La théorie Kaluza-Klein dans l’expérimentation

Rédigé par Astrid Vauthier

Introduction

Pour qu’un nouveau modèle physique soit admis comme étant valide il est indispensable qu’il soit pourvu d’une théorie solide, mais également de vérifications expérimentales corroborant cette théorie. Ainsi ces deux aspects de la physique sont étroitement liés. C’est pour cette raison que dans cette section nous présenterons des expériences attachées de près ou de loin à la théorie de Kaluza-Klein (KK).

Tout d’abord, on expliquera brièvement en quoi l’observation de dimensions supplémentaires est vraiment compliquée en laboratoire et pourquoi les tests expérimentaux d’une théorie sont souvent difficiles à réaliser.

Dans un second temps, on présentera un test expérimental de l’existence d’une cinquième dimension pour la gravité KK. Cette expérience, bien qu’assez ancienne (1999), fera la preuve qu’il est impossible de prouver, en laboratoire, l’existence d’une cinquième dimension.

Puis, on s’intéressera à la taille que pourrait avoir la cinquième dimension d’espace-temps de la théorie KK. Cette dimension étant enroulée sur elle-même, l’expérience aura pour but de trouver son rayon.

Enfin pour terminer, on s’intéressera à la matière noire. La théorie KK n’en est pas le point central, mais celle-ci propose des particules pouvant être candidates à la matière noire. Dans cette partie, on développera les différents types de recherches existants pour prouver l’existence d’une matière noire KK et l’on exposera certains résultats obtenus sur différentes expériences.

Les tests expérimentaux

Dans le domaine des hautes énergies, les vérifications d’un modèle théorique sont toujours très longues et particulièrement ardues à obtenir. Il existe plusieurs explications à ce fait. Tout d’abord le prix exorbitant du matériel nécessaire. En effet, les accélérateurs de particules ou autres détecteurs sont des outils dont les constructions sont longues et coûteuses. De plus pour pouvoir obtenir des résultats exploitables, il est nécessaire de récolter énormément de données, ce processus prend également beaucoup de temps. En général, il n’est donc pas aisé de vérifier une théorie par l’expérience.

Il faut toutefois mettre en évidence que de telles vérifications expérimentales sont très difficiles à obtenir dans le cas de la théorie KK. En effet, les dimensions supplémentaires dont il est question ne peuvent être observées directement. En théorie ces dimensions sont enroulées sur elles-mêmes avec un diamètre de l’ordre de la longueur de Planck, à savoir $10^{-35}$ m. Il faut donc contourner le fait que cet enroulement ne soit pas perceptible directement par le monde physique. C’est ce que propose la première expérience que nous allons décrire.

Existence d’une cinquième dimension en gravité Kaluza-Klein

Il serait intéressant d’expliquer, tout d’abord, quel est le but des expériences visant à confirmer des théories telles que celle de Kaluza-Klein. Dans la majeure partie des cas, on cherche à mettre en évidence l’existence des champs scalaires associés à la théorie. Il faut donc chercher des effets, qui sont visibles, dus à la présence de ces champs scalaires.

Présentation de l’expérience

Dans le cas de théorie KK, le plus souvent on cherche à montrer que les changements de coordonnées dans la cinquième dimension d’espace-temps entrainent une modification du ratio charge électrique versus masse pour une particule élémentaire du modèle standard. Étant donné qu’aucune expérience n’a pu mettre en évidence un tel changement, on peut en déduire que l’effet d’un changement de coordonnées est vraiment faible.

C’est pourquoi en 1999, V. Dzhunushaliev et D. Singleton proposent une autre possibilité de test pour prouver l’existence de dimensions supérieures. L’idée se base sur deux postulats:

• L’univers est composé de plusieurs régions dont certaines admettent la gravité dans leurs cinq dimensions tandis que d’autres sont des régions ordinaires où la gravité agit que dans quatre dimensions.
• Les régions de gravité à cinq dimensions peuvent être gonflées par un champ électromagnétique très puissant.

