La Supersymétrie
Par Simon Lefrançois et Martin Larivière-Bastien
4. Le Modèle Standard Supersymétrique Minimal - Simon Lefrançois

La supersymétrie, telle que définie par l’algèbre et les conditions de rupture discutées plus haut, admet une très large gamme de modèles physiques. Le modèle permettant l’annulation des divergences quadratiques du Modèle Standard tout en introduisant le minimum de paramètres et de champs supersymétriques est le Modèle Standard Supersymétrique Minimal ou MSSM. Il existe cependant d’autres modèles supersymétriques ayant des contenus en particules différents ou encore plusieurs instances des générateurs  et . Par contre, ces théories sont souvent réductibles au MSSM, ou encore ils présentent des anomalies inacceptables, notamment en n’admettant pas certaines violations de parité présentes dans le MS.

Les particules d’une théorie supersymétrique sont regroupées sous forme de représentations irréductibles de l’algèbre supersymétrique appelées supermultiplets, qui sont associés aux superchamps décrits à la section 2. Ainsi, un supermultiplet contient un nombre égal de degrés de liberté bosoniques et fermioniques (nF = nB) formant des couples de superpartenaires. Ainsi, si deux particules  et  font partie d’un même supermultiplet, une combinaison des générateurs  et  opérant sur l’une permet de la transformer en l’autre.

De plus,  et  commutent avec la quadri-impulsion P et donc avec P2, ce qui implique des valeurs propres de P2 identiques pour tous les membres d’un supermultiplet. Or, les valeurs propres de P2 correspondent à la masse, ce qui confirme l’égalité des masses des superpartenaires (en l’absence de rupture).

Les générateurs supersymétriques commutent également avec les générateurs des transformations de jauge, ce qui implique que des superpartenaires ont les mêmes charges, isospins, etc. De plus, ceci exige que les membres d’un supermultiplet fassent partie de la même représentation du groupe de jauge. Il est donc impossible de faire correspondre un fermion et un boson de jauge du MS comme superpartenaires. La supersymétrie nécessite ainsi l’introduction d’un nouvel ensemble de particules.

On peut maintenant établir le contenu en particules du MSSM. Le supermultiplet le plus simple respectant l’algèbre supersymétrique comprend un fermion de spin ½ (avec 2 hélicités, nF = 2) et un boson scalaire de spin 0 dont le champ est complexe (nB = 2). Ceci constitue un supermultiplet chiral. Les quarks et les leptons du MS, dont le spin est justement ½, font partie de tels supermultiplets. On désigne le superpartenaire bosonique scalaire d’un fermion du MS en ajoutant s (scalaire) devant son nom: sélectron , squark up , sneutrino , etc. Comme il fut établi plus haut, les interactions de jauge auxquels participent les squark et sleptons sont les mêmes que leurs partenaires du MS. Par exemple, seule la composante d’hélicité gauche du squark up participe aux interactions faibles et se couple avec les bosons W± et Z0. Ainsi, les composantes d’hélicités d’une particule doivent former des supermultiplets différents. Pour les 3 familles de quarks (u d), (s c) et (b t), on aura alors trois familles constituées chacune d’un supermultiplet-doublet gauche avec interaction faible et deux supermultiplets-singlet droits correspondants. Il en sera de même pour les trois familles de leptons (e ne), (m nm) et (t nt), excepté que les neutrinos ont toujours une hélicité gauche. En somme, on a les supermultiplets suivants :

