t)

Pour que l’égalité soit vérifiée, il faudrait impérativement que le terme croisé soit nul et donc que soit αi = 0 i ou soit β = 0. Or, cela impliquerait nécessairement qu’un des 2 autres termes non croisés serait nul lui aussi et alors on ne retrouverait pas l’équation de Klein-Gordon. En considérant αi et β comme des constantes, il n’y a donc aucun moyen de retrouver l’équation de Klein-Gordon en prenant l’équation de Dirac au « carré », ce qui brise la signification physique de cette dernière. Pour remédier à ce problème, il faut plutôt considérer αi et β comme des matrices hermitiennes. En les considérant comme tel, on a plutôt :

 2
∂-Ψ(⃗r2,t)
  ∂t = (          )
 − iαi∂i + βm(           )
 − iαj∂j + βmΨ(⃗r,t)
 2
∂-Ψ(⃗r,t)
  ∂t2 = (− αiαj∂i∂j − (αiβ + βαi)im ∂i + β2m2 )Ψ(⃗r,t)
∂2Ψ(⃗r,t)
  ∂t2 = (                                         )
 − 1(α α + α α )∂i∂j − (α β + βα )im ∂i + β2m2
   2  i j   j i        i      iΨ(⃗r,t)
∂2Ψ(⃗r,t)
--∂t2--- = (    j    2)
 − ∂j∂ + mΨ(⃗r,t)
∂2Ψ(⃗r,t)
----2---
  ∂t = (        )
 − ∇2 + m2Ψ(⃗r,t)

On obtient donc l’équation de Klein-Gordon tel qu’attendu (exprimée en unités naturelles ici) si les matrices hermitiennes αi et β respectent les relations suivantes :

{αi,αj} = 2δij     {αi,β} = 0     α2 = β2 = I
                                  i

Les {} sont des anticommutateurs et I est la matrice identité. Alors, en utilisant ces relations et l’équation aux valeurs propres et vecteurs propres, on trouve :

αi2 = I    β2 = I
αi2⃗x = I⃗x    β2⃗x = I⃗x
αiαi⃗x = I⃗x    ββ⃗x = I⃗x
λiλi⃗x = I⃗x    λλ⃗x = I⃗x
λi2⃗x = (1)⃗x    λ2⃗x = (1)⃗x
Valeurs propres{αi} = ±1    Valeurs propres{β} = ±1

En utilisant encore ces relations, mais avec la cylicité de la trace d’une matrice maintenant, on trouve :

{αi} = 0    {αi} = 0
αiβ = βαi    βαi = αiβ
αiβ2 = βα iβ    βαi2 = α iβαi
αi = βαiβ    β = αiβαi
Tr(αi) = Tr(βαiβ)    Tr(β) = Tr(αiβαi)
Tr(αi) = Tr(β2α i)    Tr(β) = Tr(αi2β)
Tr(αi) = Tr(αi)    Tr(β) = Tr(β)
Tr(αi) = 0    Tr(β) = 0

Alors, on sait que αi et β ont comme valeurs propres ±1 et une trace nulle. Comme la trace est la somme des valeurs propres, cela implique que αi et β doivent avoir autant de valeurs propres +1 que de valeurs propres 1, soit qu’elles doivent avoir une dimension pair. Sachant cela, la première dimension possible où il pourrait y avoir une solution serait n = 2. Cependant, dans ce cas, il n’existe aucune matrice 2x2 αi et β qui respecte les relations énoncées plus haut. Alors, on vérifie pour la seconde dimension possible, soit n = 4. Dans ce cas, il existe une solution :

    (      )          (     )
αi =  0  σi       β =  I   0
      σi  0            0  − I

Cette solution particulière se nomme la représentation de Dirac avec σi représentant les matrices de Pauli :

     (0  1)          (0   − i)         (1   0 )
σ1 =  1  0       σ2 =  i  0        σ3 =  0  − 1

Tel que démontré précédemment, en utilisant la représentation de Dirac, on peut retrouver l’équation de Klein-Gordon en prenant l’équation de Dirac au « carré ». Dans cette représentation, l’équation de Dirac possède donc une signification physique. Alors, comme pour l’équation de Klein-Gordon, on va alors la solutionner. Afin de nous simplifier la tâche, on commence par la réécrire sous sa forme matricielle explicite :

i∂Ψ-(⃗r,t)
   ∂t = ĤΨ(⃗r,t)
i∂Ψ-(⃗r,t)
   ∂t = (− iα ∂i + βm )
    iΨ(⃗r,t)
i∂Ψ-(⃗r,t)
   ∂t = [(              )  (         ) ]
     0    − iσi∂i     Im    0
   − iσi∂i   0    +    0  − ImΨ(⃗r,t)
i∂Ψ (⃗r,t)
---∂t-- = (  Im    − iσ ∂i)
 − iσ∂i   − Iim
     iΨ(⃗r,t)
EΨ(⃗r,t) = (             )
   Im    − i⃗σ⋅⃗∇
 − i⃗σ⋅⃗∇   − ImΨ(⃗r,t)
i∂Ψ (⃗r,t)
---∂t-- = ( Im   ⃗σ⋅ˆP )
 ⃗σ ⋅Pˆ  − ImΨ(⃗r,t)

On constate alors que l’opérateur Ĥ est fonction uniquement de l’opérateur ˆP, ce qui implique :

Ĥ = f(Pˆ)
ĤPˆΨ(⃗r,t) = f(Pˆ)PˆΨ(⃗r,t)
Ĥ ˆ
PΨ(⃗r,t) = f( ˆ
P)λPΨ(⃗r,t)
ĤPˆΨ(⃗r,t) = λPf(λP)Ψ(⃗r,t)
ĤPˆΨ(⃗r,t) = Pˆf(ˆP)Ψ(⃗r,t)
ĤPˆΨ(⃗r,t) = PˆĤΨ(⃗r,t)
[H,P] = 0

Le [] représente le commutateur. Sachant cela, on solutionne alors la forme matricielle explicite de l’équation de Dirac. Comme elle est une version modifiée de l’équation de Klein-Gordon, on pose une solution similaire à cette dernière, soit une onde plane. Cependant, ici, l’équation de Dirac est une équation matricielle en 4 dimensions contrairement à celle de Klein-Gordon qui est en une seule dimension. Sa solution doit donc être vectorielle, soit avoir la forme :

        (       )
          Ψ1(⃗r,t)
        || Ψ2(⃗r,t)||
Ψ (⃗r,t) = ( Ψ3(⃗r,t))
          Ψ4(⃗r,t)

Ce type de solution se nomme un spineur de Dirac. Particulièrement, ici, il s’agit d’un spineur à 4 composantes. Cependant, comme on a écrit la forme matricielle explicite de l’équation de Dirac comme des matrices 2x2 à l’intérieur d’autres matrices 2x2, on procédera similairement pour sa solution. Au lieu de poser qu’elle soit un spineur de Dirac à 4 composantes, on posera qu’il s’agit d’un spineur à 2 composantes où les composantes sont aussi des spineurs à 2 composantes. Alors, en respectant cette forme, l’ansatz pour une onde plane s’écrira comme :

Ψ(⃗r,t) = ⃗Apei(⃗p⋅⃗r−Et)
avec  ⃗
Ap un spineur à 2 composantes indépendant de ⃗r et t :
     ( ⃗u)
A⃗p =   ⃗v
et ⃗u et ⃗v, eux aussi des spineurs à 2 composantes indépendants de ⃗r et t.

