Mathématique d'une corde bosonique

Description classique

Action de Nambu-Goto

Le but est donc d’obtenir les équations du mouvement pour une corde relativiste. Il faut ainsi être en mesure de déterminer l’action associée à la corde et y appliquer le prinicipe variationnel pour en faire ressortir les équations du mouvement. Cela implique d’être en mesure de calculer un élément d’aire dA sur la feuille d’univers et en faire la somme pour obtenir l’aire totale dans l’espace de la cible. Ce qui est analogue à calculer un élément de longueur sur la ligne d’univers d’une particule ponctuelle et calculer la longueur totale de la trajectoire empruntée par la particule dans l’espace-temps. Puisque la surface est paramétrisée par σ et τ , on doit prendre un élément d’aire dans l’espace des paramètres (de forme générale rectangulaire) et le transposer dans l’espace de la cible (Figure 3).

Ce faisant, il se peut que de façon générale l’image du rectangle ne soit pas préservée lors de la projection dans l’espace de la cible et qu’elle devienne plutôt celle d’un parallélogramme dû à l’évolution temporelle. Ainsi, en se servant de la formule pour l’aire d’un parallélogramme, on obtient :

(8)

 

 

 

Dans notre cas, en faisant les bonnes substitutions pour les composantes des vecteurs et , soit celles des vecteurs tangents à la surface de la feuille d’univers (ce qui revient à calculer le jacobien de la transformation) :

(9)

 

On peut alors réécrire :

(10)

 

 

Où le signe à l’intérieur de la racine à l’équation (10) a été changé en raison de la contraction avec la métrique de Minkowski pour tenir compte de la nature de type temps de la feuille d’univers lors du calcul du produit scalaire. Par ailleurs, il est possible de se convaincre que l’expression sous la racine est toujours positive (voir ref.[1] p.108). De plus, cette expression en terme des produits scalaires relativistes assure que l’élément d’aire calculé est un invariant de Lorentz (quantité conservée dans tous les repères inertiels). L’action qui minimise l’aire totale de la feuille d’univers dans l’espace de Minkowski est donc donnée par :

(11)

 

 

 

Cette action est connue sous le nom de «action de Nambu-Goto» pour une corde relativiste. Dans l’équation précédente, σ1 peut prendre les valeurs de π ou 2π selon si la corde est ouverte ou fermée et T est une constante de proportionnalité servant à ajuster les unités de l’action, sa signification physique peut être interprétée comme la tension dans la corde. Cette action doit également satisfaire une condition importante pour être utilisée dans les calculs subséquents. En effet, il est nécessaire que celle-ci soit invariante sous reparamétrisation. C’est-à-dire qu’elle ne doit pas dépendre du choix des paramètres σ et τ sur la feuille d’univers. Sans le démontrer de façon rigoureuse (voir ref.[10] p.14), le fait que l’action soit proportionnelle à l’aire de la feuille d’univers est un bon indicateur du fait que cette condition est respectée (car l’aire est une propriété intrinsèque à la feuille d’univers). Fait intéressant, cette action décrit aussi bien le cas d’une corde fermée et peut être généralisée à l’étude d’objets de dimensions arbitraires (D-Brane). Puisque l’on peut réécrire l’action à partir d’une intégrale double sur la densité lagrangienne, on a que :

(12)

 

 

est donné par : 

(13)

 

Obtenue en posant :


En appliquant l’équation d’Euler-Lagrange sur la densité lagrangienne, on obtient :

(14)

 

Où 

(15)