3. Dérivation lagrangienne de QED
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Conclusion
Bibliographie

 

            Un peu comme dans le domaine de la mécanique classique, la dérivation des équations de l’électrodynamique quantique peut se faire à partir d’un lagrangien sauf que les coordonnées généralisées seront remplacées par des champs f et les moments généralisés seront remplacés par des dérivées des champs par rapport à chaque coordonnées d’espace-temps :

                                                                                                                             (25)

  L’équation d’Euler-Lagrange devient alors :

 

                                                                                            (26)            

 

Il faut ensuite partir du lagrangien d’une particule libre :

                                                                                                                                (27)

y est le champ représentant la particule chargée et la barre correspond à l’adjoint du champ qui correspond à l’antiparticule, gm sont les matrices de Dirac et  la dérivée par rapport à la coordonnée xμ. L’électrodynamique quantique étant une théorie invariante de jauge, il faut modifier ce lagrangien car il n’est pas invariant sous une transformation de jauge locale du type de l'équation (13). Le moyen d’obtenir un lagrangien invariant de jauge est d’introduire la dérivée covariante (équation 18) :

                                                                                                                                                 (28)

qui elle conservera la symétrie de jauge requise. En remplaçant la dérivée ordinaire par la dérivée covariante dans  le lagrangien  et en réarrangeant les termes :

 

                                                                                                                  (29)

  Un nouveau champ, Aμ, est introduit par la dérivée covariante. C’est ce champ vectoriel qui représentera le photon. Sous une transformation de jauge, il se transforme de la forme  afin de conserver la symétrie. Les deux 

termes dans le lagrangien ont les significations suivantes : le premier terme introduit le champ et son adjoint et est la propagation d’un fermion libre, le deuxième terme est l’interaction des deux champs  avec le champ Aμ, représentant l’interaction d’une particule et de sa particule conjuguée avec un photon. Il manque seulement un terme permettant de décrire la propagation libre des photons. C’est en introduisant le terme , où :

                                                                                                                                          (30)

  est le tenseur du champ électromagnétique, que ceci est possible. Le lagrangien finale s’écrit donc :

                                                                                         (31)

En insérant ce lagrangien dans l’équation d’Euler-Lagrange, il est possible de dériver par rapport au champ f et Am .Par rapport à y :

 

                                                                                                                              (32)

et

                                                                            (33)

 

En prenant le complexe conjugué et en insérant les deux résultats obtenus précédemment dans l’équation d’Euler-Lagrange :

                                                                                                                             (34)

 

où le terme de gauche est l’équation de Dirac et le terme de droite est l’interaction avec le champ électromagnétique. L’interaction de l’antiparticule avec le champ électromagnétique s’écrit passablement de la même façon :

                                                                                                                         (35)

 

Par rapport à Aμ,  :

                                                                                                         (34)

                                                                                                                                             (35)

 

Comme , l’équation d’Euler-Lagrange s’écrit :

          

                                                                                                                                            (37)

                                      

  Ce sont donc les deux équations à résoudre afin de connaître les équations des champs de la particule et de son champ adjoint.