Utilisant cette solution, on constate les relations suivantes pour les opérateurs Ĥ et ˆP :

ĤΨ(⃗r,t) = i∂Ψ-(⃗r,t)
  ∂t    ˆPΨ(⃗r,t) = i∇⃗Ψ(⃗r,t)
ĤΨ(⃗r,t) = i∂-
∂t(           )
 A⃗ ei(⃗p⋅⃗r−Et)
   p    ˆPΨ(⃗r,t) = i∇⃗(           )
  ⃗A ei(⃗p⋅⃗r−Et)
   p
ĤΨ(⃗r,t) = i(iE)(          )
 A⃗pei(⃗p⋅⃗r−Et)    ˆPΨ(⃗r,t) = i(i⃗p )(          )
 A⃗pei(⃗p⋅⃗r− Et)
ĤΨ(⃗r,t) = EΨ(⃗r,t)    ˆPΨ(⃗r,t) = ⃗p Ψ(⃗r,t)

On subsitue alors cette solution dans la forme matricielle explicite de l’équation de Dirac :

i∂Ψ(⃗r,t)
--∂t--- = ĤΨ(⃗r,t)
EΨ(⃗r,t) = ĤΨ(⃗r,t)
EΨ(⃗r,t) = (         ˆ)
  Imˆ  ⃗σ ⋅P
  ⃗σ⋅P  − ImΨ(⃗r,t)
E( ⃗ i(⃗p⋅⃗r−Et))
 Ape = (          )
  Im   ⃗σ⋅⃗p
  ⃗σ⋅⃗p − Im( ⃗ i(⃗p⋅⃗r−Et))
 Ape
E(⃗u)
 ⃗vei(⃗p ⃗rEt) = (Im    ⃗σ⋅⃗p )
  ⃗σ⋅⃗p − Im(⃗u)
 ⃗vei(⃗p ⃗rEt)
(      )
  E  0
  0  E( )
 ⃗u
 ⃗v = (          )
  Im   ⃗σ⋅⃗p
  ⃗σ⋅⃗p − Im( )
 ⃗u
 ⃗v
0 = (E Im)⃗u (⃗σ⃗p )⃗v
0 = (E m)⃗u (⃗σ⃗p )⃗v
0 = (E + Im)⃗v (⃗σ⃗p )⃗u
0 = (E + m)⃗v (⃗σ⃗p )⃗u

On trouve alors la solution de ce système d’équation. Pour se faire, on isole d’abord les spineurs à 2 composantes ⃗u et ⃗v dans chacune des équations :

    --⃗σ⋅⃗p--          --⃗σ⋅⃗p--
⃗u = E − m ⃗v     ⃗v = E + m ⃗u

En substituant alors une des ces relations dans une ou l’autre des 2 équations, on obtient soit un résultat trivial qui solutionne l’équation ou soit l’équation suivante :

0 = (E m)⃗u (⃗σ ⃗p )--⃗σ⋅⃗p--
E + m⃗u
0 = [                     ]
 (E − m )(E + m )− (⃗σ⋅⃗p)2⃗u
0 = [E2 − m2 − p2]⃗u
E = ±∘ -------
  p2 + m2

On obtient l’équation de l’énergie des états quantiques propres solutions de l’équation de Dirac. On trouve alors explicitement ces états. À des fins de simplification, on considère le cas d’une particule libre immobile, soit ⃗p = ⃗0. Par conséquent, les états quantiques propres solutions de l’équation de Dirac s’écrivent comme :

Ψ(⃗r,t) = A⃗pei(⃗p ⃗rEt)
Ψ(⃗r,t) = (  )
  ⃗u
  ⃗veiEt
Ψ(⃗r,t) = ( ⃗u)
  ⃗vei(±m)t

On commence avec les états d’énergie positive (+). Dans ce cas, le système d’équation découlant de l’équation de Dirac implique que le spineur ⃗v = ⃗0. Alors, afin de normaliser les états, des choix naturelles pour le spineur à 2 composantes ⃗u sont :

   (  )         (  )
⃗u =  1       ⃗u =  0
     0            1

On procède de la même manière pour les états d’énergie négative (). Dans ce cas, le système d’équation implique ⃗u = ⃗0. Afin de normaliser les états, des choix naturelles pour le spineur à 2 composantes ⃗v sont alors :

   (1 )         (0 )
⃗v =  0       ⃗v =  1

On peut maintenant obtenir tous les états quantiques propres solutions de l’équation de Dirac pour une particule libre immobile :

E > 0 :    Ψ1(⃗r,t) = (  )
| 1|
|( 0|)
  0
  0eimt    Ψ 2(⃗r,t) = ( )
| 0|
|( 1|)
  0
  0eimt
E < 0 :    Ψ3(⃗r,t) = (  )
  0
|| 0||
( 1)
  0eimt    Ψ 4(⃗r,t) = ( )
  0
|| 0||
( 0)
  1eimt

Encore une fois, on arrive au problème des solutions d’énergie négative. En effet, malgré la linéarisation de la dérivé temporelle faite dans l’équation de Dirac, ce problème est encore présent. Cependant, dans ce cas, Dirac propose une interprétation. En fait, son idée, pour un électron par exemple, est de considérer le vide comme étant une mer d’électron de profondeur infinie où chacun des électrons occuperait un niveau d’énergie propre. Dans cette mer, appelée mer de Dirac, les niveaux d’énergie seraient négatifs, soit de −∞à 0. Dirac propose alors que tous les états d’énergie de la mer de Dirac soient déjà occupés. À ce moment, le niveau fondamental redevient absolument stable, car les états d’énergie négative sont déjà occupés. De plus, dans la théorie de Dirac, lorsque des particules sont crées ou annihilées comme dans des désintégrations par exemple, une petite partie de la mer part dans les états d’énergie positive et un trou se forme dans la mer. Dirac propose que ce trou soit une antiparticule qui occupe un état d’énergie négative. Ainsi, les états quantiques propres solutions de l’équation de Dirac explicités plus haut seraient les états occupés par la particule et son antiparticule. Les états d’énergie positive seraient les 2 composantes de spin pouvant être occupées par la particule tandis que ceux d’énergie négative seraient les 2 composantes de spin pouvant être occupées par l’antiparticule. Par sa théorie, Dirac prédit donc l’existence des antiparticules et fournit une interprétation des solutions d’énergie négative.

Observons alors si l’équation de Dirac solutionne le second problème fondamental de l’équation de Klein-Gordon, soit la densité de probabilité mal définie. Pour se faire, on procède comme avec l’équation de Schrödinger et l’équation de Klein-Gordon. En faisant les abréviations Équation de Dirac ED et Ψ(⃗r,t) Ψ, on a :

A : ED × Ψ iΨ∂Ψ
---
∂t = Ψ(           )
 − iαi∂i + βmΨ
B : ED× Ψ →−iΨ   ∗
∂-Ψ-
 ∂t = Ψ(          )
 iαi∂i + βmΨ

On soustrait l’équation B à l’équation A :

iΨ∂Ψ-
 ∂t + iΨ  ∗
∂Ψ--
 ∂t = Ψ(− iαi∂i + βm )Ψ Ψ(iαi∂i + βm )Ψ
i(            ∗)
 Ψ ∗∂Ψ-+ Ψ ∂Ψ--
    ∂t      ∂t = i(Ψ∗αi∂iΨ +Ψ αi∂iΨ∗) + βmΨΨ βmΨΨ
i∂(Ψ∗Ψ-)
  ∂t = i∂i(α iΨΨ)
∂(Ψ∗Ψ )
--∂t--- + ⃗∇   ∗
(⃗α Ψ Ψ) = 0

On constate donc la forme de l’équation de continuité associée à l’équation de Schrödinger. On constate aussi que la cohérence de cette équation de continuité est déjà assurée, car elle possède une densité de probabilité ρ(⃗r,t) réelle. Il s’agit donc d’une équation de continuité avec les définitions suivantes pour la densité de probabilité ρ(⃗r,t) et le courant ⃗
J (⃗r,t) :

         ∗       ⃗         ∗
ρ(⃗r,t) = Ψ Ψ      J(⃗r,t) = α⃗Ψ Ψ

On constate donc qu’on a bien une densité de probabilité ρ(⃗r,t) définie réelle, mais surtout définie positive. L’équation de Dirac permet donc de régler le problème de la densité de probabilité mal définie. Ainsi, par son explication, Dirac semble avoir solutionné les 2 problèmes fondamentaux de l’équation de Klein-Gordon. Malheureusement, son interprétation n’est pas totalement satisfaisante. En effet, la théorie de la mer de Dirac, pour un électron par exemple, suppose que le vide est composé d’une infinité d’électrons. Par conséquent, cela implique que le vide est composé d’une infinité de charges négatives, ce qui est difficilement justifiable. Ce résultat semble aussi proposer que cette théorie est artificielle, soit qu’elle sert à justifier une hypothèse de Dirac. Cependant, un problème encore plus fondamental de la théorie de Dirac est qu’elle se fonde sur des solutions sous la forme de spineurs et non sous la forme de fonctions d’onde. Le problème des spineurs est qu’ils décrivent un système de plusieurs états quantiques associés à plusieurs particules simultanément et éventuellement une infinité. Ils ne décrivent pas l’état quantique d’une seule particule contrairement aux fonctions d’onde. Alors, l’équation de Dirac qui avait initialement été construite pour une particule libre n’est pas une équation d’évolution temporelle de l’état quantique de cette particule libre comme ce devrait normalement être le cas en mécanique quantique. Par conséquent, l’équation de Dirac n’est pas une équation de Schrödinger relativiste et on ne peut plus parler de la théorie de Dirac comme étant de la mécanique quantique relativiste. En somme, tous ces arguments font de la théorie de Dirac une théorie insatisfaisante, elle aussi, pour joindre mécanique quantique et relativité restreinte.

