Subsections

Une approche conceptuelle

Rédigé par Vincent Méthot

Introduction

Comme on vient de le voir, la théorie Kaluza-Klein fut bâtie dans un long processus chargée d'essais et d'erreurs. Dans leurs nombreuses tentatives (parfois infructueuses) d'obtenir un modèle convaicant, les théoriciens ont perduré dans leur étude de l'implication de dimensions supplémentaires. Ceci s'explique surtout par l'esthétisme d'un tel formalisme en ce qui a trait à l'unification des forces.

Dans cette partie, on va tenter de présenter une explication conceptuelle de la théorie Kaluza-Klein. Pour ce faire, nous énoncerons d'abord quelques notions de géométrie différentielle. Ceci nous amènera tout naturellement à un exposé sur la théorie de la relativité générale, discutée principalement de façon conceptuelle. Dans la théorie Kaluza-Klein, c'est l'électromagnétisme qui est greffé à la relativité générale, et non l'inverse. Nous reviendrons donc sur cet ajout; ses difficultés et ses implications, ainsi que les autres démarches possibles. Il sera alors nécessaire de faire un arrêt sur les concepts de dimension et de topologie. Nous terminerons cette partie en abordant les particules résultantes de l'ajout d'une cinquième dimension.

Géométrie différentielle

La géométrie différentielle est née avec la remise en question du cinquième postulat d'Euclide. Ce dernier impose que deux droites perpendiculaires à une troisième soient parralèles entre elles. Bien entendu, le monde observable est borné à une géométrie euclidienne lorsqu'on le prend tel quel. Toutefois, faire abstraction du cinquième postulat amène un puissant outil d'analyse. La figure 4 montre le comportement de deux droites parallèles dans diverses géométries.

Figure: Deux droites parallèles dans différentes géométries (image libre de droit)
Image noneuclid

Travailler en géométrie différentielle implique de faire bien attention aux manipulations effectuées, puisque l'intuition géométrique que l'on développe n'est plus applicable. Par exemple, la somme des angles d'un triangle n'est plus de $ \pi$ radians en général, un vecteur peut se voir transformé par une trajectoire fermée (voir figure 5) et les vecteurs d'une base ne commutent pas nécessairement dans le produit scalaire.

Figure: Transport parallèle d'un vecteur sur une sphère
Image parallel_transport

La géométrie différentielle ne se borne pas à étudier les déformations sur une surface 2-dimensionnelle. Le premier à avoir étudié systématiquement les généralisations des surfaces à des objets de n dimensions est Bernhard Riemann, important physicien et mathématicien du $ 19^e$ siècle. On note que ces objets n-dimensionnels se nomment des variétés différentielles, et que lorsqu'elles se comportent bien (lisses, sans singularité, etc), elles sont dites variétés riemannienne. On s'intéressera aux cas des variétés pseudo-riemanniennes, pouvant posséder des éléments de signature négatifs (et donc caractériser une dimension temporelle).

Relativité générale

Le calcul tensoriel fut développé au début du $ 20^e$ siècle pour répondre à un besoin d'énoncer les lois physiques de façon invariante du référentiel. Ce formalisme est basé sur la recherche d'invariants (lors de l'application de tranformations de coordonnées) ainsi que sur plusieurs propriétés. Sa puissance en fait un outil versatil en physique, applicable dans de très nombreux domaines. Le traitement de l'espace 4-dimensionnel par cette méthode amène, considérant très peu de postulats, au développement des théories de la relativité restreinte ainsi que de la relativité générale.

Métrique

On a déjà vu la métrique de Minkowski décrivant un espace plat en relativité restreinte;

$\displaystyle \eta_{ \mu \nu } = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0  0 & 1 & 0 & 0...
... 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0  0 & \delta_{ij}\end{pmatrix}$ (1)

où l'indice en lettre latine prend succèssivement les valeurs des trois dimensions d'espace usuelles ( $ i = \{ 1, 2, 3 \}$). Pour garder la même convention qu'à la dernière section, les indices grecs prendront les valeurs des 4 dimensions spatio-temporelles usuelles ( $ \mu = \{0, i\} = \{0, 1, 2, 3 \}$) et les symboles affublés d'un accent circonflexe vivront en 5 dimensions ( $ \hat{\mu} = \{ \mu, 4 \} = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$). Rappelons l'utilisation de 0 pour la dimension temporelle et celle de $ 4$ pour la dimension spatiale ajoutée.

