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Les monopôles magnétiques sous Kaluza-Klein

Rédigé par Antoine Dumont

Historique Monopôles

Depuis bien longtemps plusieurs physiciens souhaitent l’existence de l’équivalent de la charge élémentaire de l’électron pour le magnétisme. Ce monopôle magnétique ne serait pas simplement un nouvel élément dans le grand ensemble de particules élémentaires, mais par le fait même d’exister il pourrait expliquer la quantification, observée dans la nature, de la charge électrique et autres phénomènes mystèrieux.

Selon la théorie électromagnétique de Maxwell, l’existence d’une charge magnétique est impossible selon $ \triangledown \cdot B = 0$, contrairement à la charge électrique avec $ \triangledown \cdot E = \rho _{e}$.

On peut représenter une théorie duale à celle de Maxwell en faisant l’échange $ B \rightarrow E$ et $ E \rightarrow -B$ [8]

$\displaystyle \triangledown \cdot \tilde{E}$ $\displaystyle = 0 \qquad$ $\displaystyle \triangledown \cdot \tilde{B}$ $\displaystyle = \rho _{m}$ (28)
$\displaystyle \triangledown \times \tilde{E} + \frac{\partial \tilde{B}}{\partial t}$ $\displaystyle = - \tilde{j}_{m} \qquad$ $\displaystyle \triangledown \times \tilde{B}$ $\displaystyle = \frac{\partial \tilde{E}}{\partial t}$ (29)

Ce nouvel ensemble d’équations est l’équivalent de notre théorie conventionnelle seulement avec des monopôles magnétiques, ayant une densité de charge $ \rho_m$, et sans particule chargée électriquement. Des spéculations intéressantes peuvent être faites en proposant une théorie contenant les deux particules sur un même pied d’égalité.

$\displaystyle \triangledown \cdot E = \rho _{e} \qquad \triangledown \cdot B = \rho _{m}$ (30)

Avec cet ensemble, lorsqu’on fait le changement de variable utilisé dans les équations 29 et 30, on le retrouve inchangé. Cette théorie est alors décrite comme étant self-dual . Classiquement celle-ci est toujours en accord avec les équations de continuité exprimant la conservation des charges magnétiques et électriques. Il n’y a alors pas de raison fondamentale invalidant la possibilité d’existence des monopôles. Dans l’espace dual et dans celui self-dual, le champ magnétique peut s’exprimer de façon à expliciter la charge quantique.

La recherche de symétrie dans les équations de Maxwell est ce qui pousse les physiciens à trouver ne serait-ce qu’un seul monopôle magnétique dans l’Univers.

L’espoir amené par cette simple représentation est toutefois ralenti à cause de difficultés majeures d’adaptation à la mécanique quantique. Le développement de la théorie QED se base sur le potentiel A, posé à partir de l’équation

$\displaystyle \triangle \theta =q\oint _{C} d\vec{r}\cdot \vec{A}=q\int d\vec{S}\cdot \vec{B}=q\Phi$ (31)

Avec un champ magnétique décrit selon l’équation 31, il semblerait y avoir une incongruité, ne pouvant plus poser un potentiel vecteur qui ramène la relation à zéro.

Paul Dirac amena une démonstration supplémentaire. Grâce une expérience de pensée, basée sur une expérience physique de Faraday, il trouva mathématiquement l’équivalent d’un monopôle. Mathématiquement, on peut imaginer un solénoïde très long et infiniment mince, donc chaque bout est isolé l’un de l’autre. Une extrémité agit alors comme si le reste du solénoïde n’existait pas et elle peut être décrite avec le vecteur potentiel suivant:

$\displaystyle \vec{A}(\vec{r}) = \frac{g}{4\pi \left \vert \vec{r} \right \vert...
...c{\vec{r}\times \hat{k}}{\left \vert \vec{r} \right \vert-\vec{r}\cdot \hat{k}}$ (32)

(k étant le vecteur de Poynting dans la direction du solénoïde). Ce potentiel vecteur est bien une description d’un monopôle magnétique, qui reste toutefois connecté à une ligne infiniment mince le long du solénoïde, appelée Dirac String, qui lui transmet le flux magnétique. Cette Dirac String est toutefois une singularité, causée par le dénominateur qui détruit le potentiel vecteur lorsque $ \left \vert r \right \vert = r \cdot k$, prix à payer pour retrouver un pseudo-monopôle.

