Supersymétrie
La Supersymétrie

1. Du MS au MSSM

1.1. Le Modèle Standard

Le Modèle Standard explique la matière à l’aide des fermions. Ils se divisent en deux groupes de trois générations chacun, les leptons et les quarks, ils possèdent un spin demi-entier et ils obéissent à des principes bien maîtrisés comme la statistique de Fermi-Dirac et le principe d’exclusion de Pauli. Voici une liste des fermions, notons l’absence des anti-fermions,

Les bosons forment une autre catégorie de particules élémentaires, celles associées à l’échange des forces ou aux mécanismes de jauge. La statistique de Bose-Einstein décrit bien ces particules de spin entier. Voici les bosons admis dans le MS,

Il faut noter que le Higgs ne véhicule pas de force, il est plutôt associé à la brisure de symétrie de la force électrofaible. Sa présence permet d’expliquer la masse nulle du photon (branche électromagnétique) et les masses non-nulles des bosons faibles (branche faible). Le Higgs n’a toujours pas été observé expérimentalement. Finalement, le MS comporte trois types d’interaction avec leur constante de couplage chacune. Il existe une relation entre la constante de couplage électromagnétique et faible, conséquence de l’ancienne unicité de ces forces.

1.2. Problème hiérarchique et ajustement fin

1.2.1. Problème hiérarchique

Dans le MS, trois valeurs séparent le spectre de l’énergie. Il y a premièrement l’ordre de grandeur du couplage fort (MQCD ~ 100 MeV), deuxièmement la brisure de l’électrofaible (MW ~ 100 GeV) et troisièmement la masse de Planck (MP ~ 1019 GeV). Cette dernière valeur correspondant environ à l’endroit où la gravité devient de la même force que l’interaction forte. Le domaine de l’électrofaible et du couplage fort est grandement inférieur à celui de la gravité. Il surgit une question qui est au cœur des discussions actuelles, pourquoi une telle disparité entre ces échelles? Ces chiffres sont particulièrement importants dans les calculs reliés aux interactions. Nous verrons qu’en quelque sort, ils sont les précurseurs du problème d’ajustement fin.

1.2.2. Interaction

Une interaction peut être décrite par un diagramme de boucle dit diagramme de Feynman. Pour parvenir à calculer la probabilité de réaction associée à une telle interaction, il faut considérer les intégrales sur l'impulsion des différentes boucles des diagrammes. Débutant par une simple trajectoire, le tree-level, les diagrammes se complexifient et chaque ajout rendra le calcul de plus en plus précis. Par exemple, pour l’émission d’un photon par un électron absorbé par un positron, la première correction pourrait être,

Si les corrections sont proposées dans un ordre correct, la contribution de chacune d’elles diminuera avec l’augmentation de la complexité. De plus, à l’intérieur d’une boucle la particule peut avoir une impulsion allant de 0 à l’infini, il faut donc évaluer des intégrales pour trouver les contributions perturbatives à la probabilité.

Par exemple, considérons la première correction à la masse d’un électron en théorie des champs quantiques (QED) vu comme un champ effectif dans le modèle de l’électrofaible. Du point vu d’un diagramme, il faudrait calculer,

L’intégrale de cette boucle peut s’écrire, rondement,

En évaluant la limite, l’intégrale diverge logarithmiquement. La possibilité d’effectuer une coupure dans la borne de l’intégrale provient de la renormalisibilité de la théorie. Cette propriété dit que le résultat restera le même si les paramètres présents sous l’intégrale sont ajustés en conséquence. La renormalisation permet de contourner certaines divergences, mais pas toutes. Il est à noter que le MS possède cette caractéristique issue du groupe de jauge non abélien auquel il appartient.

Le fait de pouvoir manipuler la borne impose une nouvelle façon de voir le paramètre M. Ordinairement, le faire tendre vers l’infini était une conséquence de son indépendance physique, c’était un symbole considéré comme purement mathématique, il devait tendre vers l’infini. Dans les théories modernes, ce paramètre gagne une grande signification. Il est vu comme la limite à laquelle la nouvelle physique entre en ligne de compte. Rappelons par exemple la masse des bosons faibles W, qui symbolisent la brisure de l’électrofaible. Sachant que le phénomène étudié dans notre intégrale ne viole pas les principes de cette région, la masse pourrait être utilisée comme paramètre limite. C’est une des conséquences des théories dites effectives, c’est-à-dire des théories qui en approximent une plus fondamentale dans un régime bien établi.

Revenons à l’intégrale, en posant maintenant M = MW ~ 100 GeV. Elle devient, après substitution,

soit une divergence d’environ 1% par rapport à la masse calculée au tree-level. Cette faible correction motive le fait que l’électron devrait avoir une faible masse dans le contexte de la QED, ce qui correspond aussi à nos observations.

1.2.3. Ajustement fin

Pour bien visualiser le problème de l’ajustement fin, il faut considérer le régime d’énergie borné par la masse de Planck. Avec le calcul effectué dans la section précédente, il est aisé de réaliser que remplacer à 100 GeV par 1019 GeV peut poser de grands problèmes. De plus, le cas étudié portait sur une divergence de forme logarithmique, soit la forme la moins divergente parmi les trois plus fréquentes : logarithmique ln(M), linéaire M et quadratique M 2.

Un cas intéressant à étudier et celui de la correction sur la masse du Higgs. En effet, si un calcul perturbatif s’applique, son résultat devrait nous informer sur l’ordre de grandeur de sa masse. Comme il apparaît après la brisure de l’électrofaible et qu’il s’agit d’un boson, la correction de premier ordre sur la masse est proportionnelle à,

m est la masse de la particule circulant dans la boucle et a la constante de couplage. En entrant la valeur de la constante, la correction grimpe au alentour de 1028 GeV. En observant l’ordre de grandeur de la masse des bosons et des fermions du Modèle Standard, le boson de Higgs devrait se situer au alentour de 100 GeV. De plus, la condition d’unicité de la matrice de diffusion impose que M < 1 TeV. Si tel est le cas, l’ajustement des paramètres mentionnés devra annuler au minimum 24 puissances, soit une précision de 24 chiffres sur les constantes ajustables. Cette précision semble injustifiée pour plusieurs et c’est ce qui constitue le problème de l’ajustement fin. Bien que ces exemples ne découlent pas directement de calculs faits dans le cadre du MS, ils l’illustrent avec simplicité et pertinence.

1.3. L'apport du MSSM

La SUSY proposera une symétrie encore plus profonde que celle développée jusqu’à maintenant, une supersymétrie entre fermions et bosons. En effet, l’ajout de superpartenaires à chaque particule existante dans le MS annulera, entre autre, les termes divergents quadratiques du calcul de la correction de la masse du Higgs et du même coup entrainera une résolution naturelle de l’ajustement fin. À chaque boson correspondra un fermion et à chaque fermion un boson. Ces nouvelles particules portent des noms particuliers résumés dans le tableau suivant :

Le symbole des particules supersymétriques reste inchangé sauf l’ajout d’un tilde sur chacun. Un opérateur Q est introduit pour générer la transformation d’un état bosonique |b> à un état fermionique |f> et vice-versa :

que nous définissons comme l’opérateur de supercharge ou de charge supersymétrique.

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