Les diagrammes de Feynman

La théorie des perturbations est un outil extrêmement pratique dans le calcul des probabilités des interactions dites faibles, dans un cadre classique (non relativiste). Par contre, lorsque l'on inclut à ce type d'interaction des particules fortement relativistes, cette théorie procure des résultats beaucoup trop compliqués à calculer, d'où l'intérêt de développer un nouvel outil permettant d'appliquer cette théorie des perturbations aux cas relativistes. Cet outil porte aujourd’hui le nom de diagramme de Feynman.

Bien qu'ils permettent de visualiser les interactions entre les particules, les diagrammes de Feynman sont bien plus qu'une simple représentation schématique. Le but premier de cet outil est de réduire – considérablement - les calculs décrivant ces interactions en les réduisant à de simples variations d’amplitude de probabilité. Ils sont une sorte de représentation graphique des formules de section efficace de diverses interactions. Dans ses diagrammes, Feynman dévoile une nouvelle théorie des perturbations invariantes dans laquelle il propose que la perturbation du système soit représentée par un échange de particules virtuelles.

Une grande partie de cet ouvrage traite de l'interaction entre deux électrons (ou positrons). Par contre, une fois la technique saisie, ce n'est qu'une question de temps avant de pouvoir l'appliquer à d'autres types d'interaction. Dans ce travail, j'entends démontrer l'efficacité des diagrammes de Feynman dans le calcul des probabilités d'interaction entre des particules. Pour y arriver, je dois néanmoins introduire quelques éléments de théorie mathématiques qui se dissimulent derrière ces diagrammes, ensuite, nous verrons comment chaque terme de l'équation menant au calcul se trouvent bel et bien à l'intérieur d'un tel graphique.

Théorie des perturbations invariantes

La matrice de diffusion S

Supposons que l'on a un système composé de n particules qui interagissent ensemble. Ce système peut dès lors être décrit par un hamiltonien du type H(t)=H0+V(t), où V(t) représente l'opérateur d'interaction.

Maintenant, si l'on définit V(t) comme étant égal à exp[iH0t]V(t)exp[-iH0t], on obtient de l'équation de Schrödinger :

B = e-h-
   2m
(1)

où ψ'=exp[iH0t]. De cette équation on remarque que la fonction d'onde $\bar\psi$ (dans le reférentiel du centre de masse) ne sera modifiée que par l'interaction elle-même. Ainsi, si l'on intègre la dernière expression en posant que ti = -∞ et tf = +∞, on trouve que:

B = e-h-
   2m
(2)

Cette relation nous permet donc de définir la matrice S .

Comme nous l'avons vu à l'intérieur de la partie traitant de la théorie de jauge, la densité lagrangienne qui décrit une interaction entre deux électrons et un champ électromagnétique est donnée par la relation suivante :

B = e-h-
   2m
(3)

On remarque que le dernier terme correspond à la densité lagrangienne de l'interaction. Maintenant, pour des raisons qui demeureront vagues (il serait difficile et sûrement inaproprié de démontrer ici cette égalité), il convient de poser :

(4)

Et ainsi la définition de S devient:

(5)

Ainsi, l'amplitude de Feynman (définie par M) pour une transition d'un état initial i à un état final f, sera définit en termes des éléments de la matrice S. Malheureusement, Pour trouver S, il faut connaître Aμ et pour cela on doit partir de l'équation de Maxwell écrite sous forme covariante, i.e., ∂μFμν=jν. Sachant que Fμν= ∂μAν-∂νAμ, on arrive ainsi à prouver que :

B = e-h-
   2m
(6)

X est un quadri-vecteur espace-temps quelconque. Ne reste alors qu'à insérer cette dernière expression à l'intérieur de l'équation (4).

Action d'intéraction

Afin de bien comprendre le mécanisme derrière les interactions et les diagrammes de Feynman, il est pratique, à ce moment-ci, de définir l'expression -∫V(t)dt comme étant une action d'interaction (I), donc S=eiI. Ainsi, avec ce que nous avons trouvé précédemment, on obtient:

B = e-h-
   2m
(7)

Ensuite, en posant :

B = e-h-
   2m
(8)

on obtient, dans le cas d'une collision entre deux électrons l'action suivante:

B = e-h-
   2m
(9)

Et ainsi, après quelques changements de variables et manipulations mathématiques (Il faut effectuer le changement de variable suivant A = (X+X')/2 et B = X-X', ensuite on intègre selon A et selon B), on arrive au résultat suivant;

B = e-h-
   2m
(10)

On peut remarquer le nouveau terme k utilisé. Il représente le quadri-vecteur impulsion du photon virtuel, qui est le résultat de la conservation de l'impulsion pour chacune des deux particules initiales, i.e., k = p2-p1 = p4-p3.