1.2.3 Systèmes où le nombre N de particules change

On constate donc que formuler rigoureusement la mécanique quantique relativiste à l’aide d’une supposée équation de Schrödinger relativiste engendre plusieurs problèmes. Cependant, il existe un dernier problème fondamental en mécanique quantique relativiste qui est relié uniquement à une notion fondamentale en relativité restreinte. Cette dernière est mise en évidence facilement dans la relation de dispersion d’Einstein :

E2 = p2c2 + m2c4

Il s’agit de la notion d’équivalence entre la masse et l’énergie. Cette équivalence implique que le nombre N de particules dans un système relativiste peut changer, car des particules peuvent être transformées en énergie et vice-versa. Or, une telle situation n’est pas traitable à l’aide de la mécanique quantique et alors, une mécanique quantique relativiste qui traiterait ces problèmes serait tout simplement impossible. En effet, tel que démontré précédemment, en mécanique quantique relativiste, il existe 2 équations d’évolution temporelle possibles pour des états quantiques, soit l’équation de Klein-Gordon ou l’équation de Dirac (formulé ici en unités naturelles) :

0 = (   μ    2)
 ∂μ∂  + mΨ(⃗r,t)
i∂Ψ(⃗r,t)
  ∂t = (     i     )
 − iαi∂ + βmΨ(⃗r,t)

Évidemment, on sait que la solution est, dans le premier cas, une fonction d’onde et, dans le deuxième cas, un spineur à 4 composantes. Alors, on constate qu’il est impossible de formuler un état quantique qui décrit un nombre de particules N qui change dans le temps. Effectivement, dans la première équation, soit l’équation de Klein-Gordon, l’état quantique est associé à une seule particule ou un système de particules et l’opérateur appliqué sur ce dernier ne peut pas faire apparaître un deuxième état quantique. Ainsi, peu importe le temps, il n’y aura toujours qu’un seul état. Cette état pourra être modifié par l’application de l’opérateur, mais il restera toujours un état associé à la particule où au système de particules. Cette équation ne peut donc pas décrire un système où le nombre de particules N change, car cela impliquerait l’apparition ou la disparition d’états quantiques. L’argument est similaire pour la seconde équation, soit l’équation de Dirac. Dans ce cas, l’état quantique est un état quantique multiple associée à plusieurs particules. Encore une fois, l’opérateur de l’équation ne peut que modifier l’état, mais ce dernier reste toujours attaché aux particules qu’il décrit. L’équation ne peut donc pas décrire un changement du nombre N de particules.

En somme, il s’agit d’un problème fondamental de la mécanique quantique relativiste. Bien qu’il n’exclu pas totalement sa véracité étant donné qu’il ne conduit pas à des résultats absurdes, ce problème limite clairement l’utilité d’une mécanique quantique relativiste tel que définie dans cette section. En effet, il met en évidence le fait qu’une telle théorie ne pourra jamais traiter des problèmes où le nombre de particules N change. Or, ces problèmes sont fondamentaux en relativité restreinte. Cela propose donc, encore une fois, que la mécanique quantique relativiste, tel que développée dans cette section, n’est pas une théorie satisfaisante pour joindre la mécanique quantique et la relativité restreinte.


1.3 La solution aux problèmes

À la lumière des principales sections de ce chapitre, on constate donc que la mécanique quantique est loin d’être une théorie parfaite. Bien qu’elle a permis de solutionner et d’interpréter de nombreux problèmes physique, il existe 2 systèmes que la mécanique quantique est incapable de traiter. Il s’agit des systèmes à grand nombre N de particules et des systèmes relativistes. En effet, tel que démontré dans ce chapitre, dans le premier cas, la mécanique quantique est innefficace alors que, dans le deuxième cas, elle conduit à plusieurs problèmes fondamentaux. En somme, on pourrait dire que la mécanique quantique est défaillante pour traiter des problèmes de physique des particules, car dans cette branche on retrouve des systèmes relativistes à grand nombre N de particules.

C’est donc cette défaillance de la mécanique quantique qui motive le développement de la théorie quantique des champs. Cette dernière est tout simplement la solution aux problèmes de la mécanique quantique. Ainsi, on peut maintenant répondre à la question : pourquoi une théorie quantique des champs ? La réponse est tout simplement : afin de traiter quantiquement les problèmes à N particules et les problèmes relativistes. Sachant cela, on peut déjà supposer quelques caractéristiques nécessaires de la théorie quantique des champs sans entrer dans les détails. D’abord, ce devra être une théorie capable de traiter un système composé d’un très grand nombre N de particules. Idéalement, cette théorie devrait être capable de traiter un système ayant une infinité de particule. Elle devrait donc être invariante du nombre de particules d’un système. De plus, cette théorie ne devrait évidemment pas conduire à des solutions d’énergie négative et à des densités de probabilité mal définies. Étant donné les prédictions de Dirac, elle devrait aussi justifier ou invalider l’existence des antiparticules. Bref, ces hypothèses sur la théorie quantique des champs seront le point de départ de son développement au prochain chapitre.

On termine, ici, avec un historique des principaux événements qui ont mené au développement de la théorie quantique des champs :

1926 : Oskar Klein et Walter Gordon développe indépendamment l’équation de Klein-Gordon. L’équation comporte 2 problèmes fondamentaux, soit des solutions d’énergie négative et une densité de probabilité mal définie.

1928 : Paul Dirac développe l’équation de Dirac, une version linéarisée de l’équation de Klein-Gordon, qui solutionne directement le problème de la densité de probabilité mal définie. Cependant, l’équation de Dirac admet elle aussi des solutions d’énergie négative.

1930 : Pau Dirac résout le problème des solutions d’énergie négative de l’équation qui porte son nom en développant la théorie de la mer de Dirac. Cependant, cette dernière n’est pas totalement satisfaisante étant donné qu’elle se base sur des états quantiques multiples (spineurs).

1934 : Wolfgang Pauli et Victor Weisskopf présentent une nouvelle interprétation de l’équation de Klein-Gordon comme étant une équation de champ pour une particule chargée de spin 0. La densité de probabilité devient alors une densité de charge et l’énergie devient définie positive. Les problèmes fondamentaux de l’équation de Klein-Gordon sont solutionnés.

1934 : Similairement à l’équation de Klein-Gordon, l’équation de Dirac est interprétée comme une équation de champ, mais pour une particule chargée de spin 12 cette fois. Encore une fois, la densité de probabilité devient une densité de charge et l’énergie devient définie positive. Les problèmes fondamentaux de l’équation de Dirac sont solutionnés et par conséquent les problèmes fondamentaux de la mécanique quantique relativiste sont aussi solutionnés.

Dans les 2 derniers événements, sous leurs interprétations comme des équations de champ, les équations de Klein-Gordon et de Dirac impliquent les champs de Klein-Gordon et de Dirac. Il s’agit des champs de base de la théorie quantique des champs et ils seront aussi abordés dans la prochaine section.


2 La théorie quantique des champs

Cette section constituera une intoduction modeste à la théorie quantique des champs. Tout d’abord, on y abordera l’idée dérrière la théorie quantique des champs et son formalisme. Ensuite, on appliquera ce formalisme à des champs libres. Particulièrement, on appliquera le formalisme aux champs de Klein-Gordon et de Dirac. Le but sera de montrer qu’en utilisant la théorie quantique des champs pour interpréter les équations de la mécanique quantique relativiste, il est possible de construire des objets où les particules sont représentées par l’application d’opérateur de création et d’annihilation sur un champ. Deux cas seront alors explorés, soit le cas des particules de spin 0 (bosons) avec l’équation de Klein-Gordon et le cas des particules de spin 12 (fermions) avec l’équation de Dirac. Pour terminer, on expliquera clairement comment la théorie quantique des champs solutionne les problèmes soulevés dans la première section.