La métrique de Minkowski va nous permettre de poser l'importante loi de l'invariance de l'interval. Si on n'avait que les trois dimensions d'espace, on pourrait écrire un élément infinitésimal de longueur commme ceci;

$\displaystyle (ds)^2 = (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 = \delta_{ij} d x^i d x^j$ (2)

Il n'y a qu'un pas vers la généralisation de cet élément de longueur en 4 (voire plus) dimensions plates;

$\displaystyle (ds)^2 = \eta_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu$ (3)

L'interval entre deux événements étant conservé, on peut calculer les coordonnées de temps et de position peu importe le référentiel. C'est à ce moment qu'on doit considérer la courbure de l'espace, pouvant modifier l'élément de longueur de façon non-triviale. Dans une forme générale, on écrit maintenant un interval quelconque, pouvant comporter des termes mixtes et dépendants de n'importe quelle coordonnée (en 4 et 5 coordonnées);

$\displaystyle (ds)^2$ $\displaystyle = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$ (4)
$\displaystyle (d \hat s)^2$ $\displaystyle = \hat g_{\hat \mu \hat \nu} d \hat x^{\hat \mu} d \hat x^{\hat \nu}$ (5)

Notons que toutes les métriques physiques avec lesquelles nous travaillerons seront symétrique.

Symboles de Christoffel

Nous avons aussi déjà entraperçu les symboles de Christoffel dans la dernière section, ainsi que leur définition formelle en fonction de la métrique;

$\displaystyle \Gamma ^\rho _{\mu \nu}=\frac 1 2 g^{\rho \lambda} \left ( \parti...
... \nu} + \partial _\nu g_{\lambda \mu} - \partial_{\lambda} g_{\mu \nu} \right )$ (6)

Leur utilité vient du fait qu'une variété pseudo-riemannienne ne possède pas une base de coordonnée globablement invariante. Alors qu'il est possible de travailler dans un repère local lorrentzien (décrit par la métrique de Minkowski), ce repère varie de proche en proche. Une difficultée issue de cette propriété provient donc de l'évolution d'un champ vectoriel (par exemple une distribution de quadrivecteurs impulsion $ p^\mu \vec e_\mu$). C'est à partir des symboles de Christoffel qu'on parvient à prendre en compte l'évolution des vecteurs de base.

Un exemple simple de l'utilisation des symboles de Christoffel est l'édification d'une base 2-dimensionnelle en coordonnées polaire dans un espace plat. On a $ x^1 = r \cos \theta$ et $ x^2 = r \sin \theta$. Par une tranformation des vecteurs de base à partir de la métrique cartésienne, on obtient directement;

$\displaystyle \vec e_\theta$ $\displaystyle = -r \sin \theta \vec e_1 + r \cos \theta \vec e_2 \qquad$ $\displaystyle \Rightarrow \qquad g_{\theta \theta}$ $\displaystyle = \vec e_\theta \cdot \vec e_\theta = r^2$ (7)
$\displaystyle \vec e_r$ $\displaystyle = \cos r \vec e_1 + \sin r \vec e_2 \qquad$ $\displaystyle \Rightarrow \qquad g_{r r}$ $\displaystyle = \vec e_r \cdot \vec e_r = 1$ (8)

De 7 et 8, on calcule les symboles de Christoffel à l'aide de l'équation 6, obtenant;

