L’impact de l’ajout de dimensions dans la physique des particules

Initiation à la physique des particules, 2010, Université Laval

Kaluza est un mathématicien ayant fait ses études à l’université de Königsberg. Plus tard, il y enseigna et c’est pendant ces années qu’il débuta sa correspondance avec Einstein. Ce dernier fut émerveillé par l’idée originale de Kaluza et il l’encouragea à publier son travail. C’est en 1921 que celui-ci publia son ébauche de théorie sur l’unification des problèmes en physique qui s’intitule "Zum Unitätsproblem der Physik". Kaluza avait pour but d’expliquer l’électromagnétisme en termes de déformations géométriques. C’est l’élégance de la théorie d’Einstein, ainsi que son hypothèse que l’électromagnétisme est une variante de la gravitation, qui motiva Kaluza à travailler sur l’adaptation de l’espace de manière à contenir une dimension supplémentaire invisible qui permettrait d’inclure la théorie de Maxwell.

 

Kaluza amena l’idée d’ajouter une quatrième dimension d’espace qui serait invisible et qui permettrait d’inclure le formalisme électromagnétique dans une théorie unifiée des forces en physiques expliquée en termes de champs (seulement les forces gravitationnelle et électromagnétique étaient connues à ce moment).

 

Ainsi, il devait modifié la théorie d’Einstein pour y introduire la théorie de Maxwell. Il posa premièrement quelques hypothèses concernant le tenseur d’Einstein et le tenseur de Ricci. Il supposa que pour un espace à cinq dimensions sans énergie, le tenseur d’Einstein est égal à zéro tout comme le tenseur de Ricci.

Chapitre 1

Théorie de Kaluza-Klein

1.3 - Théorie de Kaluza

De plus, les tenseurs de Ricci et d’Einstein ainsi que le symbole de Christoffel conservent la même forme qu’en 4 dimensions (la seule chose qui les différencie de la relativité générale sont les chapeaux).

On définit l’intervalle de cet espace à cinq dimensions comme :

α et β = 0,1,2,3,4.

 

Avec ces hypothèses posées, Kaluza introduit le potentiel vecteur Aμ et le potentiel scalaire Φ de l’électromagnétisme décrit précédemment. Il commence par définir la métrique en cinq dimensions : Sous forme matricielle, les composantes de ĝαβ sont :

En ajoutant sa cinquième dimension, Kaluza devait s’assurer qu’elle n’entrait pas en conflit avec les équations de la relativité générale. Pour vérifier cela, il essaya de réobtenir l’équation de l’action d’Einstein-Hilbert. Pour y arriver, Kaluza devait émettre l’hypothèse que sa cinquième dimension n’interférait pas avec les autres, c’est-à-dire qu’il y a une indépendance de la cinquième dimension par rapport aux quatre autres, de là sa division 4 + 1. Les transformations de coordonnées infinitésimales sur cinq dimensions                           devaient donc être invariantes. Il en résulte la condition suivante :

Cette invariance de transformations est un des postulats clés et il porte le nom de la condition cylindrique. Cette condition stipule que toutes les dérivées par rapport à la cinquième dimension disparaissent à cause de l’indépendance de celle-ci par rapport aux autres dimensions d’espace. Ce concept est nécessaire pour pouvoir retrouver l’action d’Einstein. Pour retrouver cette action, il procéda de la même manière que pour la relativité générale. Il écrivit donc l’action de la gravité dans un espace à cinq dimensions.

