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Mécanisme de Higgs

Le mécanisme de Higgs, proposé dans les années 60 par Englert, Brout et Higgs, a été incorporé à la théorie basée sur la symétrie du groupe SUL(2)xUY(1) pour former la théorie électrofaible. Il permet, en ajoutant un champ scalaire, de provoquer la brisure de symétrie pour les basses énergies et ainsi de générer une masse pour les W± et Z0, et cela, tout en gardant l’invariance de jauge du lagrangien. Le mécanisme permet de régler un autre problème en offrant une interprétation de la masse de toutes les particules comme une interaction avec ce nouveau champ. Ainsi, les termes de masse de toutes les particules massives « apparaissent » dans le lagrangien comme une interaction avec le nouveau potentiel. Le boson de Higgs, pour sa part, est une conséquence obligée du mécanisme de Higgs.

Le mécanisme de Higgs : une illustration

Une explication hautement vulgarisée et très bien illustrée du mécanisme de Higgs a été proposée par le chercheur David Miller. « Politics, Solid State and the Higgs » fait une analogie entre le mécanisme de Higgs et une petite fête de type cocktail. Supposons que dans une pièce, des invités sont répartis uniformément. Cela forme le champ de Higgs (voir figure 1a). Si une personnalité entre dans la pièce, les gens en train de discuter près d’elle s’agglomèrent autour d’elle.  Elle a alors plus de mal à bouger, un peu comme si elle avait une masse plus importante (figure 1b). Cette personnalité représente une particule qui interagit avec le champ de Higgs. Plus la personne est connue, plus il y a de gens qui s’agglutinent autour d’elle. Ainsi l’intensité de l’interaction entre les particules et le champ de Higgs est proportionnelle à la masse des particules. On imagine maintenant que quelqu’un lance une rumeur dans la pièce (figure 1c). Des petits groupes se forment pour discuter de la rumeur et la propagent. C’est un peu comme si la rumeur acquérait elle-même une masse (figure 1d). Cette rumeur représente le boson de Higgs.

Figure 1 : Illustration du mécanisme de Higgs : a) Les invités, répartis uniformément, représentent le champ de Higgs b) Une personnalité connue acquiert de la masse en circulant à travers ces invités.  Cela représente les particules qui circulent dans le champ de Higgs c) et d) Si quelqu’un lance une rumeur dans la pièce, celle-ci, en se propageant, acquiert une masse.  Cela représente le boson de Higgs. (Réf. [9])


Champ de Higgs

 

Introduction d’un champ scalaire

Le concept du mécanisme de Higgs repose sur l’introduction d’un nouveau champ, le champ de Higgs, qui n’est ni un champ de matière, ni un champ de jauge. On dit que c’est un champ scalaire. Comme on veut que ce champ interagisse avec les particules qui ont des interactions électrofaibles, il doit avoir un isospin faible et une hypercharge non nuls. Le choix naturel est donc un doublet de champs scalaires (un singulet n’a pas d’isospin faible) appartenant à SUL(2). Ces champs scalaires doivent être complexes. L’un d’entre eux doit être chargé électriquement et l’autre neutre. Il a donc la forme suivante :

Introduire ce champ revient donc à introduire 4 degrés de libertés.

Pour ce champ, il faut aussi ajouter un terme au lagrangien électrofaible. Ce lagrangien a la forme suivante (on utilise la dérivée covariante introduite plus tôt afin qu’il respecte l’invariance de jauge) :

     

Le premier terme du lagrangien est le terme cinétique. Il comprend en quelque sorte les termes de masse des bosons de jauge ainsi que des termes d’interactions entre les champs de jauge et le champ scalaire. Le deuxième terme est le potentiel scalaire . Il implique, comme on le verra plus loin, une masse pour le Higgs et des interactions du champ de Higgs avec lui-même. On choisit le potentiel renormalisable le plus simple qui brise la symétrie :

 avec λ>0, ce qui assure que V est borné inférieurement.

Si on observe bien le lagrangien du champ scalaire, on voit qu’il est invariant sous transformation de jauge locale de SUL(2)xUY(1).