$\displaystyle \Gamma^\theta_{r \theta}$ $\displaystyle = r^{-1}$ (9)
$\displaystyle \Gamma^r _{\theta \theta}$ $\displaystyle = -r$ (10)
$\displaystyle \Gamma^\theta _{\theta \theta} = \Gamma^\theta _{r r}$ $\displaystyle = 0$ (11)
$\displaystyle \Gamma^r _{r r} = \Gamma^r _{\theta \theta}$ $\displaystyle = 0$ (12)

Apparition des forces et géodésiques

Ces résultats en main, imaginons une particule en mouvement circulaire uniforme autour de l'origine au point $ (r,\theta)$. Celle-ci subit donc une force virtuelle due à la variation de sa base de coordonnée. Cette force centrifuge agissant en $ r^{-1}$ pourrait avoir été obtenue directement de l'expression du symbole de Christoffel alors qu'une expression de potentiel proviendrait de l'expression 7 de la métrique. Dans un exemple plus complet, on pourrait aussi trouver les composantes du tenseur de Riemann, qui représenterait alors les forces de marée (voir figure 6). Ici, les termes obtenus proviennent d'un changement de coordonnées forcé , il va donc de soit que la force centrifure est une force virtuelle.

Figure: Effet d'une force de marée sur un anneau de particules
Image force_maree

Le cas d'une courbure intrinsèque de l'espace-temps est exactement similaire. C'est-à-dire qu'une particule suit une ligne droite dans la variété où elle se trouve, pas nécessairement droite selon notre perception locale des choses. Cette trajectoire est appelée la géodésique, et représente en quelque sorte un parcours de chute libre pour la particule, puisqu'aucune force ne semble agir sur elle dans son référentiel local. Un exemple de deux géodésiques est donnée à la figure 7. Ce dernier concept est absolument primordial à la compréhension de ce qui suivra.

Figure: Deux géodésiques (en rouge) dans une variété 2-dimensionnelle
Image geodesiques

Picture spacetime as filled with free-fall trajectories. Pick an event. Pick a velocity there. They determine a unique trajectory. [3]

Principe d'équivalence: à tout point de l'espace, il est possible de travailler dans un voisinage suffisamment petit pour qu'il soit possible d'appliquer les règles de la relativité restreinte. Ainsi, en l'absence d'autres interactions que gravitationnelles, les trajectoires de particules test suivent les lignes géodésiques liées à la courbure de l'espace. (e.g. Les orbites des planètes autour du Soleil sont une projection en 3 dimensions de géodésiques 4-dimensionnelles.)

Tenseur d'énergie-impulsion

Il ne nous manque qu'un bloc pour terminer notre résumé de la relativité générale: d'où vient la courbure intrinsèque de l'espace? La solution d'Einstein fut de relier la courbure à la distribution d'énergie (et donc de masse). La distribution d'énergie n'est toutefois pas triviale dans le formalisme tensoriel, puisque dépendemment du référentiel, l'énergie d'une particule peut voyager entre les différentes composantes du quadrivecteur impulsion. Pour cette raison, il nous faut introduire un nouveau tenseur, d'ordre 2 et de dimension 4.

Sa dérivation (que nous ne reproduirons pas ici), peut être bâtie à partir d'une distribution arbitraire de particules, dont les interactions sont contrôlée, et des principes de relativité restreinte. Contentons-nous ici de dire que les composantes de ce tenseur ( $ T^{\alpha \beta}$) - qui est symétrique - sont définies par le flux de la composante $ \alpha$ de l'impulsion au travers d'une variété sur laquelle $ x^\beta$ est constant. La figure 8 donne une signification particulière aux $ T^{\alpha \beta}$ - les termes croisés de $ T^{ij} (i \neq j)$ représentant la viscosité.

Figure: Interprétation physique des composantes du tenseur d'énergie-impulsion
Image energie_impulsion

Union des interactions

Ansatz de Kaluza: Tous les composants de la métrique 5-dimensionnelle $ \hat{g}_{\hat{\mu} \hat{\nu}}$ ne dépendent pas de la cinquième dimension.

Ansatz de Klein: $ \hat{g}_{44}$ est une constante.