Figure: Solénoïde très long et mince formant l’équivalent d’un monopôle à son extrémité.
Image antoine_figure1

Dans le domaine de la mécanique quantique, notre particule est représentée avec sa fonction d’onde et le potentiel vecteur affecte la phase complexe de celle-ci. On peut se représenter l’expérience des fentes de Young avec cette nouvelle particule. En posant la Dirac String entre les deux fentes, le facteur de phase n’est pas le même selon la fente, car la particule ne voyage pas au travers d’un même potentiel vecteur. Pour une particule chargée électriquement, la différence de phase est donnée par:

$\displaystyle \vec{\triangledown }\theta = q\vec{A}$ (33)

Notre différence de phase entre les deux fentes peut alors être calculée selon et en faisant une intégrale le long de la trajectoire. On retrouve une intégrale de contour qui résulte, grâce au théorème de Stokes, au flux magnétique traversant l’aire formé par le contour de l’intégrale;

$\displaystyle \triangle \theta =q\oint _{C} d\vec{r}\cdot \vec{A}=q\int d\vec{S}\cdot \vec{B}=q\Phi$ (34)

On pose ici que le flux magnétique total est égal à la charge d’un monopôle, ce qui est tout à fait normal étant donné que les lignes de champ à l’extrémité de notre solénoïde infiniment long et mince se comportent comme celles d’une charge magnétique isolée. Alors simplement, $ \Delta \theta = q \phi = q g$. La différence de phase est évidemment définie au modulo $ 2 \pi$ près. La Dirac String est seulement observable, a un effet sur la fonction d’onde, si les deux phases ne diffèrent pas d’un multiple de $ 2 \pi$ (deux nombres complexes ayant une décalage de phase de $ 2 \pi n$ sont égaux). Ne souhaitant justement pas observer une telle singularité avec notre monopôle magnétique, les particules chargées électriquement ressentant alors uniquement le champ magnétique du monopôle, on en déduit que

$\displaystyle \frac{qg}{2\pi} = n$ (35)

C’est-à-dire la condition de quantification de Dirac. Selon le principe que la fonction d’onde d’une particule se retrouve partout dans l’Univers, même si elle est extrêmement faible à l’extérieur des régions locales, ceci implique que s’il existe ne serait-ce qu’un seul monopôle magnétique dans l’Univers, alors n’importe quelle charge électrique d’une particule doit s’écrire comme multiple entier de $ 2 \pi / g$.

D’un point de vue théorique semi-classique, les monopôles magnétiques devraient donc se retrouver dans l’Univers. Ils seraient extrêmement stables et ne se désintégreraient pas avec d’autres particules, contrairement à la plupart des autres particules à de telles énergies. Aussi, ils interagiraient fortement dans un champ électromagnétique et donc seraient faciles à manipuler expérimentalement. C’est avec ceci en tête que plusieurs physiciens ont développé des théories de plus en plus poussées, en s’associant rapidement aux théories d’unification, pour pouvoir être le plus général possible dans la description de cette particule évasive et peut-être un jour avoir des indications sur des moyens possibles de la détecter.

Solution Kaluza-Klein

La charge magnétique

Le monopôle magnétique dans la théorie de Kaluza-Klein provient de ses solutions solitoniques. Le terme soliton est défini dans notre cas comme étant des solutions non singulières d’équations de champ classique topologiquement stable.

La base des solutions amenées ici fut posée par 't Hooft and Polyakov en théorie de jauge non-abélienne. (les théories de jauge abélienne permettent toutefois l’existence de monopôles de Dirac). La théorie Kaluza-Klein faisant usage de l’électromagnétisme, on pourrait donc s’attendre à ce que de telles solutions surgissent.

