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Kaluza-Klein - un aperçu historique

Rédigé par Jean-Simon Larochelle

Les débuts de la théorie

En avril 1919, quelques années après que la théorie de la relativité générale ait été formulée, Einstein reçut une lettre de la part d’un mathématicien très peu connu. Theodor Kaluza de l’Université de Königsberg en Allemagne lui envoya un article plutôt court dans lequel il proposait une façon d’unir la théorie de la relativité générale d’Einstein avec la théorie électromagnétique de Maxwell. Kaluza suggérait donc une solution à ce problème majeur de la physique, soit l’unification de la gravité à l’électromagnétisme. L’idée inovatrice de Kaluza était d’ajouter une cinquième dimension au tenseur de la théorie d’Einstein, soit une quatrième dimension d’espace, porteuse de l’interaction électromagnétique. Il n’était pas le premier à introduire une quatrième dimension d’espace. Avant lui, Hinton et Zollner avaient déjà considéré cette hypothèse, mais c’est la façon dont Kaluza l’introduisit à travers la théorie d’Einstein qui était ingénieuse et qui piqua la curiosité de ce dernier. Il fut donc le premier à illustrer l’utilité de cette quatrième dimension d’espace. Einstein, alors charmé par l’idée de Kaluza, poussa ce dernier à publier. C’est ce qu’il fit en 1921 avec un papier intitulé Zum Unitätsproblem der Physik qui peut se traduire par sur le problème de l’unification en Physique et qu’il publia dans les comptes-rendus de l'Académie des sciences de Prusse.

Kaluza réécrivit les équations de champs gravitationnels d’Einstein en cinq dimensions. Il démontra ensuite que ces équations contenaient bel et bien leur version connue en quatre dimensions et détenaient en plus une nouvelle partie, recouvrant la théorie de Maxwell. Voilà donc que la question de savoir par quel milieu la lumière se propage dans la nature était par la même occasion réglée avec la théorie de Kaluza-Klein. On pouvait assurément laisser tomber le mystérieux éther encore dans la tête de quelques physiciens de l’époque. La lumière étant donc l’expression de la déformation de cette cinquième dimension. Bien entendu, la publication n’était associée à aucune évidence expérimentale permettant de confirmer l’existence d’une quatrième dimension d’espace. Encore aujourd’hui il s’agit d’un sujet de questionnement pour plusieurs expérimentateurs; soit savoir comment faire pour observer l’effet potentiel de cette dimension. Nous en parlerons plus loin.

La théorie de Kaluza avait l’avantage d’être très élégante au point de vue géométrique. On sait que la théorie de Maxwell peut être réduite à un champ 4-dimensionnel ($ A_\mu$), alors que dans les équations d’Einstein on retrouve 10 composants de champ gravitationnel. C’est un tenseur d’ordre 2 (qui peut donc se représenter par une matrice) qui régit la relativité générale. En augmentant la dimension de la métrique, on peut traiter nos quatre équations de Maxwell de la façon suivante:

$\displaystyle \hat{g}_{\hat{\mu} \hat{v}} = \begin{pmatrix}g_{\mu \nu} & kA_\mu...
... g_{32} & g_{33} & kA_{3} kA_{0} & kA_{1} & kA_{2} & kA_{3} & k \end{pmatrix}$

Ce tenseur métrique représente l'élément infinitésimal de distance, et suffit à décrire toute la physique gravitationnelle selon la relativité générale. Ici, les $ g_{\mu \nu}$ sont les composantes de la métrique pseudo-riemannienne usuelle en relativité générale. L’indice 0 est associé à la composante de temps (t), alors que les indices 1, 2 et 3 sont les trois dimensions d’espace que l’on connait déjà (par exemple en cartésien : x, y et z). Pour ce qui est des $ A_{\mu}$, ils correspondent aux quatre composantes du quadrivecteur électromagnétique, porteuses de l'interaction électromagnétique.

Au même titre que le champ régi par le quadrivecteur électromagnétique $ A_\mu$ représente le photon, le champ scalaire $ g_{44}$ peut ici représenter une particule que les physiciens nommèrent le dilaton. Nous ne traiterons pas explicitement ici le cas de cette particule, mais il s’agit d’un effet connexe intéressant de la théorie de Kaluza-Klein.