2.1 Formalisme de la théorie quantique des champs

Pour développer la théorie quantique des champs, on va utiliser la puissance du calcul variationnel et procéder méthodiquement. On commencera par développer une théorie classique des champs à partir de la mécanique Lagrangienne que l’on va ensuite quantifier pour obtenir la théorie quantique des champs. La première étape de cette démarche consiste à considérer un système en mécanique classique. Ce système est décrit par un ensemble de N coordonnées généralisées qi dont le nombre dépend du nombre de degrés de liberté. À ces N coordonnées généralisées sont associés N dérivées q˙i et moments généralisés pi :

˙qi = dqi    pi = ∂L-
     dt          ∂˙qi

On écrit le Lagrangien L de ce système à l’aide des coordonnées généralisées et des dérivées :

L(q, ˙q) = T(˙q) − V (q)
   i i      i      i

Le terme V (qi) est un potentiel quelconque dépendant des coordonnées généralisées alors que le terme T(˙qi) est l’énergie cinétique dépendante des dérivées et définie comme suit :

       ∑N 1
T(q˙i) =   -mi ˙q2i
        i 2

Alors, à partir du Lagrangien, on peut écrire l’action S du système qui est simplement l’intégral du Lagrangien d’un temps t1 à un temps t2 arbitraire :

S = t1t2 L[qi(t),q˙i(t)]dt
S = t1t2 L(qi,q˙i,t)dt

Le principe de moindre action d’Hamilton permet alors de trouver les équations du mouvement pour le système. En effet, ce principe stipule que la seule trajectoire (qi(t),q˙i(t)) qui sera physique sera celle qui minimise la variation de l’action. En d’autre mot, c’est la trajectoire à laquelle correspond un extremum de l’action (généralement un minimum). Mathématiquement, cela se formule comme :

δS = 0
δ t1t2 L(qi,˙qi,t)dt = 0
t1t2 ( ∂L     ∂L      ∂L  )
  --δqi +---δ˙qi +---δt
  ∂qi     ∂q˙i     ∂tdt = 0
t1t2 (                      )
  ∂Lδqi −-d-∂Lδqi + ∂L-δt
  ∂qi     dt∂ ˙qi      ∂tdt = 0
∂L-
∂qi d-
dt∂L-
∂˙qi = 0

On a utilisé l’intégration par partie pour arriver à ce résultat, une démarche bien connue en mécanique langrangienne. On obtient donc les équations du mouvement aussi appellées équations d’Euler-Lagrange. C’est ce résultat qui inspirera la démarche pour développer une théorie classique des champs. En effet, en observant les équations, on constate qu’il y a N équations du mouvement, soit une pour chaque degré de liberté du système. On peut y trouver une ressemblance avec le problème de la mécanique quantique à N particules de la section précédente. Tout comme la mécanique quantique devient défaillante lorsque le nombre de particules N devient grand, la mécanique lagrangienne devient défaillante (complexité de calcul) lorsque le nombre de degrés de liberté N devient grand. Ainsi, nos hypothèses de la première section suggèrent que la théorie quantique des champs devrait régler ce problème pour la mécanique quantique. Alors, intuitivement, la théorie classique des champs devrait régler ce problème pour la mécanique classique (mécanique lagrangienne ici).

Cette hypothèse est aussi la raison pour laquelle on considère premièrement le cas classique pour ensuite en induire le cas quantique. En effet, on constate que la mécanique lagrangienne (mécanique classique) propose une généralisation naturelle vers une théorie traitant N degrés de liberté peu importe la grandeur de N, soit vers une théorie classique des champs. L’idée est simplement de faire tendre ce nombre N de degrés de liberté vers l’infinie. Dans ce cas, on a le changement suivant :

{qi(t)} → ϕ(⃗r,t)

L’ensemble des coordonnées généralisées {qi(t)} tend vers un seul champ ϕ(⃗r,t). L’indice discret i est alors remplacé par le vecteur position continue ⃗r et à un temps donné, le champ est alors définie en tout point de l’espace. Il remplace donc une infinité de coordonnées généralisées, ce qui solutionne le problème du traitement d’un nombre infini de degrés de liberté en mécanique classique (mécanique langrangienne). Pour trouver les équations du mouvement correspondant à ce champ, on utilise exactement le même raisonnement que pour les coordonnées généralisées. Cependant, étant donné la nature continue du champ, on réécrit d’abord le Langrangien comme l’intégrale d’une densité lagrangienne. En faisant l’abréviation ϕ(⃗r,t) ϕ et en travaillant en unités naturelles c = = 1 pour la suite, on écrit ce Lagrangien comme :

      ∫
L(t) =   L(⃗r,t)d3⃗r

L(⃗r,t) est alors la densité langrangienne, soit :

L(⃗r,t) = L(      )
 ϕ,-∂ϕ-
   ∂x μ
L(⃗r,t) = L(ϕ,∂μϕ)
avec :
xμ = (t,  ⃗r)T    x μ = (t,    ⃗r)T
μ = (       )
  ∂-, ⃗∇
  ∂tT    ∂μ = (       )
 -∂, − ⃗∇
 ∂tT

On écrit alors l’action pour ce Lagrangien :

S = t1t2 L(t)dt
S = t1t2 dt RL(⃗r,t)d3⃗r
S = t1t2 RL(ϕ,∂μϕ)dtd3⃗r

R est une région de l’espace choisit arbitrairement tout comme les temps t1 et t2. Ensemble, ils bornent une région de l’espace-temps. Évidemment, la variation du champ ϕ(⃗r,t) sur ces bornes est nulle, soit :

δ(ϕ(⃗r,t1)) = δ (ϕ(⃗r,t2)) = 0    δ(ϕ(⃗y,t)) = 0 ⃗y ∈ Surface de R

Sachant cela, on applique alors le principe de moindre action d’Hamilton. En considérant l’indice i comme désignant uniquement les coordonnées spatiales et en utilisant la convention de sommation d’Enstein, on a :

δS = 0
δ t1t2 RL(ϕ,∂μϕ)d3⃗rdt = 0
t1t2 R(                   )
 ∂L-    --∂L--
 ∂ϕ δϕ+ ∂ (∂μϕ )δ(∂μϕ)d3⃗rdt = 0
t1t2 R∂L
∂ϕ-δϕd3⃗rdt + t1t2 R  ∂L
∂(∂-ϕ)
   μμ(δϕ)d3⃗rdt = 0
t1t2 R∂L-
∂ϕδϕd3⃗rdt + Rd3⃗r t1t2 -∂L---
∂(∂0ϕ)0(δϕ)dt + t1t2 dt R-∂L---
∂(∂iϕ )i(δϕ)d3⃗r = 0
t1t2 R∂L-
∂ϕδϕd3⃗rdt + R(             ∫    (       )    )
 --∂L--   t2    t2    --∂L--
 ∂ (∂0ϕ)δϕ|t1 −  t1 ∂0  ∂(∂0ϕ)  δϕdtd3⃗r + = 0
t1t2 R∂L-
∂ϕδϕd3⃗rdt + t1t2 (          i   ∫ xi2  (       )     )
  --∂L--δϕ|xxi21 −    ∂i  --∂L-- δϕd3⃗r
  ∂(∂iϕ)        xi1     ∂(∂iϕ)dt + = 0
t1t2 R(∂L       (   ∂L  )       (  ∂L  )   )
 ∂ϕ-δϕ− ∂o  ∂(∂0ϕ)  δϕ− ∂i  ∂(∂iϕ)- δϕd3⃗rdt = 0
t1t2 R[       (       )]
 ∂L-− ∂μ  -∂L---
 ∂ϕ       ∂(∂μϕ)δϕd3⃗rdt = 0
∂L-
∂ ϕ μ(      )
 --∂L--
 ∂ (∂μϕ) = 0

Ici, on a utilisé l’intégration par partie par analogie avec les équations d’Euler-Lagrange et on a utilisé les conditions sur les bornes de la région de l’espace-temps définie plus haut. Cette équation tensorielle pour le champ est donc valide dans cette région de l’espace-temps, soit entre les temps t1 et t2 et dans la région spatiale R. Cependant, comme ces bornes sont choisies arbitrairement, l’équation est donc valide en tout point de l’espace-temps. Il s’agit de l’ensemble du formalisme de la théorie classique des champs. Il est résumé en cette seule équation tensorielle. On constate alors la puissance d’une théorie des champs, car cette seule équation contient autant d’information qu’une infinité d’équations d’Euler-Lagrange. On est donc en mesure de traiter facilement le cas d’une infinité de degrés de liberté. Alors, tel que mentionné au début de cette section, on induit la théorie quantique des champs à partir de ce formalisme. Pour se faire, on fait une quantification du champ et de son champ conjugué (appelée seconde quantification) similaire à la quantification canonique de la coordonnée généralisée et de son moment conjugué en mécanique quantique. En effet, pour ce cas, on promouvoit la coordonnée généralisée qi et son moment conjugué pi au rang d’opérateur, soit ˆq i et ˆp i. On impose ensuite les relations de commutation canonique sur ces opérateurs. Cette quantification canonique jumelée avec l’équation de Schrödinger résume alors l’ensemble du formalisme de la mécanique quantique, soit :

qi → qˆi    pi → ˆpi
[ˆqi,ˆpj] = iℏδij
iℏ ∂-|Ψ (⃗r,t)⟩ = Hˆ|Ψ(⃗r,t)⟩
  ∂t

Pour obtenir la théorie quantique des champs à partir de la théorie classique des champs, on procède par analogie avec la quantification canonique en mécanique quantique. En effet, la coordonnée généralisée qi est tout simplement remplacée par le champ ϕ(⃗r,t) et le Lagrangien L est remplacé par la densité lagrangienne L. Alors, on a aussi un champ conjugué π(⃗r,t) qui remplace le moment conjugué pi. Ce dernier est défini à partir du champ de la même manière que le moment conjugué est défini à partir de la coordonnée généralisée, soit :

