1. Apparition de QED
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6. QED et l'expérimentation
Conclusion
Bibliographie

 

1.1) Équation de Klein Gordon :

Dans une première étude du comportement ondulatoire, l’équation fondamentale de la mécanique quantique formulée par Schrödinger (1926) décrivait la propagation d’une particule sous forme d’onde. Schrödinger utilisait le formalisme de l’Hamiltonien pour décrire l’énergie du système qui était proportionnelle à la dérivée de la fonction d’onde par rapport au temps. Les physiciens voulaient savoir si l’équation de Schrödinger était invariante sous transformation de Lorentz, donc si elle décrivait aussi une particule à haute énergie. L’énergie de la particule s’écrit donc dans ce cas comme suit, où l’on reconnaît l’énergie de masse et l’énergie cinétique de celle-ci:

                                                                                                 (1)

En utilisant la mécanique non relativiste de Schrödinger et l’équation (1) on obtient l’équation de Klein-Gordan d’après les règles de quantification canonique. Elle représente donc la forme relativiste de l’équation de Schrödinger.

 

                                                       (2)     

On note que cette définition contient une dérivation du deuxième ordre de la fonction d’onde de la particule dépendante du temps. On peut réécrire l’équation de la façon suivante :

                                                                           (3)                                 

Cette équation sera  appliquée en particulier au champ scalaire réel sans spin, ce qui n’est pas le cas du photon, et aura une solution composée de la fonction de l’onde plane. Maintenant, reste à savoir si cette équation à un sens physique. On sait que la mécanique quantique interprète les résultats d’une mesure d’un état comme une probabilité. Cependant, l’équation de Klein-Gordon ne donne pas toujours une densité de probabilité ρ positive pour des champs scalaires complexes. D’après l’équation de continuité, ρ n’est pas toujours positif.

L’équation de continuité est donnée par :

                                                                                                        (4)


                D’après Dirac, ce problème vient du fait que la densité contient une dérivée du premier ordre par rapport au temps de la fonction d’onde. Elle provient de la dérivée seconde par rapport au temps de la fonction d’onde de l’équation de Klein-Gordon (2).

 

 

2.2 L’équation  de Dirac comme solution 

           Dirac exprimera plutôt l’équation de Schrödinger avec l’énergie écrite sous la forme suivante:

                                                                                                           (5)

Il souhaite ainsi linéariser l’équation de Klein-Gordon en utilisant l’équation de Schrödinger contenant la dérivée de la fonction d’onde au premier ordre. D’après le formalisme de quantification canonique, il obtient la forme suivante de l’équation de Schrödinger:

                                                                    (6)

 

Dirac a introduit l’idée que l’énergie aurait la forme de l’équation (7) où l’impulsion s’exprimerait comme  une combinaison linéaire des impulsions selon les dimensions du système (x, y, z) et où les matrice β et a sont les matrices de Dirac.

                                                                                                    (7)

Si on met cette énergie au carré elle doit correspondre à l’équation (1). L’équation (7) au carré nous donne l’expression suivante :

        (8)

où :      i, j = x, y, z       et ba ab

On en déduit les relations suivantes afin que l’équation (8) soit égale à l’équation (1) :

                                                                              (9)

Pour satisfaire ces équations les matrices a et bdoivent au moins être de dimension 4x4 et Ψ va être un spineur introduisant ainsi l’invariance de Lorentz pour des équations telles que (6) où la fonction d’onde Ψ est solution l’équation de Schrödinger relativiste. Vu que la densité ρ ne dépend plus de la dérivée par rapport au temps de la fonction d’onde, ρ est proportionnel à ψ12 + ψ22 + ψ32 + ψ42, les quatre composantes du spineur.

 les matrices a et b:

                                 (10)

si représentent les matrices de Pauli et I la matrice identité. Ces résultats ont eu des conséquences spectaculaires notamment dans la définition du spin de la particule.  Dans le cas d’un potentiel central, si on cherche un opérateur J tel que [J, H] = 0 d’après les définitions précédentes, on trouve:

                                                                                                                                     (11)

c doit être une matrice 4x4 de valeur propre ± 1, ce qui correspond au moment angulaire intrinsèque de la particule, le spin. Le spin serait donc une conséquence de la mécanique quantique relativiste. Un résultat stupéfiant sera démontré plus loin dans le formalisme lagrangien de l’équation de Dirac. On montre que lorsque l’on impose les conditions d’invariance de l’électromagnétique au lagrangien d’une particule libre, il doit y avoir un champ électromagnétique pour conserver la symétrie du système et les équations de mouvement. Ainsi, le photon apparaît de lui-même dans les équations par une nécessité. Cependant, la constatation des énergies négatives cachées derrière la racine carrée de l’équation (5) donnera lieu à plusieurs questionnements et déceptions. Quantiquement, on ne pouvait accepter un tel résultat et on ne pouvait simplement les ignorer.

                              

Ce problème fut résolu  par Dirac qui un an plus tard associera les énergies négatives aux anti-particules. Il appuya le fait que les électrons d’énergie positive étaient stables d’après le principe d'exclusion de Pauli, les niveaux d’énergie négative étant occupés par les anti-particules. Il associa la particule d’énergie –E, de charge –q et d’impulsion –p au positron, anti-articule de l’électron. Par l’absorption d’un photon, un positron d’énergie négative peut alors avoir une énergie positive laissant un trou dans la bande d’énergie négative. Ce processus correspond à la création de paires d’électron-positron. Puis quand un électron de recombine avec le trou, on a annihilation de cette pair. De cette façon, l’équation de Dirac ne peut décrire de façon cohérente une seule particule relativiste. Comme les masses en relativité ont une forme d’énergie, les particules peuvent être crées et détruites.

C’est ainsi que la relativité a trouvée sa place en mécanique quantique par la solution de Dirac à l’équation de Schrödinger pour des particules de hautes énergies. L’importance de cette équation aura plusieurs effets sur l’explication de résultats expérimentaux et constituera le cœur de l’électrodynamique quantique en décrivant les interactions de la lumière avec la matière. La prochaine section portera sur l’importance de la symétrie et de l’invariance sous transformation dans une nouvelle théorie de l’électromagnétisme ainsi que sur une autre notation dite covariante, utile à l’extension de ces résultats au formalisme lagrangien.