Bien entendu, il nous reste toujours la question de savoir où se cache cette fameuse dimension et pour quelle raison nous ne la percevons pas. L’idée de Kaluza, concrétisée par les travaux de Klein, était de répondre à cette question en proposant que la cinquième dimension soit en fait recourbée sur elle-même en un cercle de rayon si petit que même un atome ne pourrait pas être contenu à l’intérieur (voir figure 1). Puisque la cinquième dimension aurait la topologie d’un cercle $ (S^{1})$, la topologie de l’Univers en entier, par analyse de ce que l’on appelle les variétés géométriques et qui régissent les notions de topologie, serait équivalente à celle d’un cylindre (ou hypercylindre).

$\displaystyle M^5 = M^4 \times S^1
$

$ M^4$ est la topologie de l’espace-temps usuel en quatre dimensions.

Il s’agit bien entendu d’une théorie très difficile à se représenter, puisque notre cerveau ne conçoit que trois dimensions d’espace. Le fait que la cinquième dimension n'ait jamais été observée est souvent illustré en considérant l’exemple d’une simple feuille de papier. De loin, elle nous parait un objet en deux dimensions. L’épaisseur, la troisième dimension, nous est perceptible seulement en nous rapprochant pour mieux voir cette dimension. On peut faire une analogie avec la théorie de Kaluza-Klein. Pour percevoir la dimension cachée, par contre, il nous faudrait faire un changement d’échelle considérable. En physique, pour creuser l'espace dans ses dimensions les plus infimes, il faut des énergies toujours plus élevées. Cela devient donc un obstacle pratiquement infranchissable à l’observation de nouvelles dimensions.

Figure: Conceptualisation de la cinquième dimension (image libre de droit)
Image Dimensions_cercles

La théorie Kaluza-Klein fit un certain effet à sa sortie dans la communauté scientifique, mais aux alentours des années 1930, elle ne trouva pratiquement plus de partisans. Klein avait défini que la longueur du cercle sur lequel la cinquième dimension est recourbée est de l’ordre de la longueur de Plank [1], soit $ 1,6 \times 10^{-35}$ m.

Cette conjecture est très difficile, voire impossible à prouver expérimentalement (un atome ayant une taille de l'ordre de $ 10^{-10}$ m). Ce faisant, les physiciens décidèrent de migrer vers la théorie de la mécanique quantique qui prenait son essor à cette époque et dont les conclusions avaient beaucoup plus d’impacts observables. On peut donc dire que la théorie de Kaluza-Klein fut victime de l’incroyable popularité et efficacité de la mécanique quantique.

Il faut tout de même se replonger à cette époque où les deux seules forces connues étaient la gravité et l’électromagnétisme, les forces nucléaires n’étant pas encore découvertes. La théorie de Kaluza-Klein avait donc le pouvoir d’unir toute la physique de l’époque, ce qui est assez remarquable. Il est intéressant de savoir également que Kaluza ne fut pas le premier à concevoir l’unification de l’électromagnétisme et de la gravité par l’ajout d’une dimension d’espace supplémentaire. En 1914, avant que la relativité générale d’Einstein n’apparaisse, Gunnar Nordström, physicien finlandais, travaillait déjà à cette unification. Il en jeta donc les bases conceptuelles. Néanmoins, une fois la théorie de la relativité générale énoncée, ce fut bien Kaluza, en travaillant avec le formalisme tensoriel, qui porta la théorie à un degré plus élevé.

La renaissance de la théorie

C’est durant les années 1980 que la théorie de Kaluza-Klein fut ramenée à la surface avec l'avènement de la théorie des cordes. Selon sa version, les objets qu'elle décrit, les cordes, évoluent dans un Univers de 10, de 11 ou encore de 26 dimensions. Il s'agit ici d'une généralisation de cette conception que les dimensions supplémentaires pourraient être porteuses des différentes interactions.

La théorie de Kaluza-Klein permettait l’ajout d’une dimension, mais ne prédisait en aucun cas le nombre exact de dimensions d’espace dans lequel nous vivons. Il est donc possible d’en rajouter d’autres. Peter Freund, un physicien américain connu pour sa contribution en physique des particules et en théorie des cordes, profita donc de cette théorie pour tenter d’unir la force nucléaire aux deux forces présentes dans la théorie de Kaluza-Klein. Pour ce faire, il émit l’hypothèse d’un nombre infini de dimensions. Par contre, cette hypothèse ne semble pas physiquement possible et est aujourd’hui dépassée.