    -∂L
πi = ∂ ˙ϕi

Alors, tel que pour la quantification canonique en mécanique quantique, on promouvoit le champ ϕ(⃗r,t) et son champ conjugué π(⃗r,t) au rang d’opérateur, soit ˆϕ (⃗r,t) et ˆπ(⃗r,t). On impose ensuite les relations de commutation canonique sur ces derniers. Évidemment, ici, il faut tenir compte du caractère continue des champs et écrire ces relations avec des delta de Dirac au lieu des delta de Kronecker. Cette quantification canonique du champ et de son champ conjugué se nomme la seconde quantification. L’équation d’évolution du champ obtenue plus haut avec la seconde quantification résume alors l’ensemble du formalisme de la théorie quantique des champs, soit :

ϕi → ϕˆi     πi → ˆπi
          ′                ′
[ˆϕi(⃗r,t),ˆπj(⃗r ,t)] = iℏδijδ3(⃗r− ⃗r)
          ′                ′
[ϕˆi(⃗r,t), ˆϕj(⃗r,t)] = [ˆπi(⃗r,t),ˆπj(⃗r ,t)] = 0
       (       )
∂L-− ∂μ  --∂L--  = 0
∂ˆϕ       ∂(∂μˆϕ)

Avec ce formalisme, on constate une propriété très importante de la théorie quantique des champs, soit qu’elle est cohérente avec la relativité restreinte. En effet, on sait qu’un commutateur non nul entre 2 observables implique une relation d’incertitude entre ces 2 observables, soit que la mesure de un vient perturber la mesure de l’autre. Ici, on constate que les commutateurs sont toujours nuls pour des champs évalués simultanément en 2 points de l’espace. Autrement dit, la mesure d’un champ évalué en un point de l’espace ne vient pas perturber la mesure de ce champ ou d’un autre en un autre point de l’espace. Or, s’il y avait une quelconque perturbation, cela impliquerait que l’information pourrait voyager plus vite que la vitesse de la lumière. Ces relations préservent donc le principe de causalité et assure la cohérence de la théorie quantique des champs avec la relativité restreinte. D’ailleurs, cette cohérence est évidente lorsque l’on considère comment on a développé le formalisme de la théorie quantique des champs. Effectivement, on a simplement utilisé la mécanique Lagrangienne et les relations de commutations canoniques, soit des théories générales et cohérentes avec la relativité restreinte. Il n’est donc pas surprenant que la théorie quantique des champs soit cohérente avec la relativité restreinte.

Pour terminer, on constate aussi une similitude apparente entre la mécanique quantique et la théorie quantique des champs, mais il s’agit tout de même de deux théories bien distinctes. En effet, la théorie quantique des champs n’est pas de la mécanique quantique où on fait la quantification canonique pour ensuite faire la seconde quantification. Ce nom signifie plutôt que dans l’histoire, la quantification canonique a été fait avant la seconde quantification. Il a donc une référence purement historique. En fait, en théorie quantique des champs, seul la seconde quantification est faite et la position et son moment conjugué ne sont même pas des opérateurs. Ainsi, malgré leurs similitudes, il est important de séparer théorie quantique des champs et mécanique quantique. En somme, elles servent à prédire la même chose soit l’évolution d’états quantiques d’un système, mais en utilisant une interprétation conceptuellement très différente l’une de l’autre.


2.2 Champs libres

Maintenant que l’on a développé le formalisme de la théorie quantique des champs, on peut l’utiliser pour trouver l’équation d’évolution des états quantiques d’un système. Évidemment, c’est un formalisme qui peut être utilisé pour décrire une multitude de systèmes y compris les systèmes relativistes étant donné sa cohérence avec la relativité restreinte. Ici, on s’intéressera aux systèmes simples qui impliquent des champs libres, soit des systèmes où il n’y a pas plusieurs champs qui interagissent entre eux. Plus précisément, on va analyser les champs reliés aux équations de Klein-Gordon et de Dirac, soit associés au système d’une particule libre relativiste. Il s’agit du champ de Klein-Gordon et du champ de Dirac. On montrera que cette fois, en utilisant la théorie quantique des champs, le problème d’une particule libre relativiste peut être traité quantiquement sans arriver à des résultats absurdes. Explicitement, le but sera de prouver que les champs qui sont solutions aux équations de Klein-Gordon et de Dirac ont les propriétés recherchées et que cette façon de faire règle certains problèmes liés à l’interprétation de ces équations en mécanique quantique. Ces deux champs sont aussi les cas les plus simple et sont utiles uniquement dans une optique purement théorique.

2.2.1 Champ de Klein-Gordon

Le champ de Klein-Gordon est défini par une densité lagrangienne de la forme (pour la suite de cette sous-section, on note les opérateurs champs ˆϕ et ˆπ simplement comme ϕ et π) :

LKG = 1
-
2(μμϕ m2ϕ2)

Il s’agit de la densité lagrangienne de Klein-Gordon incluant la masse. Pour prouver que cette densité lagrangienne correspond bel et bien à un champ obéissant à l’équation de Klein-Gordon, il suffit d’utiliser les formules d’Euler-Lagrange pour un champ.

Les équation d’Euler-Lagrange pour un champ sont définies comme suit.

μ(  ∂L  )
 ∂(∂-ϕ)
    μ∂L
∂ϕ- = 0

Dans le cas de la densité lagrangienne définis plus haut on trouve facilement :

∂LKG--
  ∂ϕ = m2

Pour le premier terme le calcul est un peu plus compliqué.

 ∂L
---KG-
∂(∂μϕ) =   ∂
------
∂(∂μϕ)1
-
2μϕ∂μϕ

On abaisse l’indice d’une des dérivée partielles en faisant apparaître la métrique de l’espace de Minkowski.

=   ∂
∂(∂ϕ-)
   a1
2ημν μϕ∂νϕ

En dérivant cette expression en utilisant la règle du produit, on obtient :

= 1
2(ηνcδ νa cϕ + ηνcδ ca νϕ) = aϕ

On retrouve alors l’équation de Klein-Gordon pour un champ.

μμϕ m2ϕ = 0

Nous sommes maintenant convaincu d’avoir en main un champ dont l’évolution est régit par l’équation de Klein-Gordon.

Comme il a été vu plus tôt dans la partie sur le champ classique pour définir l’hamiltonien du système, on a besoin de poser une densité de quantité de mouvement pour le champ de Klein-Gordon π(x). En utilisant les équations d’Hamilton pour un champ on calcule facilement cette densité :

π(x) = ∂L-
∂ ˙ϕ = -∂-
∂ϕ˙1
2μϕ∂μϕ

Pour voir la solution il suffit d’écrire de façon explicite la somme sur les indices des dérivées partielles et on obtient :

π(x) = ∂--
∂ ˙ϕ[  (        )]
  1 ϕ˙2 − ∇2ϕ
  2
π(x) = ϕ˙

On trouve que la densité de quantité de mouvement est simplement la dérivé temporelle de notre champ. À partir d’ici il est possible de définir l’hamiltonien du système en utilisant les équations du cas classique. L’hamiltonien est simplement l’intégrale de la densité hamiltonienne qui a été défini pour un champ classique comme :

H = (ϕ(x)π(x) L)d3x

H = π(x)2 [  (               )]
 1  ˙ϕ2 − ∇2 ϕ+ m2 ϕ2
 2d3x

= 1
2π(x)2 + [              ]
 1 ( 2     2 2)
 2 ∇  ϕ− m  ϕd3x

= 1
2π(x)2 + 1
22ϕ 1
2m2ϕ2d3x

On trouve alors un hamiltonien contenant trois termes. Le premier terme contient la dérivée temporelle du champ et par le fait même prend en compte l’énergie du champ causée par le mouvement. Le deuxième terme est l’énergie du au gradient du champ. Le troisième terme représente quant à lui l’énergie contenue dans le champ lui-même. Nous avons maintenant en main l’hamiltonien du système mais il ne nous dit pas grand chose sous cette forme. De plus, on a pas encore introduit la composante quantique de notre théorie. On trouve l’équation de Klein-Gordon, mais cette hamiltonien a été trouvé avec des équations purement classique. Pour comprendre pourquoi on introduit la quantification canonique, on commence par écrire la transformée de fourier du champ.