Pour retrouver de telles solutions, il est nécessaire d’appliquer un vecteur de Killing 2 sur notre métrique en 5 dimensions, qui va alors amener la relation:

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}(g_{AB})=0$ (36)

L’espace-temps est alors dit statique. Il faut aussi regarder du côté des solutions $ g_{0A} = \delta_{0A}$. Dans ce cas-ci, l’espace-temps est alors complètement plat dans la direction du temps et les équations de champ, avec les composantes du tenseur Ricci de courbure de l’espace, nous donne

$\displaystyle R_{ij}=R_{5l}=R_{55}= 0$ (37)

Avec la théorie de relativité en quatre dimensions la recherche ne pourrait aller plus loin la variété (manifold en anglais) en trois dimensions est alors totalement plate et une bosse représentant le monopôle magnétique est impossible avec une gravité « normale » en trois dimensions (fixe dans le temps). Avec la théorie Kaluza-Klein en 5 dimensions, il sera alors possible de trouver différentes solutions solitonniques, la plus simple de celles-ci étant notre fameux monopôle magnétique. L’espace Taub-NUT est une solution de l’équation d’Einstein qui est un espace euclidien self-dual . Celle-ci fut développée par Abraham Kaskel Taub et élargie à de plus grande variété par E. Newman, T. Unti et L. Tamburino, formant les initiales - NUT. Avec une extension en 5 dimensions elle permet alors de décrire un monopôle magnétique.

Lorsque généralisée, sa métrique peut être décrite par

$\displaystyle (ds)^{2} = -(dt)^{2}+V(dx^{4}+4m(1-cos\theta )d\phi )^{2}+\frac{1}{V}(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}  sin^{2}\theta   d\phi ^{2})$ (38)

Avec $ V^{-1}=1+\frac{4m}{r}$ et les coordonnées polaires $ (r,\theta,\phi)$.

Le $ dt$ s’assure que la solution à 5 dimensions. Une première étape pour retrouver nos monopôles est de fixer le $ dt = 0$. Le sous-espace retrouvé est appelé instanton de Taub-NUT. On peut remarquer que lorsque $ r=0$, la solution ne tient plus et il y a une singularité, endroit où le vecteur de Killing a un point fixe. Toutefois, si la composante $ x^4$ est de type périodique, avec une période de $ 16 \pi$m, alors le système se débarrasse de celle-ci.

Dans la solution, le champ de jauge semble être l’équivalent d’un monopôle avec la composante en $ A_\phi$:

$\displaystyle A_{\phi } = 4m(1-cos\theta )$ (39)

$\displaystyle \mathbf{B} = \triangledown \times \mathbf{A}=\frac{4m\mathbf{r}}{r^{3}} % Équation 12-2
$ (40)

Le champ électromagnétique $ A_\mu$ présente ici le même phénomène que discuté précédemment dans l’historique, une singularité de type Dirac String le long de $ r$ de zéro à l’infini.

Ceci est bien un artefact mathématique, mais qui survient uniquement avec la périodicité de $ 16 \pi m$ de la composante $ x^4$. Lorsque $ \theta$ est égal à zéro notre métrique est régulière mais lorsque l’angle $ \theta$ est égal à $ \pi$ on remarque une singularité provenant du terme $ (1-\cos \theta)$ dans 40.

Avec un changement de coordonnées $ x'^4=x^4 + 8m \phi$ notre métrique devient régulière lorsque $ \theta = \pi$, mais ne l’est plus lorsque $ \theta = 0$. Il est possible de visualiser l’espace de nos coordonnées en une sphère de rayon R, étant donné le $ x^4$ et le $ \phi$ périodiques. Le rayon R est déterminé par la charge électrique. Dans un champ complexe $ \phi$ avec une action S$ (\phi)$, la composante de Fourier de $ \phi$ avec une dépendance non triviale en $ x^4$ doit agir comme une particule ayant une charge $ e = \frac{n}{R}\sqrt{16\pi G}$. Et avec la constante de structure fine

$\displaystyle \alpha = \frac{e^{2}}{4\pi \hbar c}=\frac{4\hbar G}{ c^{3}R^{2}};\; \; R=\frac{2}{\sqrt{\alpha }}\sqrt{\frac{\hbar G}{c^{3}}}$ (41)

Avec G la constante gravitationnelle de Newton, R est alors égale à $ 3.7 \times 10^{-32}$ cm.

