Renormalisation

Les premiers physiciens qui ont essayé d’effectuer des calculs à l’aide des méthodes perturbatives développé en pour la théorie quantique des champs et plus particulièrement pour QED, se retrouvèrent face à un problème. D’abord, les approximations du premier ordre donnaient des réponses qui était valable, mais très approximées, ensuite, lorsque ils cherchait à déterminer le terme de second ordre, le résultat donnait l’infini ! Devant ces inconsistances de la théorie, les physiciens ont dû trouver une solution qui est venue par la renormalisation. La renormalisation est maintenant communément acceptée  et constitue un outil important dans la théorie des champs actuelle. Nous en dresserons ici les grandes lignes.

Un exemple simple qui ne fonctionne pas…

Observons de manière plus concrète l’origine de ces divergences. Pour se faire, nous allons décrire la réaction e-e+ → μ-μ+ dont l’expression au premier ordre est décrite par le diagramme de Feynman donné ci-dessous.

FIGURE 1: Diagramme de Feynman pour la réaction e+e- à μ+μ-

À l’ordre supérieur, il y a création de la pair électron positron au cour du processus et on voit qu’une boucle se forme dans le diagramme illustré ci-dessous. 

FIGURE 2 : Diagramme de Feynman d’ordre supérieur pour la réaction e+e- à μ+μ- 

Le problème réside dans le fait que les particules qui sont crées dans la boucle peuvent prendre une infinité de valeurs d’énergie et de quantité de mouvement puisqu’elles ne sont pas déterminés de manière unique. Pour obtenir la correction voulue, on doit donc intégrer sur toutes les valeurs possibles du quadri-vecteur énergie impulsion. Lorsqu’on effectue le calcul en détails, on trouve que cette intégrale diverge et donc, que la correction recherchée est infinie, ce qui est inconsistant. Des problèmes du même genre surgissent à chaque fois que l’on arrive à une boucle dans un diagramme de Feynman. 

La méthode de renormalisation

La renormalisation, permettant d’effectuer des calculs de perturbation d’ordre supérieur avec QED peut être effectuée en deux étapes. D’abord, on essaie de résoudre l’intégrale divergente et séparer la partie qui diverge, ceci se nomme la régularisation. On effectue ensuite la renormalisation qui consiste à éliminer les parties divergentes.

Le but de la régularisation est de calculer des intégrales de la forme :

(1)

La méthode utilisée consiste à introduire un paramètre nommé régularisateur permettant de séparer l’intégrale. On obtient ensuite le résultat recherché en prenant la limite physique. La méthode la plus simple, mais la moins utilisée parce qu’elle viole entre autre l’invariance de jauge, consiste à intégrer, non pas jusqu’à l’infini, mais jusqu’à une valeur grande donnée par le paramètre Λ. On obtient donc :

(2)

avec I Λ qui converge évidement et qui correspond à I dans la limite où Λ → ∞. On obtient le résultat général suivant :

(3)

Dans la limite Λ → ∞, C → 0, A diverge et B indépendant de reste fini. On peut donc éliminer immédiatement C. Il reste donc une partie divergente et une partie finie comme résultat de l’intégration. On s’occupera de la partie divergente lors de la renormalisation.

Voyons maintenant une méthode plus utile de régulatisation : la régularisation dimensionnelle.  Cette méthode a l’avantage de préserver l’invariance de jauge. Cette méthode consiste à remplacer I par :

(4)

d correspond au nombre de dimension qui est 4 dans la limite physique. On effectue l’intégrale en d = 4 - ε dimensions. En posant , on retrouve le résultat physique recherché lorsque ε → 0. L’intégrale donne :

(5)

dans laquelle on néglige maintenant le terme A pour la limite classique. Dans la renormalisation, on tente d’éliminer le terme C qui est divergent. D’autres méthodes de régularisation plus commodes à certaines situations existent. Cependant, toutes ces méthodes doivent permettre d’obtenir le même résultat en bout de ligne.

Nous arrivons maintenant à la seconde étape de notre méthode, la renormalisation. On essaie maintenant de se débarrasser des termes infinis. L’intégrale obtenue jusqu’à maintenant peut être notée :

(6)

où Λ est le régulateur (obtenu par n’importe qu’elle méthode), a est la constante de structure fine et m est la masse. Comme on l’a vu, cette intégrale diverge. On peut cependant exprimer les paramètres physiques d’une manière qui permet d’éliminer les divergences. On a :

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(8)
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Bien sur se résultat ne change rien à l’intégrale et on sait tous très bien que la masse et la charge de l’électron n’est pas infinie. Ceci est justement le point important. On pose maintenant les conditions de renormalisation suivante :

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Où dans le cas qui nous intéresse mr correspond à la masse de la particule considérée et α correspond à la constante de structure fine. L’indice r indique que la valeur est renormalisée. Ceci permet donc d’obtenir une valeur finie de l’intégrale. Les infinis ont été éliminés par la renormalisation. Cette méthode peut sembler mauvaise puisqu’on ne peut faire disparaître les infinis d’une telle manière logiquement. Mais la théorie de l’électrodynamique quantique a plus que fait ses preuves. Il doit donc y avoir quelque chose de bon à notre renormalisation.

En fait, les premières réactions face à cet état des choses furent très sceptiques. Feynman suggérerait que tout ceci montrait un manque profond de compréhension en théorie quantique des champs. On continue toujours de critiquer la renormalisation. Cependant, le travail effectué entre autre par Kenneth G. Wilson a permis une description intuitive et élégante de la normalisation que l’on nomme groupe de renormalisation. Ce sujet est assez compliqué et ne sera pas traité ici. Cette méthode élimine la plupart des ambiguïtés reliées à la renormalisation.