ϕ(x,t) = d3p
(2π)3-eipxϕ(p,t)

Par transformation inverse on trouve :

ϕ(p,t) =   3
-d-x-
(2π)3eipxϕ(x,t)

On peut alors réécrire l’équation de Klein-Grodon et trouver un résultat fort intéressant.

μμ -d3p--
(2π )3eipxϕ(p,t) m2 -d3p-
(2π)3eipxϕ(p,t) = 0

∂2
∂t2  d3x
(2π)3eipxϕ(x,t) −∇2  d3x
(2π-)3-eipxϕ(x,t) m2  d3x
(2π)3eipxϕ(x,t) = 0

( 2
∂2-
∂t + p2 + m2)   3
-d-x3
(2π)eipxϕ(x,t) = 0

(∂2-
∂t2 + ⃗2
p + m2)ϕ(⃗p ,t) = 0

On trouve que sous cette forme le champ de Klein-Gordon ϕ(⃗p ,t) doit pour n’importe quel valeurs de ⃗p être solution à l’oscillateur harmonique oscillant à la fréquence :

ωp = ∘ -------
  ⃗p2 + m2

Donc, la solution la plus générale à l’équation de Klein-Gordon dans cette représentation est une superposition linéaire de l’oscillateur harmonique simple que l’on connait déjà en mécanique quantique. Pour chaque ⃗p on peut associer un oscillateur harmonique oscillant à une fréquence et une amplitude différentes. Il faut maintenant quantifier le champ et pour cela, il faut quantifier cette superposition linéaire d’oscillateur harmonique. On sait déjà comment quantifier un oscillateur harmonique en utilisant les opérateurs d’échelles définis en fonction des opérateurs x et p. Ce processus permet de trouver le spectre de l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique en quelques étapes. En considérant le champ et sa densité de quantité de mouvement associé comme étant des opérateurs et en définissant des opérateurs (ap) et (ap) correspondant aux opérateurs de creations et d’anhiliation de particules l’oscillateur ayant une impulsion ⃗p il est possible de réécrire l’hamiltonien et d’en trouver le spectre. On commence par écrire le champ et sa densité de quantité de mouvement comme la somme de chaque mode de fourier écrit en fonction des leurs opérateurs de création et d’annihilation correspondant. À partir d’ici, ϕ et π sont des opérateurs.

ϕ(x,t) = d3p
(2π)3-  1
∘-----
  2ωp(a⃗pei⃗p  ⃗x + a⃗pei⃗p  ⃗x)

π(x,t) = (i)d3p--
(2π)3√ ---
-√ωp
   2(a⃗pei⃗p ⃗x a⃗pei⃗p ⃗x)

Dans ce cas, de façon analogue à l’oscillateur harmonique en mécanique quantique les relations de commutations pour les opérateur a et a sont :

[a⃗p,a⃗q] = [ †  †]
 a⃗p,a⃗q = 0

[a ,a†]
  ⃗p  ⃗q = (2π)3δ3(⃗p ⃗q )

On a maintenant tout les outils en main pour faire la quantification canonique du champ et trouver le spectre de l’hamiltonien.

En utilisant la définition trouver à partir des équations des champs classiques, on substitue ϕ et π par les expressions avec les opérateurs de créations et d’anihilation provenant de la superposition des modes de fourier des oscillateurs harmoniques et on réécrit l’hamiltonien comme :

H = 1
-
2π(x)2 + 1
-
22ϕ 1
-
2m2ϕ2d3x

= 1
2 π(x)2 + 2ϕ m2ϕ2d3x

    ∫            √-----
  1   d3xd3pd3q  -ωpωq-   i⃗p⋅⃗x   † −i⃗p⋅⃗x    i⃗q⋅⃗x    †−i⃗q⋅⃗x
= 2     (2π)6  [−  2   (ap⃗e    − a⃗pe   )(a⃗qe   − a⃗qe    )
                      1        i⃗p⋅⃗x     † −i⃗p⋅⃗x     i⃗q⋅⃗x     † −i⃗q⋅⃗x
                 +  2√-ωpωq(i⃗pa⃗pe   − i⃗pa⃗pe    )(i⃗qa⃗qe   − i⃗qa⃗qe    )
                          2
                    + -√m----(a⃗pei⃗p⋅⃗x + a†⃗pe−i⃗p⋅⃗x)(a⃗qei⃗q⋅⃗x + a†⃗qe−i⃗q⋅⃗x)]
                      2  ωpωq
(1)

En intégrant sur d3x on obtient plusieurs fonctions delta dirac de la forme δ3(p⃗ ⃗q ). Il est alors possible d’utiliser ces fonctions Dirac pour calculer les intégrales sur q (ou sur p) afin de simplifier de façon significative cette expression. On obtient alors :

H = 1
4 -d3p-
(2π)31--
ωp(ωp2 + ⃗p 2 + m2)(a⃗pa⃗−p + a⃗pa ⃗p) + (ω p2 + ⃗p 2 + m2)(a⃗pa⃗p + a⃗pa⃗p)

Après un peu d’algèbre pour simplifier l’expression on obtient :

H = 1
4  d3p
(2π)3ω⃗p[   †   †  ]
 a⃗pa⃗p + a⃗pa⃗p

Ce qui donne, en utilisant les relations de commutations des opérateurs de créations et d’anihilation :

H =   3
-d-p3
(2π)ω⃗p[                ]
 a†⃗pa⃗p+  1(2π )3δ3(0)
        2

On se retrouve devant une solution qui contient un delta dirac évalué en zéro qui vaut l’infini... Comment faire pour regler le problème ? Il s’agit simplement de comprendre que le deuxième terme de l’hamiltonien n’a pas de signification physique. Pour le voir il faut tout d’abord commencer par définir le vide comme l’état où l’application de l’opérateur d’anihilation donne pour toutes les valeurs d’impulsions :

H|0⟩

On peut donc calculer l’énergie du vide en applicant l’hamiltonien :

H|0⟩ =   3
-d-p3
(2π)ω⃗p[                ]
 a†⃗pa⃗p + 1 (2π )3δ3(0)
       2|0⟩
= -d3p-
(2π)3ω⃗p[                     ]
  †       1    33
 a⃗pa⃗p|0⟩+ 2(2π)δ (0)|0⟩
= [  1         ]
 ω⃗p-(2π)3δ3(0)
   2|0⟩

On trouve donc que l’énergie du vide est infinie. Il y a en fait deux infinis distinctes dans cette intégrales. La première provient du fait que l’espace est infinie et on peut régler le problème en posant des conditions limites périodiques sur notre intégrale. On obtient alors :

(2π)3δ3(0) = lim x→∞ l∕2l∕2d3xeixp| p=o = limx→∞ l∕2l∕2d3x = V

Au lieu d’avoir l’énergie directement on peut maintenant diviser l’énergie de l’état fondamental par le volume pour obtenir une densité d’énergie de la forme :

ϵ0 = E0-
 V = d3p[   ]
 1
 2ω⃗p|0⟩

On voit que cette expression diverge encore. Cependant sous cette forme on peut voir la raison physique pour laquelle on peut éliminer certains infinis. En effet, cette expression représentant la densité d’énergie est la somme de l’énergie fondamentale de chaque oscillateur harmonique possible pour des impulsions allant jusqu’à l’infinie. Notre problème provient du fait que l’on a pas imposé de limite de validité à notre théorie. À ⃗p très élevé, c’est-à-dire à très petites longueur d’ondes où les énergies sont très élevées, il est très probable que la théorie ne soit plus valide et que par le fait même on doit mettre une borne d’énergie supérieur pour laquelle notre théorie est valide afin de ne conserver que les résultats qui ont une signification physique. De plus, étant donné le fait qu’on ne s’interesse qu’à des différences d’énergies et qu’on ne peut jamais mesurer l’énergie du vide, on peut simplement soustraire l’infini à notre hamiltonien pour obtenir :

H =   3
-d-p3
(2π)ω⃗pa⃗pa⃗p

Cette façon de faire est tout à fait légitime car de toute façon il est impossible de mesurer l’énergie du vide et donc la physique que l’on observe « commence » après le vide. Il est interessant de noter que la soustraction de cette infinie basé sur les interprétations de nos expressions est le concept à la base de la renormalisation. La théorie des champs contient énormément de divergences il est donc extrêmement important de savoir comment traiter ces infinies. C’est sous cette forme que l’on peut finalement obtenir le spectre de de l’hamiltonien. On peut vérifier que notre hamiltonien donne bel et bien l’énergie des états excité. On construit les états d’énergie supérieur en appliquant les opérateurs de créations sur l’état fondamental a⃗p(|0⟩). On applique ensuite l’hamiltonien sur ces états d’énergies supérieurs pour trouver le spectre. En sachant que le commutateur [H,ap] = ωp on trouve :

