Symétries C, P et T

Symétries et transformations discrètes

Le concept de symétrie est intrinsèquement lié aux opérateurs de transformation . Un tel opérateur change un état du système en un autre état :


Notons que l'on utilise ici un point de vue actif, dans lequel les états du système subissent les transformations. Il existe aussi un point de vue passif, selon lequel ce sont les observables qui sont transformées :


Cette formulation est équivalente, mais l'on utilisera la première par convention. Un état est dit état propre de la transformation si l'opérateur ne le modifie que par un facteur , égal à la valeur propre :


Lorsqu'une symétrie est une inversion , c'est-à-dire qu'elle n'a pour effet que d'inverser le signe d'une (ou de plusieurs) variable , le carré de l'opérateur est égal à l'identité :


Cette propriété, qui est commune aux trois symétries étudiées, implique que le carré des valeurs propres, si elles existent, doit être égal à , donc que les valeurs doivent être de . On caractérise aussi les opérateurs par leur unitarité. Un opérateur est dit unitaire s'il préserve le produit scalaire :


tandis qu'il est dit anti-unitaire s'il inverse sa composante imaginaire :


Une transformation est une symétrie du système si le hamiltonien est invariant sous l'action de :


Dans le cas de symétries continues, le théorème de Noether montre qu'une certaine quantité doit être conservée. Pour les symétries discrètes, ce n'est généralement pas le cas, mais les inversions unitaires admettent un tel résultat : la valeur propre d'un système isolé est conservée. Notons cependant que la valeur propre d'un système s'obtient de façon multiplicative :


puisque l'opérateur inverse chacun des sous-espaces indépendants du système. De ce fait, la symétrie empêche tout couplage entre deux états de parité différente :


Autrement dit, un état propre de ne peut qu'évoluer en une combinaison linéaire d'états de même valeur propre. Cette propriété impose des contraintes importantes sur la possibilité d'interaction et constitue une importante méthode expérimentale de vérification d'une symétrie. En effet, il suffit d'observer une transition interdite pour montrer que la symétrie est brisée. La plupart des tests de symétrie sont basés sur ce principe.