L’impact de l’ajout de dimensions dans la physique des particules

Initiation à la physique des particules, 2010, Université Laval

Après les succès énormes de la relativité restreinte, Einstein s’efforça pendant dix années à décrire la gravité tout en respectant le principe de relativité. De nouveau, il révolutionne la physique en adoptant le point de vue que la gravité n’est pas réellement une force, mais plutôt une manifestation de la courbure de l’espace-temps. Pour unifier la gravité et le principe de covariance générale, il est nécessaire d’utiliser la géométrie différentielle et le calcul tensoriel. Le tenseur d’Einstein G représente la courbure de l’espace-temps et est causée par le tenseur d’énergie T, qui représente la densité de l’énergie et de l’impulsion dans tous les systèmes de référence. L’équation de la gravitation d’Einstein prend finalement la forme suivante :

Chapitre 1

Théorie de Kaluza-Klein

1.1 - Relativité générale

où le tenseur Ricci      et le scalaire de Ricci R sont définis à partir du tenseur de Riemann         :

 

 

Le tenseur de Riemann est celui qui décrit de façon concrète la courbure de l’espace-temps à partir des symboles de Christoffel :

 

 

Les symboles de Christoffel servent à décrire la dérivée d’un vecteur de base lorsqu’on dérive un vecteur quelconque de composantes Vα:

 

Nous définissons les symboles de Christoffel :

Il est aussi possible d’obtenir les symboles directement à partir de la métrique :

Toute la structure de la théorie d’Einstein se base finalement sur la variation des vecteurs de base d’un système de coordonnée. Lorsque l’espace est plat, tous les symboles de Christoffel sont nuls, donc Gμν = 0, ce qui signifie que le tenseur d’énergie est nul et que l’espace est vide.

 

Il est possible d’obtenir l’équation d’Einstein à partir du principe de moindre action, avec l’action d’Einstein-Hilbert définie par :  

où      et       représentent la densité lagrangienne de la gravité et de la matière présente respectivement, où κ = 8πG/c4 et où (-g)1/2 = d4x est l’élément de volume spatio-temporel peu importe le système de référence.

 

Le principe de moindre action stipule qu’une variation de l’action d’Einstein-Hilbert par rapport à la métrique inverse doit être nulle, ce qui nous permet d’obtenir :

 

Ceci nous donne l’équation fondamentale suivante :

En calculant les deux membres de gauche ainsi qu’en définissant le tenseur d’énergie à partir de       :

Nous obtenons finalement l’équation de la relativité générale :

Cette façon de précéder s’avère être très utile dans la description des autres forces de la nature et est donc très importante pour la gravité.

1.2 - Électromagnétisme

L’électromagnétisme est la force physique qui régit la majorité de la technologie humaine et qui est responsable de la stabilité des atomes et donc de la vie elle-même. La compréhension totale de cette force demanda plusieurs efforts considérables par les plus grands physiciens de l’époque. Au commencement, il y avait une distinction majeure entre les phénomènes électriques et magnétiques, et ce jusqu’aux travaux de Michael Faraday en 1831. Celui-ci démontra qu’un champs magnétique est en mesure de produire un courant électrique et donc que les deux forces sont intimement liées. La première théorie d’unification, l’électromagnétisme, résulte d’un long travail de synthèse effectué par James Clerk Maxwell en 1873 dans son article "‘Treatise on Electricity and Magntism"’. Cette théorie fut vérifiée et revérifiée à maintes reprises grâce au développement fructueux de la technologie humaine.

 

L’électromagnétisme classique est parfaitement décrit par les équations de Maxwell et toute théorie d’unification devrait pouvoir réobtenir ces résultats :

 

Le champs électrique E et le champ magnétique B peuvent être écrits en terme du potentiel électrique φ et du potentiel vecteur A :

On remarque qu’à partir de ces définitions, le champ électrique E et le champ magnétique B sont invariants si on effectue les transformations suivantes :

En définissant le quadri-vecteur électromagnétique Aμ = (φ, A1, A2, A3), la transformation prend la forme suivante :    

Puisque les champs électromagnétiques possèdent de l’énergie, ils contribuent à la courbure de l’espace-temps et il est nécessaire de déterminer le tenseur d’énergie de l’électromagnétisme. Dans un premier lieu, il est possible de réécrire les quatre équations de Maxwell en deux équations tensorielles à l’aide du tenseur de Faraday F défini comme suit :

 

Sous cette forme, les équations de Maxwell prennent la forme tensorielle suivante :

Jμ est le quadri-vecteur courant dont les composantes sont :

Finalement, le tenseur d’énergie de l’électromagnétisme est :