Tableau 1 : Supermultiplets chiraux des quarks et des leptons du MSSM

L’autre possibilité la plus simple pour un supermultiplet comporte un boson vecteur sans masse de spin 1 et un fermion sans masse de spin ½. Chacun possède 2 hélicités, de sorte qu’on a 2 degrés de liberté fermioniques et bosoniques. Puisque les bosons vectoriels jouent souvent le rôle de médiateurs d’interaction, un tel supermultiplet est dit de jauge. Il est naturel d’inclure les bosons de jauge du MS dans de tels supermultiplets. Un superpartenaire fermionique de spin ½ porte le nom du boson correspondant suivi du suffixe –ino. D’abord, l’interaction de jauge SU(3) en QCD est associée à 8 gluons transportant la couleur. Ils auront donc comme superpartenaires 8 gluinos g~ fermioniques. Quant à elle, la symétrie de jauge électrofaible nécessite trois bosons de spin 1 W± et W0 pour sa partie SU(2) et un boson B0 pour sa partie U(1). En dessous de l’énergie de rupture électrofaible, les champs du W0 et du B0 interagissent avec celui du Higgs et se mélangent pour donner le boson faible massif Z0 et le photon g. On aura donc comme superpartenaires fermioniques électrofaibles trois Winos  et  et un Bino , le  et le  se mélangeant à basse énergie pour donner un Zino massif  et un photino sans masse . Puisque les transformations de jauges sont indifférentes aux hélicités des bosons de jauge et donc de leurs superpartenaires, il n’est pas nécessaire de créer des supermultiplets séparés pour les composantes gauche et droite comme pour le cas chiral. En somme :

2: Supermultiplets de jauge du MSSM

Il reste à situer le boson de Higgs dans le MSSM afin de maintenir la rupture de symétrie électrofaible. Puisque celui-ci est un scalaire, donc de spin 0, il est naturel de l’inclure dans un supermultiplet chiral. Par contre, il s’avère ici nécessaire d’introduire 2 supermultiplets contenant chacun 2 composantes du champ de Higgs. En effet, la supersymétrie associe au Higgs un higgsino fermionique de spin ½. Or, le maintien de la symétrie de jauge électrofaible SU(2) x U(1)1, et donc de l’annulation des certaines divergences quadratiques, nécessite que la trace des matrices d’hypercharge faible pour l’ensemble des fermions soit nulle :

Dans le MS, il adonne que les hypercharges faibles de tous les quarks et leptons s’agencent de façon à s’annuler. Par contre, l’introduction par le MSSM d’un seul higgsino, dont Yw est non-nulle, brise cette annulation. Il est donc nécessaire d’introduire 2 higgsinos avec Yw = ±1. On regroupera ainsi les composantes neutres et chargées du champ de Higgs en deux supermultiplets. Le premier comprend (Hu+ Hu0) avec des charges Qém = (1 0) et des isospins faibles Iw3 = (½  -½), et le deuxième comprend (Hd0 Hd-) avec Qém = (0 -1) et Iw3 = (½  -½). La notation Hu et Hd provient du fait que seul un Higgs avec Yw= 1 a les couplages de Yukawa permettant de donner une masse aux quarks de charge +2/3 (u, c, t), et seul un Higgs avec Yw= -1 peut donner une masse aux quarks de charge -1/3 (d, s, b) ainsi qu’aux leptons chargés. Similairement au MS, le boson de Higgs physique est une combinaison linéaire des composantes neutres Hu0 et Hd0, et les composantes chargées sont avalées par les bosons faibles W± et Z0. Chaque composante possède son superpartenaire fermionique, un higgsino , et on a en somme :

3: Supermultiplets chiraux du Higgs du MSSM

Ceci complète le contenu en particules du Modèle Standard Supersymétrique Minimal. Pour chaque particule du Modèle Standard, il a fallu introduire une nouvelle particule supersymétrique dont le spin diffère toujours de ½ par rapport à son superpartenaire. Chaque couple ainsi formé a les mêmes nombres quantiques et la même masse en régime supersymétrique. Comme il fut discuté à la section 3, à basse énergie, il y aura une différence de masse de l’ordre de l’échelle mdoux associée à la partie de brisure douce du Lagrangien supersymétrique.


 

1 Cette symétrie correspond à la troisième composante d’isospin faible Iw3 et à l’hypercharge faible Yw = 2(QEM - Iw3).

Réalisé dans le cadre du cours Physiques des particules (PHY-10518)
Université Laval - Décembre 2006
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