En utilisant ces hypothèses ainsi que les objets nouvellement définis, Kaluza trouva une manière de transformer sa métrique ainsi que le scalaire de Ricci (R) pour faire passer le principe d’action de cinq dimensions à quatre. Pour la métrique, il prit le déterminant de (27) :

Après transformation, le scalaire de Ricci s’exprime comme :

Fαβ est le tenseur de Faraday (voir équation (20))

 

On retrouve donc le tenseur de Faraday Fαβ et l’équation du champ scalaire :

Comme les deux termes du milieu dans l’équation (31) peuvent être considérés comme des dérivés totales, ils n’influencent pas l’action. On voit ici que la condition 7 cylindrique intervient et elle permet aussi de se débarrasser de l’intégrale sur y de l’action, car :

On peut donc négliger ces deux termes pour la suite des évènements. On remet ces expressions dans (29), et on obtient le principe d’action en quatre dimensions :

On remarque que le terme pour la gravité est le même que normalement, mais on a aussi le terme cinétique de l’électromagnétisme. Le dernier terme de l’action est connu pour être le champ scalaire de masse nul de Klein-Gordon. Kaluza a donc réussi avec succès à introduire l’électromagnétisme dans la théorie de la relativité générale en y ajoutant une dimension. On peut résumer son succès en une série d’hypothèses mathématiques lui permettant de poser une cinquième dimension qui sert à introduire l’électromagnétisme sans déranger les autres dimensions déjà bien définies par la relativité générale. Cette vision très mathématique et hypothétique du problème nuira à l’acceptation de sa théorie, comme il sera discuté dans la section suivante. Pour Kaluza, sa théorie explique bien plus que l’unification des deux champs de forces, il suppose que le mouvement caractéristique des particules chargées dans un champ magnétique ou électrique est dû à leur mouvement spirale dans la cinquième dimension.

Le succès de la théorie de Kaluza se révéla, au départ, bien plus mathématique que physique. Les mathématiques opérés par celui-ci lui permettait d’écrire et de faire les transformations désirées pour introduire l’électromagnétisme. Cependant, au niveau physique, beaucoup de réserve était exprimé par la communauté scientifique. Plusieurs raisons expliquent la réserve de celle-ci face à cette nouvelle théorie. Premièrement il est admis que nous percevons seulement trois dimensions d’espace et une de temps, ainsi l’astuce d’ajouter une autre dimension d’espace invisible à l’humain tend à n’être qu’un argument mathématique plutôt qu’une réalité physique. Il semble aussi facile de considérer une dimension supplémentaire qui est complètement indépendante (la condition cylindrique) des autres dimensions d’espace. C’est cette dernière hypothèse de Kaluza qui est la plus sévèrement critiquée. Enfin, Kaluza se fit reproché que sa théorie n’était pas quantifié.

 

La monde physique décrit en trois dimensions d’espace avait aussi quelques arguments de poids. Plusieurs chercheurs, mathématicien ou physicien, avaient effectué des recherches sur la raison de trois dimensions et ce bien avant que Kaluza publie sa théorie. Paul Ehrenfest, en 1917, expliqua l’espace en trois dimensions en étudiant les orbites des planètes. Il fit un lien entre le nombre de dimensions et la loi de force régissant l’attraction gravitationnelle, soit l’inverse du carrée de la distance. Les mathématiques pouvaient déjà décrire la physique dans des champs de force dans un espace de plus de 3 dimensions. La loi de force dans un espace à N dimensions, varie comme l’inverse de la distance à une puissance N-1.

1.4 - Problèmes de la théorie de Kaluza

c’est-à-dire que pour un espace à 4 dimensions, la loi varie comme l’inverse de la distance au cube. Pour un espace à trois dimensions, on retrouve donc la relation établit par la physique. Ehrenfest démontra que si l’espace est en quatre dimensions, les orbites régis par la loi de force engendre des orbites spirales vers la source. Pour les atomes, les électrons n’ont pas d’orbites stables à plus de trois dimensions. Il conclut qu’un espace à plus de 3 dimensions amène à une réalité physique différente, où les lois et perceptions nous sont inimaginable.

 

Il fut aussi démontré que la propagation d’ondes ne peut s’effectuer dans un espace au nombre pair de dimensions d’espace. La propagation d’une onde sur une surface produit des perturbations à l’arrière de celle-ci. Le même phénomène serait observé en 4-D. Ainsi, la théorie de Kaluza souffrait d’un manque d’explications physiques, et c’est seulement avec l’apport de Klein que la théorie devint une référence.