L’impact de l’ajout de dimensions dans la physique des particules

Initiation à la physique des particules, 2010, Université Laval

Chapitre 1

Théorie de Kaluza-Klein

Un groupe est un ensemble d’éléments G possédant une opération    qui relie deux éléments a et b à un autre élément a. Cependant, cet ensemble d’éléments doit respecter les quatre axiomes d’un groupe :

 

· Fermeture : Pour tout élément i et j dans le groupe G, l’élément
              doit appartenir à
G.

 

· Associativité : Pour tout élément i, j et k de G, il est nécessaire que                               .

 

· Identité : Il doit exister un élément e dans G tel que
                        pour tout éléments
j.

 

 

· Inverse : Pour tout élément j, il doit exister un élément J tel que
                      .

 

De plus, les éléments d’un groupe unitaire U(N) doivent satisfaire une relation supplémentaire d’unitarité :

1.7 - Propriétés du groupe U(1)

Vérifions que l’ensemble des transformations, laissant invariant les probabilités physiques, eiθ, avec θ un paramètre réel et continu, forme bien une représentation du groupe U(1) en satisfaisant les conditions d’un groupe sous la multiplication :

 

Fermeture :

Associativité :

Identité :

Inverse :

 

Finalement, le facteur de phase eiθ forme bel et bien le groupe U(1) puisqu’il respecte aussi la condition d’unitarité :

Lorsque les éléments d’un groupe dépendent d’un élément continu θ et que ceux-ci sont infiniment différentiables, il est possible de généraliser l’ensemble à un groupe de Lie.

1.8 - Groupe de Lie, variété et compactification

Un groupe de Lie consiste rondement en un ensemble d’éléments continus respectant les propriétés d’un groupe et pouvant être infiniment différentiables par rapport au paramètre θ. Dans le cas des groupe unitaires SU(N), la dimension de l’espace représentant la structure du groupe est de dimension n2 et donc le groupe particulier U(1) possède une dimension. On remarque immédiatement que le choix d’ajouter une seule dimension spatiale par Kaluza, pour décrire l’électromagnétisme, est en fait une conséquence de la variété décrivant le groupe U(1). Il semble donc naturel d’effectuer le produit de la variété physique P en (3+1) dimension à celle représentant l’électromagnétisme E de une dimension afin d’obtenir l’espace physique P × E, de dimension (4+1), décrivant les deux interactions.

 

Cependant, après les travaux de Oscar Klein, nous savons que la dimension liée à l’électromagnétisme doit être très petite et compactifiée sur elle-même. Il est donc nécessaire de s’assurer que l’espace E soit compactifié lors du produit des deux espaces. Il est possible de réaliser ceci est effectuant une transformation supplémentaire sur l’espace E pour le transformer en un Ensemble Compact. La compactification consiste à réduire l’aspect infini de l’espace en lui conférant une dimension finie, et dans le cas de l’électromagnétisme, périodique. L’image suivante représente bien cet effet de compactification et permet de comprendre pourquoi cette dimension d’espace supplémentaire est imperceptible physiquement.

Figure 2 – Compactification de la variété E
(Image tirée de Wikipédia)