L’impact de l’ajout de dimensions dans la physique des particules

Initiation à la physique des particules, 2010, Université Laval

Chapitre 1

Théorie de Kaluza-Klein

Oscar Klein est un physicien théorique suédois qui est surtout connu pour son apport essentiel à la théorie Kaluza-Klein. Klein amena une idée novatrice pour régler le problème de l’invisibilité de la cinquième dimension. Il postulat que la raison pourquoi on ne la voit pas est qu’elle est refermée sur elle même en entourant chaque point de l’espace (voir figure 1). Klein stipule que si on agrandit suffisamment, on verra que ce qu’on pense être des points de l’espace sont en réalité des boucles. En posant cette condition, Klein justifie à ce moment la condition cylindrique très constestée de Kaluza. Le fait que cette dimension soit refermée ne pose plus aucun problème aux orbites ainsi qu’à la propagation d’onde. De plus,cela explique qu’on ne puisse pas voir cette boucle, puisque sa circonférence est très petite. À l’aide des charges électriques et de la force gravitationnelle, il put approximer la circonférence à 10-35m, de l’ordre de la longueur de Planck, ce qui est de loin trop petit pour être observé.

Figure 1 – Représentation de la compactification de la cinquième

dimension en chaque point de l’espace physique. (Image tirée de Wikipedia)

1.5 - L’idée révolutionnaire de Klein

En compactifiant la cinquième dimension, Klein postule donc une périodicité qui s’exprime pour la coordonnée y x(4) comme :

où m représente l’inverse du rayon.

 

On a donc une topologie de l’espace qui s’écrit de la manière suivante :

S(1) est une topologie circulaire pour la cinquième dimension.

 

Puisque l’espace possède une périodicité, il est naturel de décomposer les objets ĝαβ, Aμ et Φ en série de Fourier

 

 

 

On peut aussi exprimer les coordonnées générales ξ4(x,y) en série de Fourier

On s’aperçoit rapidement que la théorie développé par Kaluza était en fait une approximation au premier terme de la série de Fourier. L’explication offerte par Klein est certes beaucoup plus acceptable au niveau physique, mais ce n’est qu’avec la théorie d’invariance de jauge, ainsi que la théorie des groupes, que celle-ci sera confirmée au niveau mathématique. La théorie des groupes nous permet de représenter entre autre l’électromagnétisme par le groupe de symétries U(1). La théorie Kaluza-Klein ne resta pas longtemps d’actualité, car la découverte de deux nouvelles forces, la nucléaire forte et la nucléaire faible, remit en doute l’utilité d’unifier les interactions gravitationnelle et électromagnétique. La représentation de la force forte et faible par les groupes de symétries SU(3) et SU(2) et l’idée d’unifier toutes les forces ramena la théorie Kaluza-Klein à l’avant-plan dans les années 1970.

1.6 - Invariance de jauge en physique quantique

Les tranformations de jauges sont définies telles que :

Lorsque la quantité Λ est une constante arbitraire, la transformation est dite globale, tandis que lorsque Λ(x) est une fonction scalaire dépendant de la position, la transformation est dite locale.

 

Dans la description quantique de la nature, les particules sont décrites par une fonction d’onde      qui permet de calculer la densité de probabilité spatiale       . Selon la mécanique quantique, la densité de probabilité doit être invariante par la multiplication de la fonction d’onde par un facteur de phase. En effet en, effectuant la transformation de jauge

la densité de probabilité est effectivement invariante :

 

 

Cette invariance de la densité de probabilité vis-à-vis une transformation de jauge doit donc être une symétrie importante de la fonction d’onde. Cependant, il est impossible d’y associer une symétrie conventionnelle telle l’invariance sous translation ou sous rotation. Ce type de symétrie est nommée interne. Puisque la transformation de jauge n’a pas d’importance sur les mesures physiques, la transformation devrait laisser invariante les équations du mouvement. Le lagrangien d’un système doit donc être invariant sous la transformation de jauge. La densité lagrangienne du fermion libre est

où la fonction d’onde ψ représente une particule de spin 1/2 et est un spineur à quatre composantes. Les γμ sont les matrices 4 × 4 de Dirac et où              . Il est possible de s’assurer que ce Lagrangien (nous utiliserons le Lagrangien pour la densité lagrangienne) est bel et bien exacte en l’insérant dans l’équation d’Euler-Lagrange :

Nous obtenons, après substitution, l’équation de Dirac :

Le lagrangien représente bien la physique d’une fermion libre et devrait, par conséquent, être invariant par la transformation de jauge globale                  . Vérifions ce résultat :

On remarque donc que le lagrangien n’est pas invariant sous la transformation de jauge globale puisqu’il y a un terme de plus                   . Pour régler le problème, il est nécessaire de remplacer la dérivée partielle par une dérivée covariante :

où il fut nécessaire d’introduire un champ vectoriel Aμ qui est affecté par la transformation de jauge comme suit :

On obtient finalement un lagrangien invariant sous transformation de jauge, mais qui contient un champs de jauge Aμ, qui se couple aux particules représentées par ψ.

On remarque que la transformation du champs de jauge est identique à celle du potentiel vecteur dans les équations de Maxwell, ce qui nous pousse à associer Aμ au photon. Par contre, pour réellement associer le champ de jauge au photon, il est nécessaire d’introduire un terme permettant la dynamique du photon :

Fμν est le tenseur de Faraday contenant toute l’information des équations de Maxwell. Finalement, lorsqu’on impose l’invariance de jauge locale sur la fonction d’onde du lagrangien, il est nécessaire d’introduire un terme de couplage Aμ représentant le photon et nous obtenons une théorie incluant les interactions électromagnétiques :

Il est alors possible d’associer directement l’électromagnétisme à la symétrie interne U(1) de la fonction d’onde, puisque celle-ci inclue naturellement le potentiel vecteur des équations de Maxwell. En effectuant cette association, il est possible de définir la constante e dans la transformation de Aμ à la charge électrique. Le groupe U(1) joue donc un rôle physique fondamental et mérite d’en observer les propriétés générales.