Dans cette section, on va tenter de comprendre la structure de base de l'espace dans la théorie Kaluza-Klein. La force d'une théorie se mesure, entre autre, à sa simplicité et à sa portée, de même qu'à son esthétisme. L'utopie du physicien théorique tient donc à une unification de toutes les théories de la natures dans ce que l'on pourrait nommer la théorie du tout (Grand Unified Theory [GUT]). Une première marche vers cette approche consisterait donc à marier la théorie de la relativité générale développée par Einstein avec l'electromagnétisme. Le tout en utilisant la puissance et la légèreté du formalisme tensoriel.

Les 10 équations d'Einstein, décrites dans l'espace-temps usuel à 4 dimensions, remplissent déjà tout l'espace tensoriel (symétrique) dans lequel on pourrait travailler;

$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot n(n+1) = 10$ (13)

Les équations de Maxwell amènent 4 nouveaux degrés de liberté, ce qui nous oblige, si on souhaite garder une métrique symétrique, à introduire une nouvelle dimension. Débutons donc notre exposé comme l'a fait Kaluza dans son article original [4] et postulons l'existence de la cinquième dimension ($ x^4$). Généralisons la théorie d'Einstein en 5 dimensions, utilisant la signature suivante: $ (-,+,+,+,+)$.1 L'élément de ligne, rappelons-le, est donné par;

$\displaystyle ds^2 = g_{\hat{\mu} \hat{\nu}} dx^{ \hat{\mu} } dx^{ \hat{\nu} }
$

Pour qu'une unification soit valable, il faut retrouver les résultats expérimentés lorsqu'il n'y a qu'une seule force d'activée . On doit donc adapter le tenseur d'énergie-impulsion. Celui-ci contenait déjà les flux du quadrivecteur énergie-impulsion (énergie sous forme de masse, vitesse); on va lui ajouter des flux avec la charge et les champs électromagnétiques.

Rappelons que la métrique 5-dimensionnelle, dans sa forme réduite, est

$\displaystyle \hat g_{\hat \mu \hat \nu} = \begin{pmatrix}g_{\mu \nu} & k A_\mu  k A_\nu & k \end{pmatrix}$ (14)

Et que l'action en 5 dimensions s'exprime:

$\displaystyle \hat S = \frac 1 {2 \hat k ^2} \int d^5 \hat x \sqrt {-\hat g} \hat R$ (15)

Topologie et projection dimensionnelle

Notre expérience de tous les jours nous permet difficilement de concevoir une cinquème dimension spatio-temporelle. On pourrait en effet s'imaginer vivre dans un monde 2-dimensionnel (sur cette feuille de papier par exemple) et essayer de comprendre ce qu'il en serait d'une troisième dimension nous étant invisible. Celle-ci n'influencerait pas directement notre vie, mais nous pourrions déceler des indices de sa présence si on pouvait observer que notre monde (2-dimensionnel) agit comme une projection d'un volume 3-dimensionnel sur un plan. Il en est de même de la dimension supplémentaire Kaluza-Klein.

La démarche théorique ici tentée est de postuler les interactions entre les dimensions usuelles et la nouvelle dimension, ainsi que sa topologie. Alors que le lien entre les dimensions est pris en compte par la métrique (comme exposé précédemment), la définition de la topologie est moins directe. On dit que la nouvelle dimension est compactifiée, et se retrouve fermée sur elle-même. C'est même son très petit rayon qui expliquerait qu'on ne puisse l'oberver directement.

Pour obtenir des prédictions physiques à partir de notre théorie à 5 dimensions, il nous faudra donc réaliser les calculs en prenant en compte toutes les dimensions, et projeter le résultat sur nos quatre dimensions observables. Ainsi, en 5 dimensions, une particule suivra toujours une ligne géodésique. Toutefois, puisque celle-ci est exprimée en plus de 4 dimensions, la réalité physique sera donnée par une projection dans l'espace-temps usuel.