Nous verrons, plus loin, un exemple de diagramme de Feynman représentant l'interaction entre deux électrons. Il sera alors possible de constater comment l'usage des diagrammes simplifie le calcul des probabilités d'interactions. Par contre, avant d'en arriver là, il est préférable d'établir les règles qui régissent l'utilisation d'un tel outil.

Structure du diagramme

Comme on peut le voir sur la figure (1), un diagramme de Feynman comporte un axe qui représente le déplacement spatial (abscisse) et un qui représente le déroulement temporel (ordonné). De plus, il est constituer de trois types d'éléments différents:

FIGURE 1 : Exemple d'un diagramme de Feynman

Bien que l'un des axes représente l'espace, il ne faut jamais regarder un diagramme de Feynman avec pour objectif de connaître les trajectoires réelles des particules ou encore leurs vitesses. Il ne s'agit en fait que d'une représentation schématique de la situation.

Il arrive aussi que le déplacement de la particule semble s'opposer au déroulement du temps. Dans ce cas, il n'agit s'agit pas de particules qui remontent dans le temps, mais plutôt d'antiparticule. Sur la figure suivante, on peut voir le même déplacement - avec émission ou absorption d'un photon - effectué d'abord par un électron et ensuite par un positron.

FIGURE 2 : Déplacement d’un électron (gauche) et d’un positron (droite)

Les règles de Feynman

À première vue, ces diagrammes de Feynman semblent tout à fait inoffensifs, mais attention, ils respectent toute une série de règles biens définies, que l'on nomme tout bonnement: les règles de Feynman (bien que la présentation de ces "règles" semblent différer d'une personne à l'autre).

Les éléments du diagramme

Un diagramme de Feynman est composé de trois éléments distincts, soit : les particules (réelles), les propagateurs (virtuels) et les noeuds ou vertex.

Les particules

Les particules regroupent toutes les entités possédant des quantités observables - ce qui entre et sort du diagramme respecte la relation E = m2+p2 (c=1) - elles sont donc réelles. À chacune de ces particules, initiale ou finale, l'on doit alors associer l'un des facteurs suivant:

Les propagateurs

Les propagateurs sont des artifices un peu plus compliqués à étudier. En premier lieu, parce qu'il existe plus d’un type de propateur, en fait, il en existe un différent pour chaque type de champ : le méson pour un champ Klein-Gordon, le fermion pour un champ de Dirac et le photon pour un champ quadri-vectoriel Aμ(x)$. Le développement des diagrammes par R. Feynman, nous a amené à voir ces "choses" ou expressions mathématiques comme des particules virtuelles, ce qu'elles sont. Étant donné que pour les étapes intermédiaires, les particules en jeu n'ont pas à respecter la relation d'Einstein E = m2+p2 (c=1), elles ne pourrons donc jamais être observées. Pour ce type d'éléments, il faut accorder les facteurs suivants:

Pour chaque ligne interne représentant un photon (virtuel):

B = e-h-
   2m
(11)

Pour chaque ligne interne représentant un fermion, il faut écrire le facteur :

B = e-h-
   2m
(12)

Pour chaque boucle fermée de fermion, il faut trouver la trace (Tr) et multiplier par un facteur (-1).

Les noeuds

Les noeuds, formés par la connexion entre trois segments, représentent tout simplement les interactions électromagnétique entre les particules. Chacun noeud rencontré apporte une contribution de ieγα.

Quadri-vecteurs d'impulsion

Il faut attribuer un quadri-vecteur d'impulsion pour toutes les particules, vraies ou virtuelles. Dans le cas des particules qui entrent et sortent du diagramme, nous utilisons la notation pn où (n=1,2,...) dépendemment du nombre de particules interagissant. Pour les particules virtuelles, on utilise plutôt la notation km pour (m=1,2,...).

