4. Diagrammes et règle de Feynman
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Conclusion
Bibliographie

 

En comparant avec la mécanique classique, une façon de calculer la probabilité d’un certain processus serait d’utiliser la méthode des intégrales de parcourt. Cette méthode englobe d’un seul coup tous les chemins possibles que peut prendre le processus, même si certains ont l’air d’être tout à fait impossible sur le plan classique. Bien qu’il s’agisse d’une manière conventionnelle de calculer la probabilité d’un certain processus, une manière plus facile de visualiser les différents chemins suivis par le processus a été développé par Feynman, les diagrammes de Feynman, qui permettent par la suite de calculer les différentes prédictions à l’aide des règles de Feynman. Pour calculer un processus de diffusion par exemple, la méthode conventionnelle était de représenter chaque état intermédiaire possible par une série de Dyson, qui représente l’amplitude de probabilité de chaque état intermédiaire, et de les additionner ensemble mais l’avènement de la représentation à l’aide de diagrammes a permis de mieux visualiser les différentes interactions possibles. L’annihilation et la production d’un électron et d’un positron peuvent par exemple être représentée par les deux diagrammes suivants :

 

       

.

 

            Le premier diagramme représente l’annihilation d’un électron et d’un positron, la création d’un photon et finalement la création d’une autre paire particule-antiparticule. Le deuxième diagramme représente le même processus mais avec la production de deux photons.

   

            Il serait aussi possible de tracer des diagrammes où plus de deux photons sont échangés :

 

 

Toutefois, il faut noter que dans les processus électromagnétiques, chaque photon échangé dans le diagramme apporte une contribution de l’ordre de a, la constante de structure fine égale à ~1/137. Pour l’échange d’un photon, l’amplitude de probabilité sera de l’ordre de α alors quelle sera de l’ordre de a2 pour l’échange de deux photons, rendant cette contribution beaucoup plus petite. Il est alors possible de considérer les processus contenant plus d’un photon comme étant une perturbation au processus contenant un seul photon.

            En électrodynamique quantique, lors du calcul des probabilités de chaque diagramme, Feynman a développé certaines règles à partir du lagrangien d’interactions. Une description sommaire qualitative et quantitative des principales règles est présentée ici :

 

1) À chaque ligne externe représentant un fermion entrant comme en A sur la figure précédente on ajoute un facteur (pour un fermion sortant, on change le signe de ) :

                                                                                                                                    (38)

 

2) À chaque ligne interne représentant un fermion comme en B sur la figure précédente on ajoute un facteur :

 

                                                                                 (39)

 

3) Une ligne ondulée externe représentant un boson de jauge qui se propage, le photon dans le cas de l’électrodynamique, est représenté par le propagateur suivant :

                                                                                               (40)

 

4) Un photon interne comme en C est représenté par :

                      

                                                                                      (41)

 

5) À chaque vertex est associé un facteur de la forme :

 

                                                                                                                (42)

 

            Pour calculer ensuite la probabilité de transition entre un état initial et un état final, il faut intégrer sur les impulsions internes k et additionner tous les diagrammes possibles.

           

 

 

À titre d’exemple, considérons le diagramme ‘simple’ suivant :

 

Dans ce diagramme, trois vertex, deux fermions et un photon internes ainsi que deux fermions et un photon externes sont présents. En utilisant les règles définies précédemment, la probabilité de transition entre l’état initial d’un électron et d’un positron vers un photon serait donnée par :

 

                            (43)

 

            Les trois premiers facteurs sont les particules externes, le facteur à la troisième puissance représente la présence des trois vertex et finalement, les trois intégrales sont les trois particules internes sur lesquelles il faut intégrer sur toutes les impulsions possibles. Il est facile de voir que les calculs deviennent rapidement complexes et c’est pourquoi il n’est pas possible de considérer un nombre de diagrammes très grand lors du calcul des transitions. Une chose importante à noter est que le diagramme utilisé pour l’exemple ne représente pas un processus physique possible car l’annihilation d’un électron et d’un positron en un photon viole la conservation de l’énergie.