Champs de Klein-Gordon et de Dirac

Nous allons maintenant appliquer le formalisme Lagrangien développé à la section précédente pour étudier les équations de Klein-Gordon et de Dirac du point de vue de la théorie quantique des champs. Cette étude à pour but de montrer des exemples d’applications de l’approche lagrangienne de la quantification des champs et de faire ressortir certains points essentiels de cette théorie. Nous débuterons par l’étude du champ de Klein-Gordon.

4.1 Champ de Klein-Gordon

Le champ de Klein-Gordon décrit dans cette section permet entre autre de décrire la dynamique de particules relativistes ayant un spin 0. Elle s’applique donc bien à la description des pions et des mésons K. Soit une particule dont l’énergie et la quantité de mouvement sont reliées par l’équation :

E2 = m2 +p2
(1)

Les effets relativistes sont donc pris en compte. L’équation de Klein-Gordon apporte en quelque sorte une adaptation de l’équation de Schrödinger à la relativité restreinte. Celle-ci est donnée par  :

          2
(@ @  + m  )  = 0
(2)

La description quantique de cette équation pose certains problèmes puisqu’elle admet des états d’énergie négative et positive. Cependant, la théorie de champ élimine les divers problèmes reliés à la description quantique de cette équation. Pour des raisons historiques, on nomme seconde quantification l’application de la théorie quantique des champs sur une équation donnée. Le Lagrangien duquel peut être dérivé l’équation de Klein-Gordon est :

L = 1(@   )2   1 m2  2
    2         2
(3)

Et le champ conjugué est donné par :

(x) = @L = _ (x)
     @ _
(4)

Ceci permet donc d'obtenir l'Hamiltonien suivant :

     Z
H  =   d3x 1  2 + 1(@    )2 + 1m2  2
           2     2        2
(5)

On note que cet Hamiltonien est similaire à l'Hamiltonien correspondant à l'oscillateur harmonique ayant une énergie :

     p -------
!p =   p2 + m2
(6)

On résout ce système par la manière standard de la mécanique quantique utilisant les opérateurs a et a que l'on nomme opérateurs de création et d'annihilation. Un tel nom vient du fait que l'application de ces opérateurs sur un état quantique contenant n particules que l'on note | n > donne :

      p --
ajni =  njn   1i
(7)
 y     p -----
a jni =  n+ 1jn+ 1i
(8)

Ces opérateurs obéissent aux relations de commutation suivantes :

a;ay  = 1
(9)

a;a =  ay;ay = 0
(10)

Il est important de noter que | n > réfère à un état quantique de n particules et non à un niveau d’énergie. L’espace dans lequel agissent les opérateurs de création et d’annihilation se nomme l’espace de Fock. Cet espace est composé de l’espace de Hilbert pour zéros particules | 0 > nommé état de vide, de l’espace pour une particule | 1 >, etc. Ceci fait ressortir un des points essentiels de la théorie quantique des champs, soit la création et l’annihilation de particules. En effet, on voit que ce phénomène joue un rôle central dans la théorie, ce qui permet de remédier aux problèmes de la mécanique quantique énoncés avant. Nous arrêterons l’étude du champ de Klein-Gordon ici pour étudier un champ de grande importance, le champ de Dirac.

4.2 Champ de Dirac

Le champ de Dirac sert à décrire les particules qui obéissent au principe d’exclusion de Pauli, les fermions. Le champ quantique de Dirac est d’une grande importance pour la théorie de l’électrodynamique quantique puisqu’il permet de décrire les fermions libres. L’équation de Dirac pour une particule de masse m est :


(i   @     m) (x) = 0
(11)

sont les quatre matrices de Dirac et est un bi-spineur possédant quatre composantes. Nous allons tenter de décrire d'une manière analogue à ce qui a été fait pour le champ de Klein-Gordon la seconde quantication de l'équation de Dirac. L'équation du champ de Dirac peut être dérivée à partir de la densité Lagrangienne :

L = i (x)    @   (x)   m   (x) (x)
(12)

correspond au champ adjoint de et est défini comme . On peut aussi obtenir les champs conjugués de et par la méthode développée précédemment. On a :

(x) = i y
(13)
(x) = 0
(14)

La densité Hamiltonienne correspondant au champ de Dirac est donc :

H =    i  j (x)@j (x)+ m   (x) (x)
(15)

La solution à ce système est simple si on considère P = 0. Dans ce cas, on a quatre états propres, dont deux d'énergie positive notés u± et deux d'énergie négative notés v±. Les deux états d'énergie positive correspondent physiquement aux 2 états de spin de l'électron. De plus, les états d'énergie négatives correspondent aux états de l'antiparticule de l'électron, le positron prédit par Dirac. La solution pour P ≠ 0 prédit aussi ces quatre états, mais est un peu plus complexe.

La seconde quantification du champ de Dirac s'effectue par l'introduction des opérateurs de création et d'annihilation c±, c±, d±, d±. L'interprétation physique de ces opérateurs est a peu près la même que les opérateurs de création et d'annihilation du champ de Klein-Gordon. Les opérateurs c correspondent à l'annihilation ou la création de fermions et les opérateurs d à l'annihilation ou la création des antifermions correspondant.

La différence majeure entre le champ de Dirac et de Klein-Gordon repose sur les relations de commutation des opérateurs d'annihilation et de création. En effet, au contraire des bosons, les fermions, par le principe d'exclusion de Pauli, ne peuvent occuper le même état quantique. Ceci se traduit pour le champ de Dirac par le relations d'anticommutation suivantes pour les opérateurs de création et d'annihilation :

n     o   n    o   n     o  n     o
  cp;cq  =  dp;dq =  cyp;cyq =   dyp;dyq  = 0
(16)
n     o   n    yo   n y   o   n y yo
  cp;dq  =  cp;dq =  cp;dq  =  cp;dq  = 0
(17)
n    o   n     o
 cp;cy  =  dp;dy  =  p;q
    q         q
(18)

Ces relations d'anticommutation s'appliquent à la statistique des fermions dans le sens qu'ils empêchent d'avoir plusieurs particules dans le même état quantique. Par exemple, on peut obtenir le résultat suivant :

cycyj0i = 0j0i
(19)