 

Valeur de l’état de vide (VEV)

L’état fondamental d’un champ, qui correspond à l’état de vide, est défini comme étant la valeur du champ qui correspond au minimum du potentiel . Si ce potentiel a la forme présentée plus haut, il peut prendre deux formes différentes tout dépendant du signe de μ2. Si μ2 est positif, le potentiel n’a qu’un minimum à =0, on dit alors qu’il n’y a qu’un VEV (vacuum expectation value) et que ce dernier est symétrique. Ce n’est pas le cas qui nous intéresse car il ne permet pas de briser la symétrie.

Par contre, si  μ2<0, le potentiel présente la forme d’un « chapeau mexicain » illustrée à la figure suivante, c’est-à-dire qu’il présente une « bosse » à l’origine.

Figure 2 : Forme du potentiel pour le cas μ2<0 (Réf. [2])

 

Le VEV n’est alors pas nul. C’est justement l’existence de cette valeur non nulle du vide qui permet de conférer une masse à toutes les particules. En effet, ce champ couvre en quelque sorte le vide.

Il n’y a pas un seul minimum mais bien tout un continuum de valeurs possibles situé là où le champ respecte , c’est-à-dire, dans le creux du chapeau. Le choix du minimum en particulier est arbitraire, mais aussitôt que le choix est fait, la symétrie est  brisée. On prend la plupart du temps un état de la forme . Cette solution particulière n’est pas symétrique dans SUL(2)xUY(1):

On voit que même si le potentiel est symétrique une solution particulière ne l’est pas.

 

Génération de la masse des bosons de jauge

L’interaction des champs de jauge avec le champ scalaire permet de générer une masse pour les bosons vecteurs de l’interaction faible. De façon imagée :

Figure 3 : Schématisation du processus d’acquisition de masse des bosons de jauge (Réf [7])

 

En effet, le terme cinétique du lagrangien ajouté pour le champ scalaire prend la forme[1] :

 

 

À ce point, il est nécessaire d’introduire un changement de variable afin que les réels bosons d’interaction aient les caractéristiques voulues, c’est-à-dire qu’ils impliquent une masse pour les W± et Z0 et qu’ils laissent le photon sans masse. On introduit donc :

où on a introduit l’angle de mélange (ou angle de Weinberg) θW. Ainsi, les bosons neutres Aμ et Z0 sont générés par des combinaisons du boson Bμ et du , tandis que les bosons chargés W± sont des combinaisons des  et .

À noter que la forme de Aμ suggère une relation entre les constantes de couplage faibles g et g’ et la constante de couplage de l’électromagnétisme (qui est la charge élémentaire) :

ou encore

Ce changement de variable permet de réexprimer le terme cinétique du lagrangien du champ scalaire qui devient :

Cela est en plein ce que nous souhaitions, puisque ces termes présentent la forme de termes de masse pour les bosons W± et Z0. On peut définir cette masse comme étant :

                   

On réalise alors que l’angle de mélange permet de relier la masse du W à la masse du Z:

 

Le fait qu’il n’y ait aucun terme de masse pour Aμ est parfait, puisque ce dernier représente le photon qui est non massique.

 

Génération de la masse des fermions

On a parlé plus tôt d’un autre problème du lagrangien qui concerne la masse des fermions. En effet, dans ce lagrangien introduit dans la section sur la théorie électrofaible, on a introduit des termes de masse de la forme suivante pour ces particules:

Cependant, si on exprime les spineurs en terme de leur composante d’hélicité gauche et droite, on voit que ces termes prennent la forme :

Or, un tel terme dépend à la fois de l’état d’hélicité gauche et de l’état d’hélicité droite, qui, comme on l’a vu, ne portent pas les mêmes valeurs d’isospin et d’hypercharge faible et ne se transforment donc pas de la même façon dans le groupe SUL(2)xUY(1). Ce terme de masse brise donc l’invariance de jauge et est donc prohibé.

Par contre, les termes de masse des fermions libres peuvent aussi être introduites via les interactions entre les champs de matière et l’état fondamental du champ scalaire. On peut illustrer cela de la manière suivante :

Figure 4 : Schématisation du processus d’acquisition de masse des fermions (Réf [7])

 

Pour générer la masse des fermions grâce au potentiel scalaire de Higgs, il faut, comme dans le cas de la génération de masse des champs de jauge, poser un lagrangien invariant, qui ne contient donc pas de terme de masse explicite pour les fermions.  Ensuite, il faut exiger son invariance sous SUL(2)xUY(1), ce qui donne naissance à de nouveaux termes d’interaction entre le champ scalaire et les champs de matière. Ces interactions ont des constantes de couplage proportionnelles à la masse des fermions associés.