Description du processus

Selon le rapport des champs électrique et magnétique, il est possible d’obtenir différentes formes de flux (voir figure 13). Dans le cadre de cette expérience, on s’intéresse au cas où l’on forme un objet wormhole (WH). Pour un observateur, un tel objet apparait comme deux charges, appelées dyons (objets ayants une charges électrique et magnétique). Ces dernières devraient se trouver sur une surface représentant la frontière entre les régions à quatre et cinq dimensions.

Figure: Schéma des différentes formes de flux selon le rapport de E et H. L’objet Wormhole est représenté par le troisième. [13]

Figure: Schéma explicatif de ce qui est observé entre les dyons. [13]

Pour pouvoir différencier ces deux charges, il faut que la force extérieure appliquée sur chaque charge soit plus forte que la force d’interaction entre ces deux (figure 14). Dans ce cas pour que les équations d’Einstein soient respectées, il faudrait que le champ électrique E soit de l’ordre de $10^{57}$ V/m, cette valeur n’est pas atteignable en laboratoire. Cependant bien que ces hypothèses nous montrent qu’une telle expérience ne peut être menée en laboratoire, cela ne signifie pas que l’on ne peut pas observer de tels objets. En effet, dans l’univers il se pourrait que ces objets existent grâce, par exemple, aux forts champs magnétiques qui entourent les étoiles à neutrons.

Calcul du rayon d’une dimension enroulée de Kaluza-Klein

Il est intéressant de se demander quelle est la taille approximative d’une dimension enroulée sur elle-même dans un scénario Kaluza-Klein. Une expérience effectuée à Fermilab basée sur la recherche de graviton KK propose certains résultats.

Présentation de l’expérience

L’expérience menée au Collider Detector de Fermilab dans le but de chercher de façon directe une production de graviton KK date du début des années 2000. Les données ont été récupérées lors de collisions protons – antiprotons à une énergie $\sqrt{s} = 1.8$ TeV à une luminosité de 84 pb$^{-1}$. Ces données sont comparées à des scénarios KK de dimensions 3+1+n. n étant le nombre de dimensions supplémentaires et prenant la valeur 2, 4 ou 6.

Dans ce cadre, on suppose que le modèle standard est confiné dans un espace à trois dimensions lui-même imbriqué dans un volume de dimension supérieure. Ce volume est compacté. La gravité est la seule force à se propager dans tout le volume disponible. Le champ gravitationnel qui se propage peut être vu comme un ensemble d’états KK. Dans un modèle comme celui-ci on obtient une relation entre l’énergie de Planck dans l’espace à trois dimensions M$_{pl}$, celle à cinq dimensions M$_D$, et le rayon des dimensions enroulées R. Dans cette étude le volume des dimensions supplémentaires est censé être un tore.

$$M^2_{pl} = 8 \pi R^n M^{2+n}_D$$

On sait que M$_{pl}$ est de l’ordre de $10^{19}$ GeV. Pour le cas le plus optimiste il est décidé que M$_D$ est environ égal à 1 TeV. Cet ordre de grandeur est préférable puisque c’est à cette échelle que la gravité devient forte dans l’espace. Avec ces valeurs on trouve les valeurs suivantes pour R: $10^{11}$ m, 1 mm, 10 nm et 10 fm pour n = 1, 2, 4 et 6 respectivement.

Par la suite, l’expérience tendra à rechercher une limite haute pour la valeur de M$_D$ selon le nombre de dimensions supplémentaires. Puis grâce à cette limite, il pourra être déduit le rayon du tore en fonction de n.

Recherche des événements à traiter

Les diagrammes de Feynman d’une production de gravitons dans une collision protons-antiprotons sont les suivants (figure 15):

Figure 15: Diagrammes de Feynman au premier ordre pour la production de gravitions dans une collision protons anti-protons. [14]

Les interactions des gravitons KK peuvent alors être observées soit par émission directe ou soit par échange virtuel dans les processus normaux du modèle standard. Étant donné que les gravitons passent au travers du détecteur sans interagir ou même se désintégrer les évènements recherchés sont donc des évènements à grande énergie transverse manquante. De plus, les quarks et gluons formés vont, eux, se désintégrer et former des jets de particules hadroniques. La signature des évènements recherchés a maintenant été définie.