Figure: Projection d'un espace 3-dimensionnel (2 d'espace et 1 compactifiée) vers un espace 2-dimensionnel [5]
Image vincent_projection

Trajectoires physiques

La théorie de la relativité générale amène comme conséquence que la trajectoire d'une particule est complètement définie par sont 4-vecteur d'impulsion. La particule suit la géodésique prescrite par la courbure de l'espace-temps. La trajectoire ne dépend donc pas du choix de la particule (sa charge, sa masse, etc). Toutefois, si on ajoute maintenant l'interaction électromagnétique, ainsi qu'un champ associé, plusieurs particules de charge différentes auront des trajectoires différentes pour un même 4-vecteur impulsion initial. L'invariance de la relativité générale est retrouvée en ajoutant la cinquième dimension, topologiquement fermée (compactifiée), et de longueur si petite qu'elle est impossible à observer. Cette nouvelle dimension cache l'information électromagnétique. Ainsi, les conditions initiales d'une particule peuvent maintenant être données par un 5-vecteur impulsion, dont la composante numérotée 4 donne la charge sur la masse ($ e/m$). [5]

Champs et particules

Repartons de l'action en 5 dimensions (équation 15). La compactificatoin de la nouvelle dimension de Klein permet d'écrire;

$\displaystyle \phi (x^\mu , x^4) = \phi ( x^\mu , L_5 + x^4)
$

Cette périodicité permet un développement en série de Fourier des champs mis en jeu, et donc une série discrétisée de solutions [6];

$\displaystyle g_{\mu \nu} (x^{\hat\alpha})$ $\displaystyle = \sum_{n = -\infty} ^{+\infty} g_{\mu \nu}^{(n)} (x^\alpha) \exp^{inx^4/L^5}$ (16)
$\displaystyle A_\mu(x^{\hat\alpha})$ $\displaystyle = \sum_{n = -\infty} ^{+\infty} A_\mu^{(n)} (x^\alpha) \exp^{inx^4/L^5}$ (17)
$\displaystyle \phi (x^{\hat\alpha})$ $\displaystyle = \sum_{n = -\infty} ^{+\infty} \phi^{(n)} (x^\alpha) \exp^{inx^4/L^5}$ (18)

avec

$\displaystyle g_{\mu \nu}^{(n)*} (x^\alpha)$ $\displaystyle = g_{\mu \nu}^{(-n)} (x^\alpha)$ (19)
$\displaystyle A_{\mu}^{(n)*} (x^\alpha)$ $\displaystyle = A_{\mu}^{(-n)} (x^\alpha)$ (20)
$\displaystyle \phi^{(n)*} (x^\alpha)$ $\displaystyle = \phi^{(-n)} (x^\alpha)$ (21)

C'est ainsi que la théorie Kaluza-Klein décrit une infinité de champs 4-dimensionnel. Ces champs peuvent décrire trois nouvelles catégories de particules comme décrit au tableau de la figure 10. De plus, on peut se concentrer sur le mode fondamental pour les particules observables ($ n=0$).

Figure: Familles de particule de la théorie Kaluza-Klein à $ n=0$
\begin{figure}\centering\begin{tabular}{\vert ccccc\vert}
\hline
Particule &...
...cond ordre & $g_{\mu \nu}$ & 0 & spin de 2\\
\hline
\end{tabular}\end{figure}

Particule test sous Kaluza-Klein

Cette partie, plus mathématique, va reprendre les principaux éléments de [7] dans le but de montrer un exemple un peu plus concret d'application. Partons de l'action énoncée en équation 15 et intégrons sur $ x^5$;

$\displaystyle S = \frac{1}{16 \pi G} \int d^4 x \sqrt{-g} \left [ R - \left ( \frac {16 \pi G}{4} \right ) F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} \right ]$ (22)

L'équation en 5 dimensions de la géodésique est donnée en fixant la dérivée covariante du vecteur d'impulsion nulle (avec $ \hat m$ l'invariant de masse);

$\displaystyle \hat m \left ( \frac{d^2 x^{\hat \alpha}}{d \hat s ^2} + \hat \Ga...
...{\hat \beta} }{d \hat s ^2} \frac{d x^{\hat \gamma} }{d \hat s ^2} \right ) = 0$ (23)