Le $ \phi$ est naturellement périodique sur une période de $ 2 \pi$ et on peut poser la période de $ x^4$ selon le fait que pour un grand r la solution devrait tendre vers le vide:

$\displaystyle 16\pi m = 2\pi R % Équation 13-1
$

$\displaystyle m= \frac{1}{8}R = \frac{\sqrt{\pi G}}{2e}$ (42)

L’ensemble de coordonnées $ (x^4, t, r, \theta, \phi)$ est alors utilisé pour décrire l’hémisphère nord de la sphère $ (\theta = 0)$ et l’ensemble $ (x'^4, t, r, \theta, \phi)$ est utilisé pour décrire l’hémisphère sud, le facteur $ 8m \phi$ ne changeant pas l’équation du champ magnétique. Le champ B peut être écrit tout comme un champ électrique, avec une charge élémentaire. Celui-ci peut être normalisé avec une constante $ \left ( 16 \pi G \right ) ^{-\frac{1}{2}}$. La charge magnétique est donc liée au rayon R de la sphère et selon l’équation 43:

$\displaystyle g=\frac{R}{2\sqrt{16\pi G}} = \frac{1}{2e} % Équation 15
$ (43)

On retrouve alors bien la quantification des charges, la charge magnétique multipliée par la charge électrique donnant un nombre fixe. Dans le système d’unités international, nous devrions retrouver $ \hbar$ et c, ces constantes valant 1 dans notre système d’unités utilisé (unités naturelles). Notre valeur de charge magnétique en 43 égale ce qui s'appelle la charge de Dirac ( $ \frac{1}{2e}$).


La masse

La masse du monopôle magnétique Kaluza-Klein - son énergie au repos - peut être déduite en faisant le calcul de son énergie par différents arguments. Nous calculerons ici son énergie basée sur la variation de l’action au premier ordre, toujours dans le domaine de la relativité générale [9]. Ce calcul se basera directement sur le principe d’action se généralisant avec la gravité de p dans la relation $ \delta S = p\delta q$. L’énergie n’est toutefois pas très triviale à calculée. Dans une théorie de champ covariant, celle-ci nécessite premièrement le choix d’une hypersurface asymptotique de type espace dans un espace-temps contenant la particule isolée. En calculant les valeurs des champs reliées à la particule à une distance très grande, tendant vers l’infini, et en les comparant la situation sans champs dans le même espace-temps, on retrouve cette hypersurface nommée « background ». Nous utiliserons le terme fond dans ce travail pour franciser. Certains critères sont essentiels pour choisir ce fond et le plus important est que ce soit une surface la plus plate possible et presque un invariant de Poincarré - invariante pour des translations, des rotations, des inversions de temps et de parité ainsi que pour des transformées de Lorentz. De façon habituelle, en relativité générale en quatre dimensions le choix n’est pas très difficile, la métrique de Minkowski occupe le rôle, lorsque la région asymptotique est homéomorphique à $ \mathbb{R}^{4}$. Dans notre cas, le fond n’est pas si évident les solutions utilisées étant en cinq dimensions.

La solution Taub-NUT de l’équation 10 peut être reformulé, avec quelques changements de constantes:

$\displaystyle (ds)^{2} = -(dt)^{2} + g^{2}(r) \left ( dx^{4} +\frac{1}{2} \cos ...
... ) ^{2} + f^{2}(r)dr^{2}+(r^{2}d\theta ^{2}+r^{2} \sin^{2}\theta   d\phi ^{2})$ (44)

où les deux fonctions

$\displaystyle g(r)=\frac{4r\lambda _{\infty }}{4\rho + \lambda _{\infty }} \qquad f(r)= 1+(\frac{\lambda _{\infty }}{4\rho})
$

avec la définition de $ \rho$, $ \rho^{2} = r^{2} + \frac{1}{16}\lambda^{2}_{\infty}$ ainsi que $ \lambda_\infty$ qui est défini comme la valeur limite du champ scalaire dans notre représentation. Celui est égal au rayon du cercle interne Kaluza-Klein. Lorsque $ r\rightarrow \infty$, les fonctions $ f$ et $ g$ tendent vers des valeurs beaucoup plus simple, $ f \rightarrow 1$ et $ g \rightarrow \lambda_{\infty}$. On retrouve alors,

\begin{multline}
(ds)^{2} = -(dt)^{2}+\lambda^{2}_{\infty} \left ( \left ( dx^{...
... dr^{2} + r^{2}d\theta ^{2} +  r^{2} \sin^{2}\theta d\phi ^{2}
\end{multline}

Pour ceci nous avons besoin d’une connexion de fond, noté $ \dot{\triangledown}_{a}$. La différence entre celle-ci et la connexion de notre métrique $ g_{ab}$, notée $ \triangledown_{a}$, donne :

$\displaystyle (\triangledown_{a} - \dot{\triangledown}_{a})k^{b}=\Gamma ^{b} _{ac}k^{c} % (Équation 16)
$ (45)

