5. Renormalisation
Accueil
1. Apparition de QED
2. Symétrie et transformation de jauge
3. Dérivation lagrangienne de QED
4. Diagrammes et règle de Feynman
5. Renormalisation
6. QED et l'expérimentation
Conclusion
Bibliographie

 

Lors du calcul de prédictions physiques à l’aide des diagrammes de Feynman, un problème survenait lorsque des boucles étaient présentes dans le système. Par exemple, le diagramme le plus simple de l’annihilation d’un électron et d’un positron et la création d’une paire muon/anti-muon est le suivant :

 

        

Le calcul de l’amplitude de probabilité d’un tel processus ne rencontre aucun problème et peut être calculé à l’aide des règles de Feynman. Pour obtenir plus de précisions sur les calculs de probabilités, il faut considérer aussi des diagrammes plus complexes comme le suivant et ajouter la contribution de tous les diagrammes :

 

            L’apparition d’un boucle provenant de la création d’une paire particule/anti-particule virtuelle amène, d’après les règles de Feynman, une intégration sur l’impulsion des particules virtuelles. Un problème survient lors du calcul de cette intégrale car il faut intégrer sur toutes les valeurs d’impulsions possibles et cette intégrale diverge lorsque les bornes vont de zéro jusqu’à l’infini, rendant la probabilité d’un tel processus infini, C’est pourquoi le processus de renormalisation, très controversé lors de ses premières applications, a du être mis au point afin de faire disparaître ces divergences.

            Avant de continuer l’explication de la renormalisation en électrodynamique quantique, un exemple simple provenant de la théorie des perturbations stationnaires de la mécanique quantique permet de bien comprendre l’utilité du processus de renormalisation. L’équation de Schrödinger avec un hamiltonien non-perturbé permet de trouver une fonction d’onde de la forme  et la condition de normalisation impose que . La solution d’un hamiltonien additionné d’une perturbation peut être écrite de la forme :

 

                                                                                                        (44)

 

 est la solution à l’hamiltonien non-perturbé et λ une constante plus petite que 1 apportant les corrections à la fonction d’onde originale. La conclusion immédiate à tirer est que la condition de normalisation n’est plus conservée à cause des corrections apportées à . Il faut alors renormaliser la nouvelle fonction d’onde afin d’avoir une probabilité totale égale à 1 :

                                                                                              (45)

                                  

            Un processus semblable est utilisé en électrodynamique quantique pour éliminer les intégrales divergentes. Tout d’abord, il faut utiliser une technique appelé régularisation afin de calculer explicitement les intégrales divergentes de la forme :

                                                                                                                                                           (46)

                                                       

Plusieurs techniques sont possibles pour calculer cette intégrale mais une des plus utilisées est la technique dite de régularisation dimensionnelle. Au lieu d’intégrer sur quatre dimensions, on pose le nombre de dimensions comme étant égal à 4-ε, ε étant très petit. Cette intégrale est calculable et donne un résultat de la forme :

                                                                                                                                       (47)

 

Pour obtenir des résultats physiques, on fait tendre la constante ε vers zéro. Le terme dépendant de ε peut être laissé de côté car il tend lui aussi vers zéro mais le terme dépendant en 1/ ε tend vers l’infini lorsque la constante tend vers zéro. Pour contourner ce problème, il faut renormaliser les paramètres qui dépendent de 1/ε. Par exemple, le paramètre C peut être une fonction de la masse et de la charge électrique et on redéfinit une charge et une masse renormalisées de la manière suivante :

                                                                                                                                                (48)

                                                    

On pose finalement mR et eR comme étant les valeurs mesurées en laboratoire et l’intégrale donne maintenant un résultat fini.

            Dans le cas du lagrangien décrit plus tôt, les différentes composantes vont se transformer de la manière suivante :

                                                                                  (49)   

 

où les constantes sont données par :

                                                                                                                                       (50)

           

                Un problème semble encore survenir lorsque ε tend vers zéro car les valeurs des différentes constantes prennent des valeurs qui divergent. Il faut toutefois considérer la constante ε comme étant une ‘mesure’ de la profondeur à laquelle les mesures sont faites. Par exemple, avec ε tendant vers zéro, la charge de l’électron tendrait elle vers l’infini. Une manière de voir cela est de considérer l’électron comme étant un point de charge infini entouré de paires de particule/anti-particule virtuelles. Ces paires forment un peu l’équivalent d’un diélectrique qui diminue la valeur du champ électrique de l’électron à mesure qu’on s’éloigne. Ceci voudrait dire que plus l’électron est sondé profondément, plus sa charge devrait augmenter et ceci est confirmé expérimentalement avec des mesures de la constante de structure fine a. Au Tevatron, des électrons à très haute énergie ont permis d’obtenir une valeur de 1/128 pour a, confirmant ainsi l’augmentation de la charge car a est directement proportionnelle à la charge au carré de l’électron.