Utilisant astucieusement la métrique, on sépare l'expression dans le but de retrouver les équations 4-dimensionnelles;

$\displaystyle \frac{d^2 x^\alpha}{d \hat s ^2} + \Gamma ^ \alpha _ {\beta \gamm...
...rac{\hat p ^2}{\hat m ^2} g^{\alpha \gamma} \frac{\lambda_{,\gamma}}{\lambda^3}$ (24)

L'impulsion 5-dimensionnelle étant donnée par $ \hat p - \hat m \hat g _{5\alpha} dx^\alpha / d \hat s$. On laisse le traitement plus en détail des constantes $ \lambda$ à la section suivante. Considérant $ \lambda = \lambda_\infty$, on exhibe la dépendance de $ \hat p$ sur la charge;

$\displaystyle \hat p = \frac{q \lambda_\infty}{\sqrt{16 \pi G}}$ (25)

Ainsi, la quantification de la charge électrique relève de la quantification de l'impulsion. Utilisant la charge élémentaire de l'électro à la place de $ q$, on obtient une taille caractéristique de la dimension compact;

$\displaystyle \lambda_{\infty} = \hbar \frac{\sqrt{ 16 \pi G}}{e} \sim 10^{-32} \mathrm{cm}$ (26)

Pour revenir en 4 dimensions, on pose d'abord une masse effective $ m_{eff} \equiv \hat m  ds / d \hat s$ et on utilise $ d \hat s ^2 = ds^2 + \left ( \hat p ^2 / \lambda ^2 \hat m ^2 \right ) d \hat s ^2$ sur l'équation 27;

\begin{multline}
\frac{d^2 x^\alpha}{d s ^2} + \Gamma ^ \alpha _ {\beta \gamma}...
...alpha \beta} + \frac{dx^\alpha}{ds} \frac{dx^\beta}{ds} \right )
\end{multline}

On peu traiter la masse effective, lorsque constante, comme une masse observable, et obtenir son expression;

$\displaystyle m_q = \sqrt{\hat m ^2 + \frac{e^2}{16 \pi G} }$ (27)

Puisque $ e/16 \pi G = \sqrt \alpha M_{planck} \approx 10^{-6} \mathrm{g}$, il est impossible de décrire une particule élémentaire sans que celle-ci ait une masse énorme. C'est le problème bien connu des grandes masses de Kaluza Klein.

Généralisation Kaluza-Klein de dimensions supérieures

La théorie Kaluza-Klein est la porte d'entrée à un modèle d'unification des 4 forces. Partant des symétries du modèle standard, $ U(1) \times SU(2) \times SU(3)$, pour les forces électromagnétique, faible et forte respectivement, une généralisation naïve s'est toutefois vue soldée par un échec. C'est l'idée d'utiliser de nouvelles dimensions, pouvant porter des propriétés différentes, et cacher l'explication des phénomènes observés, qui est restée dans l'esprit des chercheurs en physique théorique. La théorie-K est maintenant un objet d'étude purement géométrique dont l'intérêt de recherche a été initié par la théorie Kaluza-Klein.

L'unification de la force électromagnétique et de la force nucléaire faible fut d'abord faite par Weinberg et Salam par une théorie de jauge. Dans la même trame, cette nouvelle force électro-faible peut être unie à la force nucléaire forte par la théorie de Yang-Mills, une théorie de jauge non-abélienne. Le tout, traité par la théorie quantique des champs, forme la base du modèle standart, et explique toutes les particules observées. Seule la gravitation ne cadre présentement pas dans ce tableau. En effet, aucune tentative de quantification de la relativité générale n'a donné de résultat satisfaisant.

Figure: Interaction et théorie l'expliquant
\begin{figure}\centering\begin{tabular}{\vert ccc\vert}
\hline
Interaction &...
... Nucléaire Forte & SU$_c$(3) & Yang-Mills \\
\hline
\end{tabular}\end{figure}

Vincent Méthot 2013-05-01