Durant les années 1980, les physiciens sont confrontés à leur incapacité à introduire la gravité dans un modèle quantique acceptable. Comparativement aux trois autres forces, elle ne se plie pas facilement à une analyse en terme de champ quantique et de particules d'interactions. Pourtant, le modèle standard ne cessait de se renforcer par les nouvelles expériences. Par cette frustration de ne jamais réussir à y introduire la gravité, les physiciens puisèrent dans tous les outils qui étaient à leur disposition. C’est de cette façon qu’ils décidèrent de réintroduire la théorie de Kaluza-Klein, vieille de près de 60 ans, et de laisser tomber leur réticence de cette cinquième dimension imperceptible.

Quelques années avant, on découvrit que la matière était composée de Quarks et de Leptons retenus ensemble par un champ soumis à la symétrie $ SU(3) \bigotimes SU(2) \bigotimes U(1)$. Les deux interactions nucléaires sont donc soumises à des symétries plus grandes ($ SU(3)$ et $ SU(2)$ pour forte et faible respectivement) que la symétrie $ U(1)$ associée à l’électromagnétisme. Les physiciens de l’époque réalisèrent alors qu’en introduisant un nombre N de dimensions recourbées sur elles-mêmes, ils avaient le libre choix d’imposer la symétrie de l’espace. Ils réussirent donc à faire apparaitre les champs de Yang-Mills pour un Univers composé de ce nombre N de dimensions recourbées, introduisant alors à la métrique usuelle une autre composante importante qui régit la physique subatomique (voir figure 2).

Figure: Généralisation de la métrique prenant en compte les champs de Yang-Mills [1]
Image metrique1

Chaque zone de dimension supérieure contient alors les composantes associées aux différentes théories. Les champs de Yang-Mills sont ceux régissant la force nucléaire forte et faible, représentant une invariance sur un terme de phase matriciel au lieu du terme scalaire de l’électromagnétisme.

$\displaystyle \varphi {\rightarrow} e^{iT}\varphi
$

T étant une matrice pouvant dépendre de la position. Il s’agit donc d’une théorie de Jauge non-abélienne. En continuant cette analyse, il a été possible encore d’introduire dans la métrique des composantes de plus (voir figure 3), régissant alors les différentes particules et introduisant la supergravité dans un Univers de dimensions nettement plus nombreuses. Plusieurs problèmes furent liés à cette théorie, mais elle permit aux physiciens de proposer une nouvelle théorie basée toujours sur le principe de dimensions supplémentaires recourbées. Voilà un aperçu de comment on chemine vers la théorie des cordes, le candidat le plus prometteur de l’unification des forces tant recherchée par les physiciens depuis si longtemps, mais qui peut difficilement être confirmé expérimentalement. La théorie de Kaluza-Klein fut donc une marche vers une théorie beaucoup plus complète, mais fut une des pionières qui permit aux physiciens de penser l’Univers autrement.

Figure 3: Metrique 2 [1]
Image metrique2

La théorie

La nouvelle métrique introduite par Kaluza nous permet de réévaluer l’intervalle $ ds$ (invariant dans tout référentiel) de la façon suivante:

$\displaystyle ds^{2}$ $\displaystyle = \hat{g}_{\hat{\mu} \hat{v}}  dx^{\hat{\mu}}\cdot dx^{\hat{v}}$    
$\displaystyle ds^{2}$ $\displaystyle = {g}_{\mu {v}}  dx^{{\mu}} dx^{{v}}+(dx^{4}+kA_{\mu }dx^{\mu })^{2}$    

$ g_{\mu v}$ est donc le tenseur métrique permettant de calculer une distance (ou l'intervale, son équivalent en relativité). Par exemple, dans le cas de la relativité restreinte dans un Univers vide et plat, cela équivaut à la métrique de Minkowski:

$\displaystyle {g}_{\mu v}= \eta_{\mu \nu} = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0  0 & 1 & 0 & 0  0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1  \end{pmatrix}$