Ha⃗p(|0⟩) = (ωpap) + a pH)|0⟩ = ω p(a⃗p(|0⟩)) + 0

On trouve donc que les états excités par l’opérateur de création et de destruction correspond à un état dont l’énergie est :

Ep = ωp = ∘ -------
  p2 + m2

Il s’en suit naturellement que les états construits avec l’application de plusieurs opérateurs de créations et d’anihilation successifs à des impulsions différentes sur le vide auront comme énergie la somme des ωp de chacuns des états créés. On peut définir l’état |p⟩ qui correspond à l’état ayant comme valeur propre ⃗p et qui est construit en appliquant ap sur le vide et ayant comme énergie Ep = ωp =   -------
∘ p2 + m2. En appliquant le champ sur le vide on trouve alors :

ϕ(x,t)|0⟩ = d3p
(2π)3-  1
∘2-ω--
    p(a⃗pei⃗p  ⃗x + a⃗pei⃗p  ⃗x)|0⟩
= -d3p--
(2π)3∘-1---
  2ωp(ei⃗p  ⃗x)|p⟩

Ce qui peut être interpreté comme étant une particule dans l’espace des configurations.

On peut aussi vérifier que les états possibles créés par les opérateurs de créations et d’anihilations sont bel et bien symmétrique simplement en utilisant le fait que :

[ † †]
 a⃗p,a⃗q = 0

On a simplement dans ce cas :

a⃗pa⃗q|0⟩ = a⃗q,a⃗p|⟩0

Les états sont symmétriques, il est donc possible de mettre deux particules dans le même état i.e :

a⃗pa⃗p|0⟩0

Il s’agit donc d’un champ de boson qui obéit aux statistiques de Bose-Einstein.

Voilà donc comment on peut construire un objet qui respecte l’équation de Klein-Gordon dont les états quantiques peuvent être interpreté comme étant des particules dans l’espace des configurations. Il est donc possible de construire un champ fondamental dont les particules sont les excitations ayant toujours des énergies positives.

2.2.2 Champ de Dirac

Voyons maintenant comment faire la quantification canonique d’un champ qui est solution à l’équation de Dirac. Le champ de dirac est bâtit à partir d’une densité lagrangienne dont les équations du mouvement sont les équations de Dirac. Cette densité est plus complexe car un spin non-nul est associé à chacun des états excités. Pour écrire la densité lagrangienne on définit les matrices γ comme (pour la suite de cette sous-section, on note les opérateurs champs ˆ
ϕ et ˆπ simplement comme ϕ et π) :

    [   0   σk ]
γk =  − σk  0

La densité lagrangienne correspondant peut être écrite comme :

LD = ψ(x)(μ μ m)ψ(x)

En premier lieu, on utilisera le même processus que ce qui a été fait plus haut pour l’équation de Klein-Gordon pour la quantification canonique, c’est-à-dire de traiter le champ comme un opérateur, et de l’exprimer selon les sommes d’ondes planes comprenant des opérateurs de destructions et d’annihilations afin d’écrire l’hamiltonien et essayer d’en trouver le spectre.

On peut dès lors définir la densité de quantité de mouvement π comme étant :

π(x) = ∂L
∂-˙ϕ = iψγ0 =

On voit que la densité de quantité de mouvement n’implique pas de dérivées temporelles. C’est parce que notre lagrangien ne dépend pas des dérivées secondes en temps. On a besoin que d’une seule condition initiale pour ψ et ψ pour définir l’ensemble de l’évolution temporelle.

On promeut le champ et son moment conjugué aux niveau d’opérateur et on obtient les relations de commutations :

[ψα (⃗x),ψβ(⃗y)] = [          ]
 ψ†α(⃗x),ψ†β(⃗y) = 0
[       †  ]
 ψα(⃗x),ψ β(⃗y) = δαβδ(3)(⃗x ⃗y)

Puisqu’on est encore dans un champ libre sans interaction, on peut écrire les opérateurs champs comme une somme d’onde plane avec les opérateurs de création et d’anihiliation b,b,c et c :

ψ(⃗x) = s=12  d3p
(2π3)-  1
∘-----
  2Ep[                       ]
 bs⃗pus(⃗p)ei⃗p⃗x + cs†⃗p vs(⃗p)e−i⃗p⃗x

ψ(⃗x) = s=12 -d3p-
(2π3)∘-1---
  2Ep[s† s†   i⃗p⃗x   s s   i⃗p†⃗x]
 bp⃗u  (⃗p)e   + c⃗pv (⃗p)e,

où les opérateurs b⃗ps créé une particule associé au spineur us(⃗p ) et où c⃗ps créé une particule associé au spineur vs(⃗p ) .

Les seuls commutateurs non-nulles entre les opérateurs de destruction et de création de particules sont :

[r  s†]
 bp⃗,b⃗q = (2π)3δrsδ3(⃗p ⃗q )
[ r s†]
 c⃗p,c⃗q = (2π)3δrsδ3(⃗p ⃗q )

Ayant en main la définition de la densité lagrangienne, des opérateurs de champs et de quelques relations de commutations, il est maintenant possible de se lancer dans l’écriture de l’hamiltonien.

On a la densité hamiltonienne qui peut s’écrire comme :

H = π ˙
ϕ L = ψ(i i + m)ψ

En utilisant les définitions de ψ écrite plus haut, on peut réécrire l’hamiltonien. On a, tout d’abord, en laissant les sommes sur s implicite et en s’assurant d’utiliser la métrique de l’espace de Minkowsky :

(i i + m)ψ =   3
-d-p3-
(2π )∘-1---
  2Ep[                                           ]
 bs⃗p(− γipi + m )us(⃗p)ei⃗p⃗x + cs⃗p†(− γipi + m)vs(⃗p)e− i⃗p⃗x

En utilisant les définition des spineurs vs(⃗p ) et us(⃗p ), on réécrit :

(γip i + m)us(⃗p ) = γ0p 0us(⃗p )
(γip i + m)vs(⃗p ) = γ0p 0vs(⃗p )

On peut donc écrire :

(i i + m)ψ = -d3p--
(2π3)--1---
∘2Ep--[ s 0   s   i⃗p⃗x   s† 0   s   −i⃗p⃗x]
 b⃗pγ p0u (⃗p)e   + c⃗p γ p0v (⃗p)e

L’hamiltonien vaut alors :

H = d3γ0(i i + m)ψ
H = d3xd3qd3p
 (2π)6∘ ----
  Ep--
  4Eq[br†ur†(⃗p)ei⃗q⃗x + csvs†(⃗p)e−i⃗p⃗x]
 q            ⃗p[bsγ0p us(⃗p)eip⃗⃗x + cs†γ0p vs(⃗p)e−i⃗p⃗x]
  ⃗p   0          ⃗p    0

= -d3p-
(2π)6∘ ----
  -Ep-
  4Eq[br†bs[ur†(⃗p)⋅us(⃗p)]+ crcs†[v†(⃗p)⋅vs(⃗p)]− br†cr† [ur(⃗p)†⋅vs(− ⃗p)]+ cr bs†[vr(⃗p)†⋅us(− 
  p ⃗p              ⃗p ⃗p             ⃗p  −⃗p                ⃗p −⃗p

Pour simplifier cette expréssion, il faut se souvenir que les spineurs ont les relations suivantes :

ur(⃗p )us(⃗p ) = vr(⃗p )vs(⃗p ) = 2p 0δrs
ur(⃗p )vs(⃗p ) = vr(⃗p )us(⃗p ) = 2p 0δrs = 0

On peut alors réduire l’expression à :

H = d3p--
(2π )3E⃗p(           )
 bs†bs − cscs†
  ⃗p ⃗p   ⃗p ⃗p

=  d3p
(2π)3E⃗p( s† s   s† s      3 (3)  )
 b⃗p b⃗p − c⃗p c⃗p + (2π) δ (0)

