La Supersymétrie
Par Simon Lefrançois et Martin Larivière-Bastien
2. L'algèbre Supersymétrique - Martin Larivière Bastien

La technique présentée à la section précédente est générale et les propriétés particulières des opérateurs Q dépendent du cadre dans lequel on l'utilise. On peut par contre mettre en évidence certaines propriétés particulières indépendantes du cadre.

Tout d'abord pour modifier la statistique d'un état fermionique à bosonique ou bosonique à fermionique les opérateurs Q doivent modifier le spin de ces états par une constante demi-entière1 (i.e. 1/2 3/2 5/2 etc.). Les opérateurs Q doivent donc eux-mêmes être porteurs de spin demi-entier.  Il est de ce fait possible de déduire certaines propriétés de ces opérateurs, par exemple il est possible de vérifier que les opérateurs Q agissent sous rotation de manière analogue aux états fermioniques. Par exemple, en appliquant à un fermion ou à un boson un opérateur R correspondant à une rotation de l'espace des configurations dans l'espace d'Hilbert on obtient un résultat bien connu :

R |fermion> = - |fermion>

R |boson> = |boson>

éqn 1

On peut donc vérifier pour Q :

RQ|fermion> = |boson> = -RQR-1|fermion> --> RQR-1|fermion> = -|boson> = -Q |fermion>

RQ|boson> = RQR-1|boson> = -|fermion> = -Q |boson>

Comme l'ensemble des états bosoniques et fermioniques forment une base dans l'espace d'Hilbert on a

RQR-1 = -Q

éqn 2

Par comparaison avec les équations éqn 1, on remarque que l'opérateur Q a le même comportement qu'un fermion sous rotation. Une analyse plus poussée permet de vérifier que les propriétés de Q sous une transformation de Lorentz quelconque sont celles d'un opérateur fermionique. En particulier, les transformations de Lorentz générales ne commutent pas avec Q. Ceci est facile à voir dans l'exemple précédent :

RQ |fermion> = |boson>

QR |fermion> = - |boson>

Cependant, les opérateurs Q sont invariants sous translation, ce qui signifie qu'une translation des coordonnées peut être effectuée avant ou après une transformation supersymétrique. Puisque les opérateurs E et P génèrent les translations d'espace-temps, ceci implique les relations de commutation suivantes :

[ Q , E ] = 0

[ Q , P ] = 0

Ou dans une notation relativiste :

[ Q , Pm ] = 0

 est la quadri-impulsion relativiste.

De plus, comme  (et par la même occasion sont adjoint) sont des opérateurs fermioniques, ils doivent satisfaire des relations d'anticommutation de la forme

Ceci ne correspond pas à une algèbre Lie conventionnelle mais plutôt à une généralisation de celle-ci appelée superalgèbre de Lie. Pour une description simplifiée de l'algèbre supersymétrique dont les opérateurs sont anticommutants entre eux, il est utile  d'introduire des variables elles aussi anticommutantes. Ce sont les variables de Grassmann notées θ avec les relations de (anti)commutation suivante

{ θi , θj } = 0

[ θi , xj ] = 0

Où les xi sont des nombres ordinaires.

Si on développe la relation d'anticommutation pour i=j on obtient une identité importante

{ θi , θi } = θiθi + θiθi = 2θi2 = 0

Une variable de Grassmann au carré est nulle.

On a en plus certaines règles particulières d'intégration

Il découle de ces règles que la différentiation d'une telle variable est identique à sont intégration. Originalement, ces variables ont été introduites pour décrire des intégrales de parcours de champs fermioniques, mais dans ce cas elles serviront de coordonnées anticommutantes. L'introduction de ces variables permet donc l'écriture des générateurs de symétrie et des champs bosoniques et fermioniques.

 

 est le conjugué de . On peut donc définir une transformation supersymétrique finie comme

éqn  3

qui s'applique sur un champ φ.

On remarque évidement l'analogie avec les transformations comme la rotation, définie comme  avec L l'opérateur moment angulaire (le générateur du groupe de rotation). La transformation supersymétrique devant agir sur les champs bosoniques et fermioniques, ces champs doivent de toute évidence être dépendants des variables de Grassmann. Bien sûr, ils doivent aussi être fonction des coordonnées ordinaires puisqu'ils sont sensés être une extension des champs ordinaires. Comme en général on ajoute le préfix super à toutes les extensions supersymétriques et qu'il ne s'agit pas d'une exception, on les appellera alors des superchamps. La transformation éqn 3 n'est pas nécessaire en générale. Il est suffisant de définir une transformation infinitésimale pour la majorité des applications. :

éqn  4

Ou α et θ sont des variables de Grassmann.

Il est aussi utile de définir des dérivés covariantes supersymétriques pour remplacer les dérivés ordinaires

Ces dérivés serviront, de manière analogue au développement du lagrangien de QED, à rendre le lagrangien SUSY invariant sous une transformation de jauge.  Ensuite, de la transformation infinitésimale définit par l'équation éqn 4 on peut expliciter une partie gauche et une partie droite :

Représentation gauche

Représentation droite

On remarque que la dérivée covariante est une dérivée ordinaire en représentation droite et de même à un signe près.

À l'aide de ces outils, on peut construire les superchamps chiraux et vectoriels. Les champs chiraux décriront les fermions de spin ½ et les bosons de spin 0 alors que les champs vectoriels décriront les bosons de spin 1. Les champs chiraux se construisent avec soit

            Les champs vectoriels seront eux construits à l'aide de l'introduction d'un champs vectoriel V qui par définition doit être égal à son conjugué. On peut par la suite construire le lagrangien supersymétrique qui décrira les superchamps. Il se construit en imposant que

éqn  5

Ici l'appellation « Lagrangien » n'est pas rigoureusement exacte. On doit plutôt utiliser l'appellation « Densité lagrangienne ». Le lagrangien est définit par le fait que sont intégrale sur le temps donne l'action :

La densité lagrangienne est elle définit par le fait que son intégrale sous l'espace-temps donne l'action:

Par contre, l'appellation lagrangien est plus souvent qu'autrement utilisée et est généralement considérée comme acceptable. À l'aide de cette définition, on peut donc interpréter l'éqn 5 comme l'invariance de l'action sous une transformation supersymétrique. Maintenant, bien qu'il soit possible à partir de l'équation éqn 5 et des outils développés précédemment de construire la forme générale du lagrangien supersymétrique, ce développement ne sera pas fait pour des considérations de concision. On s'intéresse par contre aux propriétés de ce lagrangien qui découle directement des hypothèses utilisées pour le construire : ce lagrangien n'aura pas de divergences quadratiques pour des boucles simples. Comme vu précédemment, ceci est dû au fait que les termes de correction de masses dus aux boucles des particules du MS seront annulées systématiquement par des termes de correction des superpartenaires. Ceci est le résultat important de la supersymétrie. Il est si puissant que de nombreuses théories ont été développées autour de cette symétrie dans le but de profiter de cette annulation des termes d'auto-interaction. La théorie la plus simple et la mieux connue l'utilisant est le Modèle Standard Supersymétrique Minimal. Il sera abordé en détails après avoir étudié la rupture SUSY.



1 Dans la plupart des théories supersymétriques, les opérateurs Q sont porteurs d'un spin ½.

Réalisé dans le cadre du cours Physiques des particules (PHY-10518)
Université Laval - Décembre 2006
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