2. Symétrie et transformation de jauge
Accueil
1. Apparition de QED
2. Symétrie et transformation de jauge
3. Dérivation lagrangienne de QED
4. Diagrammes et règle de Feynman
5. Renormalisation
6. QED et l'expérimentation
Conclusion
Bibliographie

 

2.1 L’invariance d’un système sous  transformation :

L’existence d’une symétrie dans un système physique simplifie la résolution des équations de mouvement. Par exemple, lors de symétrie dans le formalisme lagrangien, les équations de mouvement sont moins nombreuses et certaines quantités sont ainsi conservées. Une symétrie implique aussi qu’un système peut être invariant sous une transformation. Pour l’électromagnétisme, la transformation de jauge est celle qui modifie le champ scalaire φ et vectoriel A, sans faire varier les équations de mouvement propre au champ électrique et magnétique du système. Sous cette transformation de jauge, le système est donc invariant.


                                                                                                        (12)

    

Cette transformation de jauge est globale si elle affecte toutes les positions par une constante et locale si elle dépend de la position. Cette deuxième condition, assez sévère, est une propriété notamment des interactions électromagnétiques (équation 12.a-b). Dans la nature on rencontre rarement de tel système. On s’intéresse maintenant à l’action de ce champ sur la fonction d’onde d’une particule. Pour conserver l’invariance de jauge, la transformation prend la forme suivante :

                                                                                                                  (13)

La fonction d’onde est donc multipliée par un facteur de phase qui dépend de la position de l’espace. Selon le principe d’invariance, ceci implique que l’on peut choisir n’importe quel angle comme phase sans changer la dynamique du système. Les transformations qui sont caractérisées par la rotation dans un cercle, comme l’angle de la phase, constituent le groupe noté U (1). Ce groupe représente donc l'interaction électromagnétique et caractérise la symétrie d'un tel système. L’électrodynamique quantique devra donc aussi posséder cette symétrie. C’est pourquoi on demande à cette théorie que le lagrangien respecte cette invariance de jauge locale pour unifier les concepts d’électromagnétisme et ceux de mécanique quantique par la transformation de la fonction d’onde.

Par ailleurs, un terme de masse dans l’équation (13) briserait la symétrie de jauge. On verra dans la section 3 que le champ introduit ne devra pas avoir de termes de masse pour préserver l’invariance sous transformation de jauge. Ce champ modifie, par transformation locale, le potentiel à chaque point de l’espace différemment considérant que la charge des particules dans ce champ est fixe. De même, on verra dans cette même section que pour rendre le lagrangien invariant sous transformation U (1), on doit introduire un champ vectoriel de la forme Aμ (φ, A).

 

2.2 Notation covariante et formalisme Lagrangien pour l’invariance de jauge :

On se sert de la notation covariante pour avoir une forme de l’équation de Dirac plus symétrique. On définit alors les matrices γμ de la façon suivante d’après les résultats de Dirac obtenus précédemment :

                                                                                                                  (14)          

 On définit l’adjoint relativiste par :

                                                                                                                                               (15)

 

Puis on définit l’analogue de la densité de courant j (ce qui remplace l’équation de continuité) par le quadri-vecteur j qui sera conservé:

                                                                                                                            (16)

Pour l’équation de Schrödinger de la forme de l’équation (6) et d’une solution de la forme de l’équation (7), on peut réécrire l’équation de la façon suivante pour une particule (électron) libre:

                                                            (17)     

La somme n’apparaît pas toujours dans cette expression si la notation d'Einstein est utilisée.

Pour le cas de l’électron dans un champ quadri-vectoriel G Am , on introduit la dérivée covariante :

                                                                                                                                  (18)

Pour l’électron, la charge est remplacée par :

                                                                                                                                     (19)

Dans ce cas l’invariance de jauge locale, d’après les équations (1), requiert que le potentiel soit invariant sous transformation telle que :

                                                                                (20)

Pour introduire l’impulsion des particules chargées dans un champ, on doit utiliser le formalisme canonique de l’Hamiltonien pour conserver l’invariance sous les transformations de jauge précédentes. L’impulsion de la particule est donnée par :

                                                         (21)

 

Si on considère maintenant cette impulsion l’équation d’onde prend la forme :

                                                                       (22)

L’introduction de la dérivée covariante permet de rendre le lagrangien des interactions électromagnétique invariant. Il est donc surprenant de voir que l’ajout d’un champ extérieur A peut introduire tout simplement la condition d’invariance sous transformation de jauge locale pour le lagrangien.

 

2.3 Théorie des champs dans la description de symétrie :

La théorie des champs est derrière la majorité de nos calculs. Elle est en fait l’outil mathématique de l’électrodynamique quantique et des extensions de cette théorie.  Par exemple, l’action est l’intégrale du lagrangien sur tout l’espace-temps  alors que classiquement, on intègre sur le temps (une dimension). Pour une fonction scalaire φ  le Lagrangien s’écrit de la façon suivante.

                                                   (23)

où l’on considère que la fonction d’onde dépend de la position au premier ordre.  De la même façon que l’intégrale du Lagrangien nous donnait l’action, l’intégrale de la densité lagrangienne intégré sur tout l’espace-temps s’exprime comme suit:

                                                                                                                          (24)

                                      

L’action caractérisait l’énergie minimale d’une trajectoire dans l’espace. On peut donc s’attendre aussi à ce que les interactions obéissent à ce principe de moindre action. D’après Feynman dans son livre lumière et matière, l’aspect probabiliste des interactions de la matière dépend de l’énergie que cette particule doit fournir. Pour lui la lumière passe par tous les chemins possibles mais celui le plus probable est le plus court. Ainsi, on se dirige vers une théorie de perturbation où pour connaître l’état d’une particule finale, on doit considérer tous les parcours possibles. Par les diagrammes de Feynman, on voit qu’entre deux états d’un système il peut y avoir plusieurs réactions possibles. Plus la réaction est compliquée moins elle sera probable et sera considérée comme perturbation agissant comme un terme de correction. 

Dans la prochaine section, l’équation de Dirac sous forme lagrangienne sera développée ainsi que les diagrammes de Feynman brièvement expliqués précédemment d’après le formalisme défini.