Supersymétrie
La Supersymétrie

2. La Supersymétrie

Une des difficultés dans l'approche de la SUSY est le formalisme qui s'y rattache. En effet, le lecteur est confronté à de la nouvelle algèbre issue de l'équation de Dirac et du calcul spinoriel. Nous présenterons dans cette section une version allégée de ce formalisme dans le but de comprendre quelques concepts et conséquences de cette théorie.

2.1. L'algèbre de la SUSY

2.1.1. Relations de commutation

Les opérateurs de symétries sont sujets à un algèbre qui leur est propre. Par exemple, dans le groupe SU(2), nous avons la relation de commutation suivante pour l'opérateur Ti ,

&epsilonijk est le symbole de Levi-Civita. Ce commutateur particulier peut être reconnu en mécanique quantique par l'opérateur associé au moment angulaire L qui obéit à cette relation.

La supersymétrie possède elle-aussi ses relations de commutations. Nous en dénotons trois,

Q est l'opérateur de charge supersymétrique, &gammai les matrices de Dirac, P la quadri-impulsion et M l'opérateur associé aux transformations de Lorentz.

2.1.2. Conséquences importantes

La relation 2 est particulièrement intéressante puisqu'elle nous donne une façon simple de percevoir la brisure de symétrie de la SUSY. En effet, puisque Q commute avec P, il commute aussi avec P 2,

En manipulant deux états |f> et |b>, auxquels sont associés un fermion de masse mf et un boson de masse mb respectivement, nous obtenons, en se rappelant que ces kets sont les vecteurs propres de P 2 avec valeurs propres m 2,

Nous en tirons que mb = mf . Si cette conclusion est vraie, la masse des superpartenaires est donc connue précisément. D'autre part, nous savons avec certitude que ces superparticules ne peuvent pas avoir des masses semblables à celles des particules observées jusqu'à ce jour puisque nous les aurions inévitablement rencontrées. Cela suggère une brisure de la supersymétrie.

La première relation de commutation révèle aussi de l'information important à propos de l'hamiltonien d'un système. En remplaçant la définition de   dans l'équation (1), nous avons

Avec &gamma0&gamma0 = 1 et Tr(&gamma0&gamma&mu)  =  4g0&mu, où g est la métrique, nous obtenons

Contractons maintenant l'équation avec &gamma0sr , ce qui donne

où la dernière étape assume une signature majoritairement négative (1,-1,-1,-1) de la métrique. En supersymétrie, l'énergie des états est toujours positive. L'hamiltonien peut donc s'écrire comme

2.2. Brisure de symétrie

2.2.1. Conditions de brisure spontanée

Une brisure de la supersymétrie spontanée survient si l'opérateur de charge Qr , générateur des symétries, n'annihile pas l'énergie du vide. En d'autres mots, l'état associé au vide |0> doit être vecteur propre de Qr avec une valeur propre 0 :

S'il n'y a pas de brisure, nous pouvons écrire

soit que l'énergie du vide est 0. En appliquant le bras <0| sur l'équation,

En trouvant la réciproque de notre condition de départ, nous avons donc créé une condition nécessaire et suffisante pour la brisure de la supersymétrie

2.2.2. Scénarios possibles et types de brisure

Le paramètre d'ordre pour cette brisure est donc le l'énergie du vide. Dans l'état |0>, nous pouvons prendre la partie cinétique de l'hamiltonien comme étant nulle. De plus, le seul type de champ qui ne brise par l'invariance de Lorentz est le champ scalaire. Nous pouvons récrire la condition

De ces équations nous tirons quatre scénarios possibles. Considérons un champ &phi symétrique par rapport à un groupe de jauge. La valeur du potentiel à son minimum et l'énergie du vide seront dénotées <&phi> et V(<&phi>) respectivement. Les possibilités sont

1) <&phii> = 0 et V(<&phii>) = 0     &rarr     les deux symétries sont intactes. (fig.3.a)

2) <&phii> = 0 et V(<&phii>) = 0    &rarr     la symétrie de jauge est brisée spontanément. (fig.3.b)

3) <&phii> = 0 et V(<&phii>) = 0    &rarr     la supersymétrie est brisée spontanément. (fig.3.c)

4) <&phii> = 0 et V(<&phii>) = 0    &rarr     les deux symétries sont brisées spontanément. (fig.3.d)

La figure suivante montre une visualisation graphique simplifiée qui aide à positionner les différents paramètres sur le potentiel :

Un potentiel du type décrit plus haut peut s'écrire génériquement

F et D sont les solutions des équations de mouvement suivantes du lagrangien :

L'équation de D suppose un groupe abélien et le dernier terme &xi, nommé terme-D Fayet-Iliopoulos, vient d'un terme linéaire en D ajouté au lagrangien. Cet ajout est permis puisque D est réel, invariant de jauge et qu'il se transforme avec une dérivée totale sous supersymétrie. Notons qu'il ne pourrait pas y avoir de terme linéaire en F puisque celui-ci n'est pas un champ purement réel.

Nous pouvons donc énoncé la condition de brisure de symétrie de la façon suivante : Il y aura brisure spontanée de la supersymétrie s'il n'y a aucune configuration du champ scalaire possible tel que <0|Fi|0> et <0|D|0> sont simultanément nuls. Deux avenues peuvent maintenant être considérées comme superpotentiel : la brisure de type-F et de type-D. Le type-F est caractérisé par une absence de condition tel que < Fi> = < Fi&dagger> = 0. Il ne doit donc pas exister de solution à l'équation de mouvement

Cette branche mènera, en autre, au modèle O'Raifeartaigh. Le type-D est constitué de deux scénarios. Soit = 0 ne peut être satisfait indépendamment du potentiel Fi ou soit la brisure provient d'un arrangement des termes des deux types tout en excluant la condition triviale <D> = 0 = < Fi>. Cette dernière branche mène à des modèles comme l'électrodynamique quantique supersymétrique auquel nous ajoutons un terme Fayet-Iliopoulos.

2.2.3. Conséquences et brisure de symétrie douce

Malgré plusieurs réussites et résultats des théories mentionnées dans la section précédente, des conflits entre ces dernières et des observations expérimentales verront le jour. Par exemple, un tel mécanisme de brisure mènera à la prédiction de superpartenaires plus légers que certains leptons connus et observés. Cette prédiction vient directement de l'annulation de la supertrace qui est définie comme suit

Dans les théories de type-F, la supertrace est automatiquement nulle tandis que dans le type-D, elle le devient puisqu'elle est égale à la somme des hypercharges de toutes les particules, qui donne 0 dans le MSSM par exemple.

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