 

Passage d’une symétrie de SU(2)xUY(1) à une symétrie de Uem(1)

Le mécanisme de Higgs permet donc de briser spontanément la symétrie de jauge locale du groupe SU(2)xUY(1) pour donner des masses aux bosons W et Z et aux fermions. Comme l’ajout de ce champ laisse tout de même le champ associé au photon sans masse, la symétrie du groupe Uem(1) est conservée. En effet, la charge électrique « annihile » l’état fondamental : et il n’y a pas de brisure de symétrie. Le mécanisme de Higgs a donc permis de faire passer la symétrie de jauge locale de SUL(2)xUY(1) à une symétrie de Uem(1).

Cette brisure spontanée de la symétrie n’est cependant présente que pour des basses énergies. À ces énergies, l’interaction faible est bien décrite par la théorie de Fermi et elle apparaît totalement différente de l’interaction électromagnétique. Cependant, à très haute énergie (de l’ordre de 102GeV), la « bosse » dans la forme du potentiel est négligeable et la symétrie de jauge est restaurée. À de telles énergies, les forces électromagnétiques et faibles sont deux aspects de la même force, la force électrofaible.

 

Figure 5 : Représentation de l’unification des forces électromagnétique et faible au-delà d’une valeur d’énergie donnée.  (Réf [22])

 

Boson de Higgs

On peut dire que le boson de Higgs est en quelque sorte une conséquence du mécanisme de Higgs, un « champ scalaire rémanent ».

Il est intéressant de considérer les degrés de liberté avant et après avoir introduit la brisure de symétrie. Au départ, nous avions les 3 champs de jauge sans masse  de SUL(2) qui ont tous 2 degrés de liberté, et le champ non massif de UY(1), qui amène aussi 2 degrés de liberté. Le champ scalaire complexe qu’on a introduit a pour sa part quatre degrés de liberté. Cela donne donc au total 12 degrés de liberté. Après la brisure spontanée de symétrie, il reste les 3 bosons W± et Z0, qui ont 3 degrés de liberté chacun. En effet, les 3 bosons ont en quelque sorte « volé » trois des degrés de liberté du champ scalaire dans le processus qui leur a donné une masse. Le photon non massique conserve ses 2 degrés de liberté. Cela donne donc 11 degrés de liberté. Il en reste un douzième, qu’on note H. C’est ce degré de liberté qui correspond au boson de Higgs, une particule physique massive.

 

Il est possible de choisir la jauge de façon à ce que le champ scalaire s’écrive en fonction de ce degré de liberté :

 où H est le champ du boson de Higgs.

Le champ H est un champ scalaire, ce qui implique que le Higgs est un boson de spin nul.

 

Le lagrangien associé au champ a la forme :

La première portion de ce lagrangien est celle que nous avions déjà vue qui donne les termes de masse aux champs de jauge. La deuxième partie contient des termes qui impliquent seulement le champ scalaire H. En développant, on obtient les termes suivants :

Le premier terme est un terme de masse pour le Higgs. On a donc . On sait que μ2 est nécessairement non nul pour que le mécanisme de Higgs fonctionne. Par contre, on ne connaît pas sa valeur. La masse du Higgs demeure donc inconnue et elle constitue le seul paramètre non déterminé de la théorie électrofaible. Étant donné les relations précédemment introduites, il est cependant possible d’exprimer MW et θW en fonction de MH.

Les deuxième et troisième termes sont associés à des interactions du champ de Higgs avec lui-même. On peut représenter ces deux types d’interaction comme :

Figure 6 : Interaction du champ de Higgs avec lui-même dans un processus impliquant 3 Higgs ou 4 Higgs

 

La constante de couplage de la réaction impliquant 3 Higgs et 4 Higgs est la même :

gHHH= gHHHH=3MH2/v 

 




[1] On fait ici le calcul avec le champ

 

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