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Théorie électrofaible et nécessité d’un mécanisme de brisure de symétrie

La théorie électrofaible est construite sur le même principe que l’électrodynamique quantique (QED). Elle se base cependant sur une invariance de symétrie de jauge locale d’un groupe différent, le groupe SUL(2)xUY(1), qui est légèrement plus complexe. De plus, elle nécessite, comme on le verra plus loin, un mécanisme qui permet de créer une brisure de symétrie spontanée.

 

La théorie électrofaible avant l’introduction du mécanisme de brisure de symétrie

Champs de matière et charge faible

Si en QED les champs de matière étaient de simples spineurs caractérisés par leur charge électrique, la forme des champs de matière pour la théorie électrofaible est un peu plus compliquée.

On doit introduire ici un nouveau nombre quantique, l’isospin faible, noté IW. Ce nombre, associé au groupe SUL(2), correspond à la charge faible. C’est l’analogue pour les interactions faibles de la charge électrique. Les particules ayant un isospin faible non nul sont sensibles aux interactions faibles tandis que celles dont l’isospin faible est nul ne le sont pas. Ce qui distingue les particules ayant un isospin faible non nul des autres est l’hélicité de la particule. Les détails du concept d’hélicité ne seront pas abordés ici. Par contre, de façon simpliste, on peut dire que l’hélicité d’une particule est reliée à sa direction de propagation et à son spin. Les particules dont la direction de propagation est alignée avec le spin ont une hélicité droite, tandis que celles pour lesquelles la direction de propagation est anti-alignée ont une hélicité gauche.

On peut écrire la représentation des fermions comme la somme de deux spineurs : un d’hélicité gauche et l’autre d’hélicité droite :

où R et L sont les « projecteurs d’hélicité »  définis en terme de la cinquième matrice de Dirac comme :

On définit aussi :          

 et       

 

L’isospin faible des fermions d’hélicité gauche est IW=½. La troisième composante d’isospin faible IW3 peut donc prendre des valeurs de ±½. On peut par conséquent grouper les fermions d’hélicité gauche en doublets de particules de SUL(2) qui se distinguent par la valeur de leur troisième composante d’isospin faible :

Il y a donc des doublets de leptons et des doublets de quarks :

        

 

Pour les fermions d’hélicité droite, l’isospin faible est nul. La troisième composante ne peut donc être que 0. Cela correspond à des singulets de fermion :

Ces fermions sont tout de même affectés par la force électromagnétique. Aussi, on introduit l’hypercharge faible, notée YW. Ce nombre quantique, associé au groupe U(1), permet de relier la charge électrique et l’isospin faible par la relation de Gell-Mann- Nishijima : . Étant donné cette relation, l’hypercharge faible des doublets de leptons est YW=-1 et celle des doublets de quarks de YW=1/3. Les singulets ont pour leur part une hypercharge de YW=-2 pour e, μ, τ, de YW=4/3 pour u c, et t et de YW=-2/3 pour d, s et b. Étant donné que les doublets et les singulets ont une hypercharge non nulle, elles ont des interactions électromagnétiques.

Champs de jauge

Étant donné que le groupe UY(1) possède 1 générateur et le groupe SUL(2) en possède 3, on s’attend à ce que la théorie électrofaible implique 4 bosons de jauge. Le champ  est le champ de jauge associé au générateur Y de UY(1), tandis que les 3 champs de jauge sont associés aux trois générateurs Ta (a=1,2,3) de SUL(2).

Lagrangien de l’électrofaible

Le lagrangien pour la théorie électrofaible comprend donc jusqu’à maintenant un terme pour chaque champ de matière libre[1], ainsi que les termes qui représentent les bosons vecteurs libres sans masse :

 

À noter que le troisième terme dans l’expression de , est dû au fait que le groupe SUL(2), contrairement au groupe UY(1), n’est pas abélien (les éléments du groupe ne commutent pas). Ce terme implique donc que les bosons d’interactions faibles interagissent avec eux-mêmes et entre eux.

Invariance de jauge de SUL(2)xUY(1)

L’interaction électrofaible des bosons de jauge et des champs de matière est introduite, comme pour QED, en exigeant que le lagrangien de toutes les particules libres soit invariant sous transformation de jauge locale de SU(2)xUY(1). Il suit de cette invariance imposée la conservation des nombres quantique YW et I3W.

Pour ce groupe, la transformation de jauge dans le groupe SUL(2)xUY(1) est différente pour les fermions d’hélicité gauche et d’hélicité droite :

 

Les champs de jauge se transforment quant à eux de la manière suivante :

Comme pour QED, il faut remplacer la dérivée partielle par la dérivée covariante afin d’obtenir l’invariance. La dérivée covariante a ici une forme légèrement différente, puisqu’elle doit inclure un terme pour chaque boson de jauge :

Où les constantes g et g’ sont des constantes de couplage analogues à la charge électrique qui décrivent l’intensité des interactions électrofaibles.

 

Le lagrangien final a donc la forme suivante :

 

Nécessité d’un mécanisme de brisure de symétrie

Il y a cependant des problèmes avec ce lagrangien. Celui qui saute aux yeux à prime abord est qu’il implique des bosons vecteurs de l’interaction faible  non massifs. En effet, il n’y a aucun terme de la forme dans ce lagrangien, et l’introduction « à la main » de tels termes briserait la symétrie de jauge locale. Cela constitue un problème majeur, car les bosons vecteurs de l’interaction faible doivent être massifs, puisque cette interaction a une très courte portée (10-18m). D’ailleurs, d’après les résultats expérimentaux, la masse des W± est environ de 80GeV et celle des Z0 environ de 90GeV.

Afin d’expliquer cette brisure de symétrie, certains physiciens ont pensé utiliser un mécanisme de brisure de symétrie spontané. On parle de brisure de symétrie spontanée quand les équations du mouvement qui gouvernent l’évolution d’un système sont invariantes sous une transformation, mais qu’une solution particulière ne l’est pas.

Un exemple familier d’une telle brisure est une bille en équilibre sur le sommet d’une colline. Cet état est symétrique, cependant, il n’est pas stable. À tout moment, la balle peut spontanément descendre la colline, ce qui brise la symétrie. Un exemple un peu plus proche de notre situation est le cas du ferromagnétisme. Pour des températures assez élevées, les dipôles magnétiques ne sont pas alignés, ils s’orientent dans des directions aléatoires. On peut alors dire que le système est invariant sous rotation. Par contre, en dessous d’une certaine température, les dipôles s’alignent selon une certaine direction, ce qui brise spontanément la symétrie de rotation. De la même façon, notre mécanisme devra impliquer une brisure de symétrie spontanée pour les énergies faibles.

 


[1] Pour l’instant, on introduit « à la main » un terme de masse pour les fermions, comme on l’a fait pour QED. Cependant, comme il sera question plus tard, un tel terme n’est pas invariant sous transformation de jauge de SUL(2)xUY(1). Les termes de masse pour les fermions peuvent cependant être introduits de la même façon que les termes de masse des bosons vecteurs, c’est-à-dire par l’interaction que leur champ a avec le Higgs.

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