Lecture du diagramme

C'est à cette étape que tout ce décide. Il est important de respecter une méthode bien stricte pour retranscrire mathématiquement un diagramme de Feynman. Ici encore, je vais me contenter d'expliquer la démarche pour une interaction entre deux électrons. Ainsi, il faut y aller par étape:

Première particule :
Il faut multiplier les facteurs décrits plus tôt en suivant l'ordre suivant : (ψf)(-iqγμ)(ψi). Nous voulons donc passer de l'&ecute;tat initial ψi à l'état final ψf, en passant par le noeud (-iqγμ pour un électron). Dans le cas d'un électron ayant quadri-vecteur d'impulsion p2 initialement et p1 à la fin du processus, on obtiendrait la combinaison

Propagateur :
Il suffit simplement d'ajouter à la suite de l'expression précédente, le facteur associé au propagateur. Dans notre cas, c'est celui du photon qui "propage" l'interaction, soit -iDμν(k).

Deuxième particule :
Comme pour la première particule, il suffit de trouver l'expression (ψf)(-iqγμ)(ψi). Pour ce deuxième électron, le quadri-vecteur sera noté p4 pour son état initial et p3 pour son état final. On ajoute ensuite ce dernier segment à la suite de l'expression et l'on obtient finalement:

B = e-h-
   2m
(13)

Pour mieux comprendre cette dernière relation, il est intéressant d'observer l'ordre chronologique de chacun des termes la composant et de le comparer (l'ordre) au diagramme de Feynman suivant, qui représente exactement l'interaction étudiée, soit la collision entre deux électrons. De plus, il est intéressant de constater comment cette dernière relation est similaire à l'équation (63) trouvée plus tôt.

FIGURE 3 : Interaction entre deux électrons

Conservation de l'énergie et de l'impulsion

Toutes les lignes qui entrent et sortent du diagramme et qui représentent de vraies particules, doivent absolument respecter E = p2c2 + m2c4. L'impulsion doit aussi être conservée tout au long du processus.

Utilisation des diagrammes de Feynman

Maintenant que les règles sont établies, ont pourrait les utiliser pour étudier une multitude d'interactions différentes. Bien sûr, ce procédé n’est pas totalement infaillible. D’abord, il ne peut être utilisé que pour schématiser des interactions dites faibles ou de type électro-magnétiques (Des interactions fortes ayant de grandes énergies sont aussi possibles à étudier par les diagrammes de Feynman). La raison à cette contrainte et bien simple, comme nous l’avons spécifié, les diagrammes de Feynman font appel à la théorie de perturbations, laquelle n’est valable que pour de faibles valeurs de couplage. Ainsi, les interactions fortes, lesquelles possèdent une grande constante de couplage, ne peuvent se traiter par la méthode des perturbations - et par conséquent avec les diagrammes de Feynman - à l'exception des interactions de très hautes énergies. Voici quelques exemples des interactions possibles de traiter avec les diagrammes de Feynman.

FIGURE 4 : Exemples d'interactions électromagnétiques (de gauche à droite) : attraction électron-positron, annihilation électron-positron, création de pair électron-positron et effet Compton.

FIGURE 5 : Exemples d'interactions fortes (de gauche à droite) : entre quarks et entre nucléons.

Ainsi, pour trouver la probabilité du procédé - car c'est bien ce que l'on cherche à connaître en bout de ligne - il suffit,

  1. D'abord, de dessiner le plus de diagrammes d'interaction possibles. Car, plus le nombre sera élevé, plus la précision du calcul d'amplitude sera bonne.
  2. Ensuite, il faut donné l'énergie et l'impulsion initiale des particules impliquées et déterminer l'expression associée à l'action d'interaction I.
  3. Maintenant, avec I, il faut trouver les éléments de la matrice de diffusion S = eiI, a qui permet de trouver la contribution en amplitude M de chacun des diagrammes dessinés. L'amplitude totale du procédé sera donc une sommation de toutes ces contributions, soit:
    B = e-h-
   2m
    (14)
  4. Finalement, connaissant ainsi l'amplitude du procédé, il suffit trouver la probabilité que l'interaction survienne, qui est égale au carré de la valeur absolue de l'amplitude totale (|Mtotal|2).

Conclusion

Comme on a pu le constater, les diagrammes de Feynman sont des outils très efficaces dans l'étude de l'électrodynamique quantique. Ils sont simples à dessiner et plutôt simples à interpréter. Par contre, bien que l'on serait tenté de croire que leur but premier soit exclusivement de représenter graphiquement une interaction entre des particules, ils servent beaucoup plus à définir mathématiquement le déroulement de cette interaction.

En terminant, l’aspect le plus intéressant à ce type de représentation est sans contredit son caractère «modulaire». Car pour chacun des éléments composant un diagramme de Feynman, un terme mathématique y est rattaché, celui-ci permettant de reconstituer l'expression menant au calcul de la probabilité d'une interaction.