Avec $ \Gamma ^{b} _{ac}$ le champ tensoriel, cette relation est valide pour tout champ vectoriel $ k^{b}$. On définit un certain champ vectoriel avec le tenseur:

$\displaystyle \omega^{a} \equiv g^{mn}\Gamma ^{a}  _{mn} - g^{am}\Gamma ^{n}  _{mn}$ (46)

On notera aussi dans la connexion de fond $ \xi^{a}$, un champ vectoriel de symétrie exacte. L’action au premier ordre est définie comme :

$\displaystyle S= (2k)^{-1} \left [ \int_{\Upsilon }Rdv +\oint _{\Upsilon }dS_{a} \right ]$ (47)

Le tenseur de Ricci de fond se doit ici de tomber plus rapidement que $ r^{-3}$ pour que l'action soit finie, et comme dit précédemment celui-ci tombe en $ r^{-4}$. On peut alors déduire la variation $ \delta S$ induite par $ \xi^{a}$, identifiée avec la quantité conservée reliée à $ \xi^{a}$ :

$\displaystyle \delta S = (2k)^{-1} \oint _{\delta\Sigma }(\omega^{a}\xi^{b}+ \triangledown^{a}\xi^{b}) dS_{ab}$ (48)

Cette intégration ce fait sur une surface fermée de codimension 2 à l’infinité des termes spatiaux. Le $ dS_{ab}$ est un élément de surface normalisé par notre métrique $ g_{ab}$. Cette expression permet de se rapprocher du but souhaité, la masse de notre monopôle Kaluza-Klein, grâce une propriété particulière des symétries. Si le champ vectoriel $ \xi$ est associé à une symétrie de translation du temps dans le fond, l’expression de la variation d’action est égale à l’énergie (avec un facteur négatif).

La métrique de fond choisie est celle associée à 45, pour un monopôle seul dans la région. Avec celle-ci, le vecteur de Killing de translation en temps $ \frac{\delta}{\delta t}$ dans le fond est une constante de façon covariante. Le deuxième terme dans notre équation de variation de l’action est alors nul (dérivée d’une constante étant égale à zéro):

$\displaystyle E_{f} = -(2k)^{-1} \oint_{\infty} \omega^{a} t^{b} dS_{ab}$ (49)

On a alors défini $ \partial/(\partial t) \equiv t^{a}$. Pour calculer l’énergie, la surface de contour se simplifie selon le fait que t est une constante ( $ dt = 0$ étape lors de la solution pour la charge du monopôle). Aussi, on peut poser que r est constant, tendant vers l’infini, pour l’énergie souhaitée du système fond pour comparer avec le vide.

$\displaystyle E_{f} = \lim_{x\rightarrow \infty} \int d\theta\int d\phi \int d\psi g(r)f(r)r^{2}sin\theta  \omega^{a}   \triangledown_{a}r$ (50)

Ici, $ dx^4 \rightarrow d\psi$ avec $ \psi$ périodique, valant de $ [0,2\pi]$.

Pour réaliser cette intégrale il faut tout d’abord déterminer le terme $ \omega^{a}   \triangledown_{a}r$. Selon notre définition de $ \omega^{a}$,

$\displaystyle \omega^{a}\triangledown_{a} r$ $\displaystyle = g^{mn}\Gamma ^{a} _{mn} - g^{am}\Gamma ^{n} _{mn} \triangledown_{a} r$ (51)
  $\displaystyle = (\dot{\triangledown}_{a}- \triangledown_{a})\triangledown^{a} r - g^{bc}( \dot{\triangledown}_{b} - \triangledown_{b} ) \triangledown_{c}r$ (52)
  $\displaystyle = (\dot{\triangledown}_{a} - \triangledown_{a})\triangledown^{a}r...
..._{b}\triangledown^{b}r - g^{bc} \dot{\triangledown}_{b}\dot{\triangledown}_{c}r$ (53)

Les éléments $ g^{ab}$ de la métrique se traduisent par :

\begin{multline}
g^{ab} = - t^{a}t^{b} + g^{-2}(r) \psi^{a}\psi^{b} + f^{-2}(r)...
...left ( \varphi ^{b} - \frac{1}{2} \cos \theta  \psi^{b} \right )
\end{multline}