On comprend donc que les variables avec un accent circonflexe représentent le cas en cinq dimensions et que sans cet accent, c'est le cas classique de quatre dimensions qui est traité. La variable $ x^{4}$ représente de cette façon notre fameuse cinquième dimension. Puisque le signe devant $ x^{4}$ est positif, en accord avec la façon dont nous avons traité la métrique de Minkowski, soit la signature (-,+,+,+), nous voyons bien que $ x^{4}$ est associé à une dimension d’espace. Dans l’expression, $ A_{\mu}$ est le quadrivecteur électromagnétique représentant le potentiel scalaire $ \phi$ et les trois composantes du potentiel vectoriel magnétique $ A_{1}$, $ A_{2}$ et $ A_{3}$ de la façon suivante:

$\displaystyle A_{\mu}=(\phi ,A_{1},A_{2},A_{3})
$

Les deux points primordiaux de la théorie tel que formulée par Kaluza sont que:

Alors, si on fait une transformation sur la cinquième dimension, soit

$\displaystyle x^{4}{\rightarrow} {x^{4}}'=x^{4}+ \Lambda (x^{\mu})
$

une transformation arbitraire, mais indépendante de $ x^{4}$, la métrique devient:

$\displaystyle ds^{2}={g}_{\mu {v}}  dx^{{\mu}}\cdot dx^{{v}}+(dx^{4}+\frac{\partial \Lambda }{\partial x^{\mu}}dx^{\mu}+kA_{\mu }dx^{\mu })^{2}
$

On reconnait ici une transformation de Jauge du quadrivecteur électromagnétique.

$\displaystyle A_{\mu} {\rightarrow}A_{\mu}'=A_{\mu}-\frac{1}{k}\frac{\partial \Lambda }{\partial x^{\mu}}
$

Donc on déduit ici qu’une transformation de Jauge peut être associée à une transformation de la cinquième dimension. On voit que la théorie s’annonce donc plutôt cohérente. La transformation de Jauge, si important en électromagnétisme, puisqu’elle suggère l’existence d’un champ de masse nulle qui fait varier la phase de la fonction d’onde, est bien retrouvée dans la théorie de Kaluza-Klein. Par contre, dans le cadre de cette théorie, elle est conceptualisée de façon un peu différente en imaginant une invariance sur transformation d’une nouvelle dimension d’espace.

Avant d’aller plus loin, nous aurons besoin de nous assurer la connaissance de quelques notions, liées à la notation tensorielle appliquée à la relativité générale et l’électromagnétisme.

Notions sur les tenseurs et la relativité générale

En notation tensorielle, il faut faire attention lorsqu’on dérive un tenseur, puisque le résultat n’est pas toujours lui-même un tenseur. Ainsi on introduit le symbole de Christoffel $ \Gamma^{k}_{ji}$ où, dans une base $ \left \{ \overrightarrow{e_{k}} \right \}$, on a que :

$\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{e_{i}}}{\partial x^{j}}\equiv \partial _{j}\overrightarrow{e_{i}}=\Gamma ^{k}_{ji}\overrightarrow{e_{k}}
$

Pour un Univers plat, l'ensemble des symboles de Christoffel seraient nuls. Ce qui nous intéresse plus particulièrement, c’est la relation entre le symbole de Christoffel et la métrique, qui s’exprime comme suit.

$\displaystyle \Gamma ^{n}_{ij}=\frac{1}{2}g^{nk}(\partial _{i}g_{kj}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})
$

Il est à noter que lorsque les indices de la métrique sont contravariants (situés en haut), il s’agit de l’inverse de la métrique présentée précédemment $ g_{\alpha \beta} = (g^{\alpha \beta})^{-1}$. Ceci est applicable seulement pour le cas de la métrique puisque de façon plus générale:

$\displaystyle U^{i} = g^{ij} U_j   \mathrm{et}   U_j = g_{ij} U^i
$

Cela nous permet alors d’exprimer le tenseur de courbure de la façon suivante:

$\displaystyle R^{\sigma }_{\mu \alpha \beta } = \partial_\alpha \Gamma^{\sigma}...
...u \beta } - \Gamma ^{\sigma }_{\beta \lambda } \Gamma^{\lambda }_{\mu \alpha }
$

$\displaystyle \mathrm{avec}  \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}
$

Le tenseur de courbure est celui qui illustre la déformation de l'espace, concept clé en relativité générale. Pour un espace plat, par exemple, toutes les composantes seraient zéro. On peut réduire le tenseur de courbure au tenseur de Ricci de la façon suivante, soit en prenant la trace du tenseur de courbure:

