La Supersymétrie
Par Simon Lefrançois et Martin Larivière-Bastien
1. Le problème de hiérarchie du Modèle Standard - Simon Lefrançois

L’un des arguments les plus convaincants en faveur de la supersymétrie est le problème de hiérarchie du Modèle Standard ainsi que son pendant technique, le problème d’ajustement fin. Ceux-ci sont caractérisés par une dépendance des masses prédites de certaines particules par rapport aux échelles d’unification des interactions. Ceci mène à des masses théoriques beaucoup trop élevées par rapport aux limites expérimentales connues.

Le problème d’ajustement fin provient des divergences quadratiques qui apparaissent lors du calcul des énergies d’auto-interaction de certaines particules. En effet, la théorie quantique des champs admet qu’une particule interagisse avec elle-même. Ceci crée une auto-énergie qui fournit une correction à la masse de la particule. Par exemple, un photon peut se désintégrer en une paire électron-positron virtuelle qui s’annihile pour reformer le photon :

figure 1: Couplage e+-e- du photon

Dans le cas du photon, lorsqu’on calcule l’intégrale sur l’espace des phases du diagramme de Feynman ci-haut, on obtient une correction nulle en raison de la symétrie de jauge U(1) en QED. Cette symétrie protège donc la masse du photon contre des corrections qui la rendrait non-nulle.

Par contre, des divergences surviennent lorsqu’on applique des corrections d’auto-interaction au boson de Higgs. Cette particule correspond au quantum physique du champ de Higgs, qui est à l’origine de la rupture de la symétrie électrofaible dans le MS. Or, sa masse reçoit des corrections dues à son couplage avec les différents fermions du MS. Considérons la boucle fermion-antifermion suivante :

figure 2: Couplage fermion-antifermion du Higgs

Soit λf, le couplage Higgs-fermion-antifermion. La correction à la masse du Higgs s’obtient en intégrant la trace de l’amplitude de probabilité du processus sur tout l’espace des phases. On aura alors 2 termes de sommet fermion-Higgs [iλf /2½] et 2 propagateurs fermioniques [i/(k-mf)], où la quadri-impulsion (E,p) est liée au quadri nombre d’onde (ω,k) par les relations de DeBroglie et Einstein. N(f) est un facteur de multiplicité des interactions, par exemple N(q)=3 pour les quarks en raison des 3 couleurs.

éqn 1

Le premier terme de l’intégrale ΔmH2 montre une divergence quadratique aux hautes énergies (k grand), c’est-à-dire qu’il ne diminue pas assez vite pour que l’intégrale converge. On peut éviter cette divergence en introduisant une coupure Λ qui régularise le comportement de l’intégrale aux hautes énergies en tenant compte d’une nouvelle physique modifiant la dynamique d’interaction à ces échelles, par exemple une unification des forces. Ceci correspond à une régularisation de type Pauli-Villars :

La correction due au premier terme de l’éqn 1 est alors :

On obtient ainsi une correction à la masse du Higgs qui est proportionnelle à la coupure Λ2. Or, cette dernière devrait raisonnablement être de l’ordre de l’échelle d’unification ultime de la théorie utilisée. Ainsi, on obtient ΛGUT ~ 1016 GeV dans le cadre de la théorie grandement unifiée et ΛP ~ MP ~ 1019 GeV dans le cas d’une éventuelle théorie quantique de la gravité (MP est la masse de Planck). Ceci est bien au-delà de la masse attendue du Higgs physique, mH ≤ 1 TeV. On aboutit alors au problème d’ajustement fin : il faut une concordance étroite entre les paramètres du MS afin qu’une masse nue élevée du Higgs s’annule avec les énormes corrections d’auto-interactions prédites pour donner un résultat de l’ordre du TeV.

C’est également là le cœur du problème de hiérarchie du Modèle Standard : les corrections à la masse du Higgs dépendent du niveau où l’on se situe dans la hiérarchie des théories physiques. Ceci est d’autant plus problématique que les masses des quarks, leptons et bosons de jauge électrofaibles du MS dépendent toutes du potentiel du Higgs. En effet, en plus du mécanisme de Higgs qui donne directement les masses des bosons électrofaibles, on peut considérer les termes de masses fermioniques comme provenant des couplages de Yukawa λf entre les fermions Yf et le boson de Higgs Φ. On obtient ainsi des termes de masse de la forme suivante dans le Lagrangien1:

Différentes options permettent d’éviter ce problème : on peut rejeter le mécanisme de Higgs, comme dans le modèle de la technicouleur, ou encore proposer que la coupure Λ est de l’ordre de l’échelle d’unification électrofaible ΛÉF ~ 102 GeV. Par contre, il existe une façon d’annuler directement les divergences quadratiques et qui aboutit naturellement à la supersymétrie.

En effet, on peut introduire un boson scalaire (spatialement paire et de spin 0)  de masse  avec un couplage  avec le boson de Higgs. On a alors l’auto-interaction suivante :

figure 3: Auto-intéraction Higgs-

De façon similaire à l’auto-interaction fermion-antifermion, on obtient une correction à la masse du Higgs en intégrant la trace de l’amplitude de probabilité du processus. Par contre, puisque le diagramme de la figure 3 ne comporte qu’un sommet Higgs-, la correction dépend de  et non de :

éqn 2

Les T.N.D. sont des termes additionnels ne présentant pas de divergence quadratique. On constate que la correction  peut précisément annuler le terme divergent dans la correction f-antif (éqn 1) à condition de poser les relations suivantes :

N() = N(f)

= -λf2

 = mf

éqn 3

Ainsi, en associant à chaque fermion f un boson scalaire  de même masse, on protège la masse du Higgs contre toute correction hiérarchique d’auto-interaction, évitant ainsi l’apparition même du problème d’ajustement fin. La correspondance étroite entre la masse, le couplage et la multiplicité de ces particules partenaires ainsi que l’annulation totale et apparemment fortuite des divergences quadratiques laissent supposer qu’une nouvelle symétrie en est la cause, tout comme la symétrie de jauge U(1) en QED protège la masse du photon. Ceci motive l’introduction d’une transformation dite supersymétrique Q qui transforme un fermion en boson et vice-versa, formant ainsi des couples appelés superpartenaires2:

Q|Boson> = |Fermion>                       Q|Fermion> = |Boson>

éqn 4



1 v est la valeur du potentiel du Higgs dans l’état du vide (vev).

2 On désigne le superpartenaire d’une particule en ajoutant un ~ au symbole de cette dernière.

Réalisé dans le cadre du cours Physiques des particules (PHY-10518)
Université Laval - Décembre 2006
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