Événements obtenus et limites sur l’énergie de Planck

Les événements retenus lors du tri des données sont donc une large énergie transverse manquante ainsi qu’un ou deux jets de particules très énergétiques. On obtient le graphe de la figure 16.

Figure: Nombres d'évènements en fonction de l'energie tranverse manquante [14]

On voit sur ce diagramme le nombre d’évènements obtenus après les coupures nécessaires en fonction de l’énergie transverse manquante. Un point positif est que les observations sont en accord avec la prédiction du modèle standard. Cependant, le nombre d’évènements diminue lorsque l’énergie transverse manquante augmente. Ceci fait perdre de l’information quant au type d’évènements qui nous intéresse.

Néanmoins, il est possible d’obtenir, grâce à une méthode Monte Carlo, une limite supérieure du nombre d’évènements de signal, c'est-à-dire de production de gravitons KK. Cette limite est fixée à 62 évènements. Il est à présent possible de trouver une limite pour l’énergie de Planck M$_D$ en fonction du nombre de dimensions supplémentaires. En effet, le nombre d’évènements signal pour chaque dimension étant connu il est possible de les comparer avec la limite obtenue précédemment. Le graphique suivant (figure 17), permet de confirmer que l’énergie de Planck effective est inférieure à 1 Tev, 0.77 TeV et 0.71 TeV pour n = 2,4 et 6 respectivement.

Figure: Nombre d'évènements attendus en fonction de l’énergie de planck [14]

Avec ces valeurs de M$_D$, on trouve immédiatement les limites associées au rayon des dimensions supplémentaires compactées, à savoir: R < 48 mm, 0.014 nm et 42 fm pour n = 2, 4 et 6 respectivement. On peut également préciser qu’une expérience similaire a été menée à l’expérience D0. Les résultats trouvés pour la limite supérieure de M$_D$ sont cohérents avec ceux trouvés dans cette expérience.

Matière noire Kaluza-Klein

Dans cette section, on développera l’intérêt qu’une théorie comme celle de Kaluza-Klein représente dans la recherche de particules pouvant être des candidates à la matière noire.

Tout d’abord, on rappellera brièvement ce qu’est la matière noire et pourquoi les particules censées représenter cette matière ne peuvent faire partie du modèle standard. Ensuite, on expliquera dans quelle mesure les particules KK peuvent être une bonne piste à suivre pour trouver de quoi est formée la matière noire. Enfin, on se concentrera sur les expériences mises en jeu pour mettre en évidence de la matière noire KK et l’on détaillera les différents types de recherches qui existent dans ce but.

Rappel sur la matière noire

La matière noire est une sorte de matière jusqu’à présent supposée, pour expliquer, entre autres, la masse des galaxies. Elle composerait environ 22% de la densité énergétique de l’Univers, soit cinq fois plus que la matière connue.

La composition de cette matière hypothétique reste à ce jour inconnue. Cependant, il est connu, grâce à certaines observations, que la matière noire est de nature non baryonique ce qui implique qu’elle ne peut pas être constituée de particules connues du Modèle Standard. Les particules exotiques qui pourraient faire partie de la matière noire sont appelées WIMPs (weakly interacting massive particle). Parmi ces dernières, on peut compter des partenaires supersymétriques tels que le neutralino, mais également des particules issues des modes Kaluza-Klein.

Matière noire Kaluza-Klein

La théorie des dimensions supplémentaires UED (Universal Extra Dimension) propose une WIMP s’appelant Kaluza-Klein Dark Matter (KKDM). Les paramètres de cette théorie impliquent des changements en ce qui concerne la nature de KKDM, mais les observations cosmiques ou encore certaines données de collisionneurs peuvent indiquer certaines propriétés de cette particule.