$\displaystyle R_{\alpha \beta }=R^{\lambda }_{\alpha \lambda \beta }
$

On définit finalement le scalaire de Ricci par la contraction du tenseur associé:

$\displaystyle R=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }
$

Nous avons présenté ces éléments théoriques liés à la courbure et l’analyse tensorielle, puisque la relativité générale est écrite dans cette notation. La théorie s’illustre principalement par l'équation d'Einstein (dans sa forme sans constante cosmologique):

$\displaystyle G_{\mu v}=R_{\mu v}-\frac{1}{2}Rg_{\mu v}=8\pi T_{\mu v}
$

Le tenseur d’Einstein, $ G_{ \mu v}$, est donc proportionnel au tenseur d’énergie-impulsion, $ T_{\mu v}$, linéaire et symétrique. Ce dernier représente comment l’énergie (et donc la masse) déforme l’espace-temps. En stipulant que les particules suivent une géodésique (équivalent d’une ligne droite dans un Univers potentiellement courbe), c’est ainsi que la gravité peut déformer le parcours des corps environnant.

Nous voulons donc retrouver l'équation de la relativité générale en quatre dimensions et les conséquences qu'elle apporte en introduisant la cinquième dimension. Toutefois, il nous importe tout autant de faire en sorte que cette nouvelle dimension fasse apparaitre les lois régissant l’électromagnétisme.

Cas de l’électromagnétisme

Il faut savoir que l'électromagnétisme peut être écrit sous forme tensorielle afin de traiter son influence à travers la relativité. Nous ne voulons pas, dans le cadre de la théorie de Kaluza-Klein, simplement traiter l'électromagnétisme par la relativité, mais bien que les équations de Maxwell soient intrinsèquement contenues dans la relativité. En utilisant les différents potentiels, les équations de Maxwell prennent la forme de:

$\displaystyle \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi$ $\displaystyle = \rho \qquad$ $\displaystyle \frac{\partial^2 \vec A}{\partial t^2} - \nabla^2\vec A = \vec j$    
$\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial t}+\vec\nabla\cdot\vec A$ $\displaystyle = 0 \qquad$ $\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\vec\nabla\cdot(\vec j) = 0$    

En utilisant le quadrivecteur densité de courant $ J_{\mu}=(\rho ,J_{1},J_{2},J_{3})$, on réécrit l’électromagnétisme de façon relativiste. [2]

$\displaystyle \partial ^{\mu}F_{\mu v }$ $\displaystyle = J_{v}$    
$\displaystyle \partial ^{\mu}F^{*}_{\mu v }$ $\displaystyle = 0$    

Ceci est l'expression des équations de Maxwell avec le formalisme tensoriel, où:

$\displaystyle F^{*}_{\mu \nu }=\frac{1}{2}\epsilon _{\mu \nu \lambda \rho }F^{\lambda \rho }
$

et $ \epsilon$ représente le symbole de Levi-Civita.

Le $ F_{\mu \nu}$ est en fait le tenseur de Faraday qui s'exprime comme suit.

$\displaystyle F_{\mu v}=\begin{pmatrix}
0& -E^{x} & -E^{y} & -E^{z}\\
E^{x}&...
...-B^{y}\\
E^{y}& -B^{z} & 0& B^{x}\\
E^{z}& B^{y} & -B^{x} & 0
\end{pmatrix}$

Ou, en terme du quadrivecteur:

$\displaystyle F_{\mu v}=\partial _{\mu}A_{\mu}-\partial _{v}A_{v}
$

Notre but est d'écrire un tenseur d’énergie-impulsion lié à l’électromagnétisme afin de savoir comment l’énergie contenue dans les différents champs influence la courbure de l'espace.