Pour les autres éléments dans l’expression 55,

$\displaystyle \triangledown^{a}r$ $\displaystyle = f{-2} (r)^{a}$ (54)
$\displaystyle \triangledown_{a} v^{a}$ $\displaystyle = \left \vert g \right \vert^{-\frac{1}{2}} \partial_{i}(\left \v...
...al_{i} v^{i} +v^{i}\partial_{i}\log(\left \vert g \right \vert ^{-\frac{1}{2}})$ (55)

avec

$\displaystyle (\left \vert g \right \vert^{-\frac{1}{2}}$ $\displaystyle = g(r)f(r)r^{2}\sin \theta$ (56)
$\displaystyle 2\dot{\triangledown }_{a}\dot{\triangledown}_{b}r$ $\displaystyle = \mathcal{L}_{r}\dot{g}_{ab}$ (57)

Le terme $ \mathcal{L}_{r}$ est une dérivée de Lie par rapport à la composante $ r^{a}$. Le premier terme dans l’expression 55 devient:

$\displaystyle (\dot{\triangledown}_{a} - \triangledown_{a})\triangledown^{a}r$ $\displaystyle = (\dot{\triangledown}_{a} - \triangledown_{a}) f^{-2}(r)r^{a}$ (58)
  $\displaystyle = -f^{-2} (r) \partial_{r}\log[g(r)f(r)]$ (59)

et

\begin{multline}
-\triangledown_b\triangledown^b r - g^{bc} \dot{\triangledown}...
...)f(r)r^{2} \right ] + \frac{1}{2}g^{bc}\mathcal{L}_r \dot{g}_{ab}
\end{multline}

Ce dernier terme va tomber à quelque chose de très simple grâce à la métrique posée sur son inverse:

$\displaystyle \frac{1}{2}g^{bc}\mathcal{L}_r \dot{g}_{ab} = \frac{2}{r}
$

On retrouve donc,

$\displaystyle \omega^{a}\triangledown_{a}r = -2f^{-2}(r)\partial_{r}\log[g(r)] + \frac{2}{r}$ (60)

On applique la limite de r tendant vers l’infini:

$\displaystyle \lim_{r\rightarrow \infty} f(r)g(r)r^{2}\omega^{a}\triangledown_{a}r$ $\displaystyle = \lambda_\infty \left [ \lim_{r\rightarrow \infty} r^{2}(-2f^{-2}(r)\partial_{r} \log \left [ g(r) \right ] + \frac{2}{r}) \right ]$ (61)
$\displaystyle \lim_{r\rightarrow \infty} f(r)g(r)r^{2}\omega^{a}\triangledown_{a}r$ $\displaystyle = -2 \left ( \frac{1}{4}\lambda_{\infty}^{2} \right ) + 2 \left ( \frac{1}{2}\lambda_{\infty}^{2} \right ) = \frac{1}{2}\lambda_{\infty}^{2}$ (62)

En insérant ceci dans notre relation pour l’énergie on obtient;

$\displaystyle E_{f}$ $\displaystyle = (2k)^{-1}\int d\theta\int d\phi \int d\psi sin\theta   \left ( \frac{1}{2}\lambda_{\infty}^{2} \right )$ (63)
$\displaystyle E_{f}$ $\displaystyle = \left ( \frac{1}{2}\lambda^{2}_{infty} \right ) (2k)^{-1}2(2\pi)^{2} = (2k)^{-1}(2\pi\lambda_{\infty })^{2}$ (64)

Notre énergie inertielle est alors simplement dépendante du $ \lambda_{\infty}$, qui est est égale au rayon du cercle interne de Kaluza-Klein, ainsi qu'à la constante k, induite par l’action, représentant la constante gravitationnelle en cinq dimensions. Plusieurs autres arguments peuvent être utilisés dans ce formalisme pour retrouver au final la même énergie inertielle du monopôle de Kaluza-Klein.