UED à une dimension supplémentaire

Dans ce cas particulier se rapprochant de la théorie de Kaluza-Klein où il y a une seule dimension supplémentaire, un observateur de l’espace à quatre dimensions à une image différente des particules du Modèle Standard. En effet, l’observateur va voir un ensemble d’états Kaluza-Klein pour chaque particule. La particule du Modèle Standard représente le mode 0 de ces états. Les modes supérieurs sont censés avoir une masse: $M_j = \frac{1}{R}$ où j est le mode. Dans cette théorie, la particule candidate à la matière noire serait la particule KK la plus légère (LKP). Étant donné que la matière noire doit être neutre, non baryonique et sans couleur, la LKP devrait représenter le premier mode KK de bosons neutres ou de neutrinos.

Calculs des sections efficaces de LKP

Il existe deux types de couplages entre les particules du Modèle Standard et les premiers modes des états KK, qui sont:

• Couplage entre des Higgs KK ou des fermions KK avec un boson du Modèle Standard
• Couplage entre un boson KK + un fermion KK ou un boson KK + un Higgs KK avec un fermion ou un Higgs du Modèle Standard.

Si on suppose que les particules de premier mode KK ont toutes la même masse à cause de la brisure de symétrie électrofaible, on peut dire que les masses des particules du Modèle Standard sont alors négligeables. Les sections efficaces de chaque processus sont alors trouvées de façon ordinaire. À partir de maintenant, on choisit de montrer quels peuvent être les résultats obtenus pour deux particules KK particulières, à savoir le photon KK, noté B(1) et le neutrino KK, noté $\nu$(1).

Figure 18: Diagrammes de Feynman pour l'annihilation de B(1). [15]

Masses limites de la LKP

Dans cette partie on exposera différents résultats obtenus pour les masses limites de B(1) et $\nu$(1). On sait que le photon KK peut s’annihiler suivant plusieurs canaux, soit en paire de fermion-antifermion ou en paire de Higgs. Les diagrammes de Feynman pour l’annihilation en fermions sont à la figure 18.

Lorsqu’on suppose que les autres particules du modèle ont des masses qui ne contribuent pas, alors avec la section efficace on trouve que la limite sur la masse de B(1) est: $900 < m_{B(1)} < 1200$ [GeV].

En ce qui concerne la particule $\nu$(1), il existe trois annihilations possibles. En effet, on suppose que $\nu$(1) existe en égale quantité par rapport à son anti particule. Il y a donc $\nu$(1) qui peut s’annihiler tout comme sont anti partenaire, mais $\nu$(1) peut s’annihiler avec son anti partenaire également. D’où les trois annihilations différentes. Dans ce cas, on trouve une limite sur la masse qui est: $1.3 < m_{\nu(1)} < 1.8$ [TeV]. Ce calcul a été effectué sans tenir compte des trois saveurs possibles que peut posséder $\nu$(1). Si on en tient compte à présent la limite sur la masse est modifiée et on obtient $950 < m_{\nu(1)} < 1250$ [GeV].

Il faut également préciser que dans les résultats précédents, il était supposé que la masse de la LKP était très différente de celle des autres particules de premier mode KK. Toutefois, il peut s’avérer que ce n’est pas le cas. En de telles circonstances, les particules de premier mode KK pourraient se désintégrer en LKP. La limite de la masse en serait modifiée, car la section efficace ne serait plus la même. Notons que la différence de région de masse est d’autant plus grande que les masses des particules de premier mode KK sont proches de celle de la LKP. Lorsque cette différence est supérieure à 10% alors les résultats précédents restent cohérents.

Recherche de la matière noire Kaluza-Klein

Nous avons à présent une idée de l’ordre de grandeur de la masse de la LKP. En prenant en compte les scénarios possibles de KKDM ainsi que les observations cosmologiques, la masse de la LKP autorisée devrait se situer entre quelques centaines de GeV et quelques TeV. Avoir une idée de la masse de la particule que l’on recherche est un point essentiel puisqu’elle permet de savoir dans quel domaine d’énergie il va falloir travailler pour avoir une chance d’observer ladite particule. Afin de mettre en évidence une particule du modèle UED, il existe trois types de recherches:

• Directes: mise en évidence d’interaction entre la LKP et la matière sur Terre
• Indirectes: Analyse des produits d’annihilations de la LKP
• Collisions à hautes énergies

Cette dernière semble, à l’heure actuelle, peu prometteuse. En effet pour pouvoir créer des particules aussi massives que les LKP il faudrait une énergie de collision au centre de masse gigantesque. Les énergies atteintes pour le moment ne sont pas suffisantes. Dans un futur assez proche, le LHC au CERN devrait atteindre son énergie maximum au centre de masse, soit 14 TeV disponibles. Cette énergie serait suffisante pour produire des LKP, mais reconnaitre ensuite de telles particules seulement en observant les produits de leurs désintégrations pourrait s’avérer très complexe.