Le dernier terme, qui vaut l’infinie, peut être éliminé de la même façon que pour le champ de Klein-Gordon. Il ne représente donc pas un énorme problème. Le deuxième terme, par contre, est beaucoup plus problématique. L’hamiltonien n’a pas de borne inférieur et il serait possible de créer des état ayant des énergies négatives infinie. Évidemment, c’est complètement absurde et physiquement impossible. Pour régler le problème, il faudra utiliser le fait que les particules de spins 1/2 sont des fermions et donc que, par le fait même, ils obéissent au principe d’exclusion de Pauli. Pour résoudre l’impasse, il faut revenir en arrière et changer quelques définitions. L’équation de Dirac est définie pour des particules ayant des spins demi-entier. Le principe d’exclusion de pauli nous dit que ce genre de particules doivent obéir à la statistique de Fermi-Dirac. Concrètement pour résoudre le problème il faut comprendre que physiquement il faut définir nos champs de façon à ce qu’ils obéissent à des relations d’anticommutation. En imposant ces conditions, on a alors les relations :

{ψα(⃗x),ψβ(⃗y)} = {           }
 ψ †α(⃗x ),ψ†β(⃗y) = 0
{           }
 ψα(⃗x),ψ†β(⃗y) = δαβδ(3)(⃗x ⃗y)

Par conséquent les opérateurs de création et d’anihilation obéissent aux relations :

{  r s†}
  b⃗p,b⃗q = (2π)3δrsδ3(⃗p ⃗q )

{  r s†}
  c⃗p,c⃗q = (2π)3δrsδ3(⃗p ⃗q )

Une fois ces relations définies, on reprend le calcul de l’hamiltonien. Dans ce cas, le calcul est exactement le même, mais à l’avant dernière ligne on obtient, en utilisant la relation d’anticommutation au lieu de la relation de commutation :

H =  d3p
----3
(2π)E⃗p(b⃗psb⃗ps c⃗psc⃗ps)

= d3p--
(2π)3E⃗p(b⃗psb⃗ps + c⃗psc⃗ps (2π)3δ(3)(0))

On ignore encore la constante infinie et on se retrouve devant un hamiltonien ayant une borne inférieur.

H =  d3p
(2π)3E⃗p(b⃗psb⃗ps + c⃗psc⃗ps)

On peut encore une fois définir l’état du vide comme étant l’état qui donne zéro lorsqu’on applique des opérateurs de destructions i.e :

b⃗ps|0⟩ = c⃗ps|0⟩ = 0

L’hamiltonien a alors les relations de commutations avec les opérateurs de créations et d’anihilations :

[   r]
 H,b⃗q = E⃗pb⃗pr

[H, br†]
    ⃗q = E⃗pbr⃗p

[H,cr]
    ⃗q = E⃗pc⃗pr

[     ]
 H, cr⃗q† = E⃗pcr⃗p

On a donc la même situation que dans le cas du champ de Klein-Gordon où on peut construire des états propres correspondant à l’énergie des particules en appliant à répétition les opérateurs de créations sur le vide. De plus, avec les relations d’anti-commutations, on trouve bel et bien des états anti-symmétrique qui respecte la statistique de Fermi-Dirac. En effet, si on définie un état à deux particules et que l’on échange deux particules on obtient :

bp⃗1s1b⃗p2s2|0⟩ = bp⃗2s2b⃗p1s1|0⟩

Nos particules obéissent bel et bien à la statistique de Fermi-Dirac. Il est aussi possible de voir que les opérateurs b et b sont associés au fermions tandis que les c et c sont associés à des antifermions.

En prenant l’opérateur courant définie comme :

jμ = ψγμψ

avec :

μjμ = 0

jμ est toujours conservé. On peut définir une charge correspondant à ce courant :

Q = d3xj0 = d3xψγ0ψ = d3γ0ψ

En prenant un champ ψ solution à l’équation de Dirac on obtient :

Q = -d3p--
(2π )3(          )
 bs†bs− cs†cs
  ⃗p ⃗p   ⃗p ⃗p

On trouve donc que les opérateurs de créations c⃗ps sont associés à des valeurs de charge inversé par rapport au opérateurs de créations b⃗ps. Ce sont donc des antiparticules. Ce qu’on vient de montrer est important car en couplant le champ de dirac avec le champ electromagnétique, ce résultat permet de prédire l’apparition des anti-électrons sans avoir de particules ayant des énergies négatives.


2.3 La théorie quantique des champs : solution aux problèmes physiques

On peut tout de suite remarquer qu’il n’y a plus le problème à N-corps. En effet, on ne traite plus des particules de façon individuelles, ce qui compte c’est le champ qui a une infinité de degré de liberté. On a juste à s’occuper du champ, les particules sont les excitations du champ. On remarque aussi que la conservation du nombre de particules est un autre problème qui se règle triviallement. En effet, en arrêtant de travailler avec des fonctions d’ondes, il suffit d’appliquer des opérateurs de créations et d’annhilations ayant les bonnes propriétées sur les champs pour faire apparaître ou disparaître les particules.

On remarque aussi que la symmétrisation et l’anti-symmétrisation apparaît de façon naturelle. Bien qu’en mécanique quantique aucune raison physique fondamentale obligait les particules à être identique, ici les particules étant relegué au rang de simples excitations il est facile de comprendre pourquoi les particules sont toutes identiques. De plus, l’anti-symmétrie des fermions apparaît de façon naturelle car comme il a été montré plus haut les champs doivent avoir des relations d’anticommutations pour que l’hamiltonien ait une borne inférieur. Le formalisme de la théorie des champs et la quantification canonique des champs respectant l’équation de Klein-Gordon et l’équation de Dirac nous on aussi permis de régler une partie des problèmes d’interprétation de la mécanique quatique relativiste.

En effet, en utilisant ces équations pour traiter des champs au lieu de fonctions d’ondes on se retrouve devant des équations qui n’ont pas le problème des énergies négatives. On se souvient, en effet, que la contribution énergétique des particules pour le champ de Klein-Gordon et le champ de Dirac est toujours positive. On balai aussi le concept de densités de probabilités négatives. Ces équations ne traitent plus de fonctions d’ondes mais bien de champs, les solutions ne sont pas des densités de probabilités et le problème se rêgle de lui-même. On voit aussi que des particules ayant une charge opposé existe dans l’équation de Dirac. Mais celles-ci, contrairement à l’interprétation que Dirac en faisait, apporte tout de même une contribution positive à l’énergie du système.

La chose la plus importante est de se rendre compte que ces équations (Klein-Gordon et Dirac) ont de véritable sens physique uniquement lorsqu’elles traitent des champs. L’interprétion originale que les physiciens on fait de ces équations comme étant une extension relativiste de l’équation de Shrödinger apportait des problèmes qui se règle naturellement lorque l’on comprend que ce qui est à la base du monde physique c’est les champs et que les particules ne sont que les niveaux d’énergies excités de ces champs.


Conclusion

En conclusion, après avoir obtenu des équations en mécanique quantique pour le cas des particules relativistes, les physiciens se sont rendu compte que les équations donnaient des résultats qui semblaient incohérents et qui ne permettaient pas de traiter certaines situations de la relativité restreinte.

La théorie des champs quantique change complètement l’interprétion des équations et permet de résoudre plusieurs problèmes théoriques. Cette nouvelle façon de voir les choses dans le monde quantique fut un véritable changement de paradigme et encore aujourd’hui ces concepts sont à la base d’une foule de domaine de la physique moderne.

Par la suite, les scientifiques ont pu faire des modèles de plus en plus complexes en ajoutant des termes d’interactions dans les champs pour expliquer une foule de phénomènes. Le modèle standard qui permet d’expliquer le zoo de particule que l’on peut mesurer expérimentalement est une théorie des champs quantique. D’ailleurs, la théorie ayant la plus grande précision expérimentale, c’est à dire l’electrodynamique quantique, est une théorie basée sur la théorie des champs quantique et permet d’expliquer beaucoup plus en détails l’interaction entre la matière et la lumière que la théorie classique.

Bibliographie

Références

[1]    Charlotte Elster. Relativistic quantum mechanics, chapter 3, 2006. (http ://www.physics.gla.ac.uk/˜d  miller/lectures/RQM_2008.pdf).

[2]    Luc Marleau. Introduction à la physique des particules, chapitre 4, 2016. (http ://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/intl/fr/marleau_ppnotes.pdf).

[3]    David J. Miller. Relativistic quantum mechanics, 2008. (http ://www.physics.gla.ac.uk/˜
d
   miller/lectures/RQM_2008.pdf).

[4]    Hitoshi Murayama. Relativistic quantum mechanics, 2002. (http ://hitoshi.berkeley.edu/221b/Dirac.pdf).

[5]    John W. Norbury. Quantum field theory, 2000. (http ://www.desy.de/˜m  artillu/QFT.pdf).

[6]    George Sterman. An Introduction to Quantum Field Theory. Cambridge University Press, 1993.

[7]    David Tong. Lectures on quantum field theory, 2006. (http ://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html).

[8]    Frank Wilczek. Quantum field theory. Rev.Mod.Phys.71, 1999.