$\displaystyle T_{EM}^{\mu \nu} = F^{\mu \lambda }F^{\nu}_{\lambda }-\frac{1}{4}g^{\mu \nu}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}
$

Retour à la théorie

En utilisant alors les notions d’électromagnétisme présentées dans la section précédente, on peut réécrire le scalaire de Ricci pour un Univers en cinq dimensions, ce qui nous donne une expression étonnamment simple:

$\displaystyle \hat{R} = R - \frac{k^{2}}{4}F_{\mu v}F^{\mu v}
$

Alors, si on prend un Univers vide, où $ T_{\mu v}=0$, dans le cadre du modèle de Kaluza-Klein, l'équation d'Einstein s'écrit:

$\displaystyle \hat{G}_{\mu v}=\hat{R}_{\mu v}-\frac{1}{2}\hat{R}\hat{g}_{\mu v}=0
$

simplement en utilisant le fait que le tenseur de courbure est maintenant dépendant de $ F^{\mu v}$, cette équation devient, en développant nos termes:

$\displaystyle G_{\mu v}=R_{\mu v}-\frac{1}{2}Rg_{\mu v}=k^{2} \widetilde{T}_{\mu v}
$

$ \widetilde{T}_{\mu v}$ est bien la forme convariante de notre tenseur électromagnétique. Partant alors d'un univers vide, nous avons fait apparaitre l'influence de l'électromagnétisme. Ce raisonnement serait également bon en posant un univers soumis à un certain tenseur énergie-impulsion non-nul. Nous avons éviter ici la démonstration mathématique détaillée dans un but d'alléger la lecture et d'éviter de tomber dans un formalisme tensoriel trop lourd.

Nous pouvons poussez un peu plus loin notre analyse.

En considérant notre cinquième dimension recourbée, si on prend un champ scalaire quelconque $ \phi(x^{\hat{\mu}})$ sans masse, on peut considérer la périodicité sur la dimension d’espace $ x^{4}$. Soit

$\displaystyle \phi(x^{\mu},x^{4}) = \phi(x^{\mu},x^{4}+2\pi \rho)
$

Alors, cela nous permet d’analyser ce champ sous forme d’une série de Fourier pour différents modes permis par la condition limite périodique:

$\displaystyle \phi(x^{\mu},x^{4})=\sum_{k  \in \mathbb{Z}}\phi_{k}(x^{\mu})e^{ik(x^{4})/ \rho}
$

Ce développement est donc valide pour les différents champs dans la théorie de Kaluza-Klein, soit $ {g}_{\mu {v}}$ ou encore $ A_{\mu}$. On exprime l’action en 5 dimensions $ (\hat{\mu}=0,1,2,3,4)$ en utilisant le lagrangien de Klein Gordon:

$\displaystyle \hat{S} = \int \hat{\mathcal{L}}  d^5 \hat{x} = \int d^{5} \hat{...
... -\frac{1}{2} \partial_{\hat{\mu}} \phi^* \partial ^{ \hat{\mu}} \phi \right )
$

En sachant que la cinquième dimension est limitée sur un cercle de rayon $ \rho$, on utilise l’expression en série de Fourier pour intégrer l’action $ \hat{S}$ sur la dimension $ x^{4}$. On trouve ainsi l’expression :

$\displaystyle S = (2\pi \rho) \int d^{4}x \left ( -\frac{1}{2} \partial_{\mu} \...
...}\partial ^{\mu} \phi_{k}^{*} + \frac{k^{2}} {\rho^{2}} \phi \phi^{*} \right )
$

On voit bien, vu le développement en série de Fourier que:

$\displaystyle \phi_{k}^{*}=\phi_{-k}
$

Le premier terme $ \phi_{0}$ du développement en série de Taylor est bien associé à un champ scalaire sans masse, mais pour les indices de k non nul, en comparant avec la forme d'un lagrangien de Klein Gordon pour un champ massif, on retrouve un terme que l'on associe à un terme de masse :

$\displaystyle m^{2}_{k}=\frac{k^{2}}{\rho^{2}}
$

Dans le régime des faibles énergies, on observe uniquement le terme de masse nulle, qui se résume donc en un champ scalaire en quatre dimensions. Avec un $ \rho$ de l’ordre de la longueur de Planck, si on voulait exciter et donc observer ces termes de masses, il faudrait alors des énergies de l’ordre de :

$\displaystyle E\simeq 1/\rho \simeq 6\times 10^{34}  Joules
$

Ce qui est nettement inimaginable en considérant l’énergie accessible avec les moyens actuels. C'est donc pour cela qu'on ne peut observer la cinquième dimension, seul le terme où $ k=0$ survit. La déduction est la même pour un champ massif sauf qu’ici, c’est le carré de la masse, associée au champ, qui serait décalée de ce facteur $ k^{2}/\rho ^{2}$. On appelle souvent ce phénomène la tour de Kaluza-Klein où il y a un nombre infini de mode possiblement excitables.