Recherches directes

Dans ce cas d’espèce, le but est de prouver l’existence d’interaction entre les particules LKP et la matière ordinaire grâce à des détecteurs placés sur Terre. Une des hypothèses de base de ces recherches est que notre galaxie, la Voie Lactée serait entourée d’une ceinture de matière noire. Si tel est le cas alors la Terre devrait être traversée par de la matière noire en provenance de cette ceinture. Ces vents de matière noire sont dus au mouvement de la Terre au sein de notre galaxie. La matière noire qui passe à travers la Terre devrait pouvoir réagir occasionnellement avec la matière ordinaire qui compose la croute terrestre. Plus précisément, elle peut réagir soit avec les noyaux soit avec les électrons. Cependant, les énergies mises en jeu lors de réactions avec les électrons seraient tellement faibles qu’il ne serait pas possible de les observer. Ces pourquoi les recherches se concentrent sur les interactions entre matière noire et noyaux.

Ici encore on va exposer quelques résultats obtenus pour les particules B(1) et $\nu$(1). Pour représenter les interactions entre les vents de matière noire composés de particules B(1) et la matière, on propose les trois diagrammes de Feynman suivants (figure 19):

Figure: Diagrammes de Feynman d'interactions entre matière noire et matière [15]

Deux expériences du laboratoire Gran Sasso en Italie proposent des résultats pour la masse de B(1). Ces deux expériences sont LIBRA et DAMA. LIBRA fonctionne avec un détecteur formé de 250 kg de NaI. Quant à DAMA elle utilise également un détecteur au NaI mais d’un poids de 100 kg.

Les évènements retenus pour la masse de la LKP ne prennent en compte que des LKP ayant une énergie minimum de 20 keV. Les résultats pour la masse sont représentés dans le graphique de la figure 20. On notera le nombre peu élevé d’événements.

Figure: Nombre d'évènements collectés par année par les expériences DAMA et LIBRA [15]

D’autres expériences similaires existent, mais utilisent des détecteurs composés de matériaux différents. On peut citer, par exemple, GENIUS (100 kg Ge$^{73}$) ou encore MAJORANA (500 kg composés de différents types d’isotopes du Germanium) et enfin GENIUS II (104 kg de Ge $^{73}$). Ces trois expériences utiliseront des évènements dont la LKP aura une énergie d’au moins 11 keV, ce qui est moins que pour les expériences LIBRA et DAMA. On est donc en droit de s’attendre à plus d’évènements à traiter. Ce qui est bien le cas aux vues du graphique de la figure 21. On note que le nombre d’évènements pour les masses faibles de B(1) est toujours plus élevé, pour toutes les expériences.

Figure: Nombre d'évènements attendus pour les experiences GENIUS, MAJORANA et GENIUS II [15]

Figure: Diagramme de Feynman d'interaction de $\nu$(1) avec la matière [15]

Dans le cas où la LKP serait $\nu$(1) il n’y a qu’un seul diagramme de Feynman au premier ordre (figure 22). Le calcul de la section efficace de ce processus mène à un taux d’évènements attendus plus élevé que pour la particule B(1). Cependant les expériences CDMS et EDELWEISS qui travaillent sur ce projet ne détectent aucune interaction entre la matière et $\nu$(1). Le fait de ne pas observer d’interactions apporte une limite sur la masse de $\nu$(1) qui est: $m_{\nu(1)}$ < 50 TeV. Cette valeur dépasse largement le spectre qui était attendu pour $m_{\nu(1)}$ que l’on a montré précédemment. Ceci a pour conséquence directe que la particule B(1) est privilégiée comme candidate WIMP de la théorie UED.