Propriété électromagnétique des solitons

La solution pour un système à multiple monopôle n’est pas beaucoup plus compliquée que celle avec un monopôle unique. Utilisant le même genre d’équation que 44 , toutefois pour une quantité de N solitons:

$\displaystyle (ds)^{2} = -(dt)^{2}+V(dx^{4}+A_{l}dx^{l} )^{2}+\frac{1}{V}(dr^{2}+ r^{2}d\Omega^{2})$ (65)

avec

$\displaystyle \frac{1}{V}=1+\sum_{l=1}^{N}\frac{4m}{\left \vert {\mathbf{x-x^{\textup{l}}}} \right \vert'}$ (66)

Le champ scalaire et le potentiel vecteur sont:

$\displaystyle \sigma = V^{\frac{3}{2}} \partial_{l} \left ( \frac{1}{V} \right ) = -\epsilon _{ijk}\partial_{l}A_{k}$ (67)

L’énergie électromagnétique pour notre ensemble de particules sera alors donnée par:

$\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle = \frac{1}{16\pi G}\int d^{3}x\sqrt{-g_{4}}\sigma^{1/4}F_{ij}F_{kl}  g^{ik}g^{jl}$ (68)
  $\displaystyle = \frac{1}{16\pi G}\int d^{3}x\frac{1}{2} V^{2}\partial_{l} \left ( \frac{1}{V} \right ) \partial_{l} \left ( \frac{1}{V} \right )$ (69)

La partie intégrée de notre expression peut se décomposer en deux parties, simplement en utilisant la propriété de la dérivée d’une multiplication de fonction,

$\displaystyle V^{2}\partial_{l}\left ( \frac{1}{V} \right ) \partial_{l} \left ...
...\partial_{l}V\partial_{l}\frac{1}{V} \right ) + V \triangledown^{2} \frac{1}{V}$ (70)

La première égalité provient du fait que la dérivée de $ V^{-1}$ donnera $ V^{-2} \partial_{l}V$. Les premiers termes se simplifient donc. Le laplacien du $ V^{-1}$ tombe à zéro $ V$ ne contenant que des termes d’ordre 1 au dénominateur.

L’énergie électromagnétique devient alors:

$\displaystyle \varepsilon = \frac{1}{32\pi G}\int ds^{l}\cdot V\partial_{l} \left ( \frac{1}{V} \right ) = N\frac{m}{2G}$ (71)

On remarque ici que pour un ensemble de monopôles magnétiques l’énergie globale magnétique ne varie qu’avec la quantité de monopôles. Elle ne change absolument pas selon le rapprochement, la densité, de cet ensemble ce qui n’est pas intuitif. Pour un gaz d’électron, plus le gaz est comprimé, plus les électrons vont se repousser, force en $ r^{-2}$, et l’énergie totale sera élevée.

En fait, les monopôles ont une énergie de répulsion lorsqu’ils arrivent proches l’un de l’autre, toutefois sa charge effective est proportionnelle à $ \sigma^{-1/2}$. Le $ \sigma$ grandi plus les monopôles sont rapprochés $ \left ( \left \vert {\mathbf{x-x^{\textup{l}}}} \right \vert' \right )$ et donc la charge effective et par le fait même l’énergie propre d’un monopôle diminuent. Ceci compense exactement l’augmentation d’énergie causée par la répulsion.

Représentation et caractéristique topologique des monopôles

Naïvement on pourrait penser que la charge élémentaire magnétique aurait une structure et des propriétés semblables à la charge élémentaire électrique. Toutefois les monopôles magnétiques sont très différents, dans les solutions solitoniques discutées ici, de ceux-ci. Les monopôles sont caractérisés par la topologie de leur section spatiale. Autant un monopôle qu’un anti-monopôle détiennent une certaine caractéristique d’Euler3. Étant construit à partir de la théorie Kaluza-Klein la plus simple, la variété compactifiée n’est qu'un cercle. Avec le $ dt = 0$, la tranche topologique, avec la composante du temps constant, en quatre dimension du monopôle et de l’antimonopôle contient une « poignée » [10]. Une paire monopôle-antimonopôle a alors une topologie différente de celle du vide. Donc contrairement à la plupart des particules, celui-ci ne peut donc pas s’annihiler classiquement avec son opposé d’antimatière.

Propriété gravitationnelle des solitons

Les monopôles magnétiques ont bien une masse inertielle, mais ont la propriété étrange de posséder une masse gravitationnelle égale à zéro. Lorsqu'on regarde le comportement d'une particule teste massive proche du monopôle, la force newtonienne normale est exactement annulée par l'interaction avec le champ scalaire. Plus précisément, les solutions solitonniques utilisées ici sont plates dans la direction du temps. Elles possèdent alors des géodésiques, selon le temps, correspondant à la particule teste au repos relativement au monopôle. Ces géodésiques décrivent une particule étant neutre ( $ dx^{4}/d\tau = 0$) et qui reste alors au repos selon le soliton. Elle ne perçoit donc aucune de force provenant de celui-ci, la force newtonienne proportionnelle à $ \triangledown g_{00}$ est nulle. Dans la sous-section 4.2.2, il a était montré que le monopôle détenait une masse inertiel et dans le principe d'équivalence 3.3.3 d'Einstein la masse gravitationnel d'un est intimement liée à sa masse inertielle. Le monopôle semblerait alors violer le principe d'équivalence.