Depuis le début, lorsque nous avons exprimé la métrique de Kaluza-Klein, nous avons supposé ce champ scalaire $ \phi$ constant. Mais ce n’est peut-être pas le cas, d'autant plus que seul le premier terme de la tour de Kaluza-Klein sera observable de toute façon. Ainsi, on exprime de nouveau la métrique de façon plus générale avec:

$\displaystyle \hat{g}_{\hat{\mu} \hat{v}}=\begin{pmatrix}
g_{\mu \nu }+\phi^{2}...
...\nu } & \phi^{2}k^{2}A_{\nu }\\
\phi^{2}k^{2}A_{\mu } & \phi^{2}
\end{pmatrix}$

Ceci est la méthode habituelle d'écriture de la métrique pour un Univers en cinq dimensions soumis à un quadrivecteur électromagnétique. Le scalaire de Ricci devient alors, en n’assumant pas le champ $ \phi$ constant:

$\displaystyle \hat{R}=R-\frac{k^{2}\phi^{2}}{4}F_{\mu v}F^{\mu v}+\frac{2}{3}\frac{\partial ^{\mu}\phi  \partial _{\mu}\phi}{\phi^{2}}
$

Par l’expression de l’action d’Einstein-Hilbert, on fixe la valeur de k :

$\displaystyle k=\pm 4\sqrt{\pi G}
$

Où G est la fameuse constante gravitationnelle de Newton. L’action d’Einstein-Hilbert, pour la gravité en quatre dimensions, est donnée par :

$\displaystyle S = \frac{1}{k^{2}} \int d^{4}x \sqrt{-g} R
$

où g représente le déterminant de la métrique $ g_{\mu v}$. Cette action est celle qui mène, par le principe de moindre action, aux équations d’Einstein liant le tenseur énergie-impulsion et les équations du mouvement. C'est à travers cette équation que s'applique la relativité générale de façon plus concrète. Par contre, nous ne nous attarderons pas ici aux équations résultants de la minimisation de l'action, mais uniquement de l'expression de l'action comme telle. Alors, en cinq dimensions:

$\displaystyle \hat{S} = - \frac{1}{16\pi \hat{G}}\int d^{5}\hat{x} \sqrt{-\hat{g}}\hat{R}
$

On note ici que la constante de proportionnalité a été évaluée. Par contre, on ne peut pas être certain que la constante gravitationnelle $ \hat{G}$ est la même que sa version en quatre dimensions. En utilisant la définition du scalaire de Ricci et en résolvant le déterminant de la matrice $ \hat{g}$, qui nous donne $ \hat{g}=\phi ^{2} g$, on arrive à l’expression:

$\displaystyle \hat{S} = -\frac{1}{16\pi \hat{G}} \int d^{5}x \phi \sqrt{- {g}} ...
...\frac{2}{3}\frac{\partial ^{\mu}\phi  \partial _{\mu}\phi}{\phi^{2}} \right )
$

De la même façon, que précédemment, on intègre sur la cinquième dimension afin d’évaluer l’action en 4 dimensions :

$\displaystyle S = -\frac{2\pi \rho }{16\pi \hat{G}}\int d^{4}x \phi \sqrt{- {g}...
...\frac{2}{3}\frac{\partial ^{\mu}\phi  \partial _{\mu}\phi}{\phi^{2}} \right )
$

Pour un champ constant et un $ \hat{G}=G/2\pi \rho$,

$\displaystyle S =-\frac{1}{16\pi G}\int d^{4}x \sqrt{- {g}} \left ( R-\frac{k^{2}}{4}F_{\mu v}F^{\mu v} \right )
$

L'action d'Einstein-Hilbert contient alors le terme de gravité, proportionnel au scalaire de Ricci, mais également le terme d'intéraction électromagnétique (soit le Lagrangien de Jauge pour le photon). C'est ce point qui est intéressant, puisque nous sommes parti d'une expression de l'action d'Einstein-Hilbert en traitant seulement un univers courbe, mais en cinq dimensions. Dans l'information de la courbure se cachait donc l'effet sur l'action des équations de Maxwell. C'est bien là l'intérêt de la théorie de Kaluza-Klein. Pour trouver les équations du mouvement, il faudra alors se servir du principe de moindre action.

Vincent Méthot 2013-05-01