Bien que l’observation directe des interactions entre matière noire et matière ordinaire soit parfaitement acceptable en théorie, il n’en reste pas moins qu’elle est difficile à mettre en pratique. En effet, le nombre d’évènements pouvant être utilisés est très bas (quelques dizaines par année). De plus, les détecteurs nécessaires à ces observations doivent avoir des masses conséquentes et en raison du nombre d’évènements rares pouvoir durer longtemps. De plus, comme le signal est très faible, le bruit de fond doit pouvoir être minime, ce qui n’est pas tout le temps le cas. Ainsi c’est pour cette raison qu’il existe également des mises en évidence de la matière noire par des observations indirectes.

Recherches indirectes

Ce type d’expériences cherche à montrer l’existence de matière noire via l’observation des produits d’annihilations des LKP dans les régions lointaines de l’Univers. Étant donné que la concentration de WIMPs est très dense au milieu de la galaxie et du Soleil, les produits issus de l’annihilation des LKP devraient pouvoir être observés depuis la Terre.

Pour B(1) étant la LKP on obtient les produits de désintégrations suivants:

• B(1)B(1) $\rightarrow e^+e^-$
• B(1)B(1) $\rightarrow \mu^+\mu^-$
• B(1)B(1) $\rightarrow \tau^+\tau^-$
• B(1)B(1) $\rightarrow u \bar{u}$
• B(1)B(1) $\rightarrow v \bar{v}$
• B(1)B(1) $\rightarrow$ autres

L’observation des positrons pourrait être un bon point pour obtenir la masse de B(1) puisqu’il s’agit d’un de ces produits de désintégrations. On suppose que le spectre en énergie des positrons devrait être piqué aux alentours de la masse de la LKP. Voici un exemple de prédiction pour le spectre en énergie des positrons issus de LKP selon la masse de LKP (figure 23).

Figure: énergie des positrons selon la masse de B(1) [16]

Il serait également possible d’étudier les neutrinos issus des LKP. Cependant, leur faible interaction avec la matière rend leur détection difficile. Une autre possibilité serait d’observer les rayons gamma provenant des régions lointaines de l’univers. Ces rayons sont issus de la désintégration de pions, étant eux-mêmes le fruit de l’hadronisation des produits de l’annihilation de B(1). Cependant certaines expériences, comme par exemple EGRET ont collecté des données qui mettent en évidence un surplus de rayons gamma provenant d’un espace proche du centre de la galaxie. Ces données seraient incompatibles avec le fait que des LKP puissent être de bonnes candidates à la matière noire. Cependant, l’interprétation de ces résultats reste très obscure.

On a montré que la théorie UED, basée sur la théorie de Kaluza-Klein permettait de donner une solution au mystère que représente la matière noire. Cependant bien que la théorie soit bien établie, les preuves expérimentales qui devraient la corroborer sont difficiles à mettre en place. Le fait de rechercher de la matière inconnue est un obstacle de taille. De plus, la masse élevée des particules recherchées rend le défi encore plus grand. La théorie UED reste donc à démontrer puisque certains résultats tendent à la confirmer alors que d’autres limitent sa véracité. Cependant, le problème de la matière noire semble ne pas pouvoir se résoudre de si tôt.

Conclusion

Au travers de la section précédente, on a exposé plusieurs expériences touchant de près ou de plus loin la théorie de Kaluza-Klein. Il est passionnant de voir à quel point cette théorie basée sur l’unification de la gravitation et de l’électromagnétisme grâce à l’ajout de dimensions supplémentaires a pu être précurseur d’autres théories allant jusqu’à l’explication de la matière noire.

De plus, le fait que certaines des expériences menées sur la théorie de Kaluza-Klein datent des années 2000 alors que cette théorie a été mise en lumière dans les années 1920 montre à quel point le thème de l’unification des forces est toujours central en physique.

Dans l’avenir avec des collisionneurs plus puissants et donc une possibilité de sonder la matière plus en profondeur, peut-être sera-t-il possible de lever un peu plus le voile sur ce grand mystère qu’est l’unification des forces.