Ce serait le cas uniquement si nous étions dans un espace en quatre dimensions. La démarche suivi pour trouver les solutions de ce soliton ne viole pas la covariance générale en cinq dimensions ce qui permet d'affirmer que le principe d'équivalence est respecter. Les particules se déplacent bien sur les géodésiques mais au voisinage du monopôle on retrouve des géodésiques statiques. Certains objets dans la nature seraient pourtant attirés par ces monopôles dans des cas particuliers. Une étoile ordinaire décrite en quatre dimensions, avec une métrique de Schwarzschild, aurait une réponse de type attraction newtonienne habituelle.

Implication cosmologique des monopôles magnétiques

La question à savoir si les monopôles existent réellement est toujours bien présente dans la recherche scientifique contemporaine. De nombreux problèmes firent obstacle à cette possibilité lors de différentes études, en particulier la quantité de monopôles qui devrait se retrouver dans l’Univers. Dans les premiers instants de l’Univers, les monopôles magnétiques n'auraient transporté qu’une petite fraction de l’énergie totale, principalement sous forme de radiation. La densité de ceux-ci dans l’Univers diminue avec son expansion et la densité devrait être comparable à celle des protons et des neutrons aujourd’hui, et même possiblement plus élevé considérant le fait que l’annihilation classique entre particule-antiparticule ne s’applique pas aux monopôles (dans la théorie Kaluza-Klein). La masse des monopôles est par contre de l’ordre de $ 10^{16}$ GeV, donc 16 ordres de grandeur plus grands que le proton. Les prédictions habituelles de cosmologie ne pouvaient donc clairement pas s’appliquer ici. Certains ont dès lors posé la non-existence des monopôles, mais d’autres furent plus tenaces. La théorie de l’inflation [11] fut développée en tant qu’explication alternative et consiste au fait que l’expansion de l’Univers accélérait dans ces débuts. Cette théorie fut très importante et régla plusieurs problèmes de cosmologie, problèmes de l’horizon et de la platitude. Toutefois, elle n’était pas encore bien ajustée pour expliquer proprement le manque de monopôles et ceci, entres autres, poussa les chercheurs à trouver des théories cosmologiques plus précises et de plus en plus représentatives de la croissance de notre Univers.

Conclusion

Les propriétés très particulières du monopôle magnétique développé ici sont évidemment assez spectaculaire et très intéressante pour des physiciens se penchant sur la question. Le tout fut toutefois construit sur la théorie Kaluza-Klein la plus simple et un regard sur une théorie plus complexe, plus représentative de l’Univers, amènerait sûrement des résultats différents et pourrait possiblement effacer certaines propriétés intéressantes. Plusieurs études ont été faites sur le sujet, e.g. pour des dimensions supérieures à 5 dans la théorie Kaluza-Klein [12].

Les monopôles magnétiques restent encore un grand mystère expérimental dans le domaine de la physique des particules. Même s’il y eut d’innombrables essais infructueux pour sa découverte, les chercheurs semblent toujours garder une lueur d’espoir de trouver un jour cette charge élémentaire. Toutefois, la théorie indique dans la plupart des cas qu’un regard expérimental sur lui nécessiterait des énergies colossales encore bien plus grandes que ce qu’un accélérateur de particule pourrait fournir. La création de ceux-ci est donc difficilement envisageable. Ils peuvent uniquement être recherchés en tant que relique d’un jeune Univers au travers de la radiation cosmique.

Les recherches sur les spin-ice ont agité la scène du monopôle dans les dernières années. En 2007, des chercheurs ont pu déterminer dans la structure particulière des spin-ice que le moment dipolaire des structures pyramidales devait se fractionner en monopôles magnétiques. C’est par contre bien loin de la particule isolée décrite par la théorie Kaluza-Klein et autres théories.

Vincent Méthot 2013-05-01