L'optique vue par l'électrodynamique quantique

Concernant les applications en optique de l’électrodynamique quantique, Richard Feynman a mis au point quatre conférences dont la deuxième portait sur l’optique. Elle était intitulée Les photons : des particules du lumière. Dans son récit, il montre parfaitement que les résultats déjà admis en optique sont aisément retrouvables avec la théorie QED. Cette section du livre écrit à partir de ses prestations est remplie d’exemples importants à examiner. Voilà donc un résumé de cette deuxième conférence.

En fait, il utilise une notation simple pour expliquer des calculs qui sont effectués à l’aide d’intégrales fonctionnelles. Une section entière de notre travail porte sur ces intégrales.

D’abord, Feynman traite la lumière comme une particule et non comme une onde. Il introduit la notion selon laquelle, dans une expérience, seule la probabilité qu’un photon atteigne un détecteur est calculable. Le principe fondamental de calcul qu’il énonce est le suivant : soit la probabilité que se produise un événement quelconque. Cette probabilité est donnée par le carré de la longueur de la flèche associée à ce même événement. Cette flèche représente l’amplitude de probabilité de l’événement.

Ex: L = 0,4 → Probabilité = L2 = 0,16 = 16 %

Voici une liste des règles régissant les opérations pouvant être effectuées sur les flèches :

FIGURE 1. Règle illustrant le sens des flèches. Une réflexion par la surface avant est illustrée par une flèche de direction opposée à l’aiguille du chronomètre

En fait, ces règles sur les probabilités données par la direction et la longueur des flèches, peuvent être facilement traduites dans le langage mathématique. La direction de la flèche correspond à la phase. La longueur de la flèche correspond à l’amplitude de probabilité de l’événement qui lui est relié. On peut donc s’imaginer que chaque événement est donné par un facteur re, où r correspond à la longueur de la flèche et θ est représenté par la direction de la flèche. Pour décrire un phénomène en particulier, on somme sur tous les événements possibles. Ceci correspond donc en quelque sorte aux intégrales de Feynman.

Démonstration que l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion avec QED

Prenons un miroir et assignons des positions sur ce miroir (voir la figure 2 ci-dessous). Soit S la position de la source, P celle de la photomultiplicatrice et Q un écran servant à bloquer les photons qui pourraient aller directement de S à P sans se réfléchir sur le miroir.

FIGURE 2. Trajets lumineux possibles partant de la source S vers la photomultiplicatrice P

La lumière est réfléchie par tous les points avec la même amplitude de probabilité selon la théorie quantique. Si on ne pousse pas davantage l’analyse de cette situation, on ne peut affirmer que l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion. Il faut alors considérer le phénomène plus en détail.

En considérant chaque trajet de la figure 3, nous pouvons tracer des flèches de longueurs presque identiques car la différence des trajets entre eux n’est pas très grande. Cependant, pour assigner une direction arbitraire à chacune des flèches, il faut considérer cette même différence dans les  longueurs des trajets. Suivant la règle établie sur les directions, les flèches représentant les trajets plus longs indiquent un temps plus avancé. Un graphique illustrant ce résultat est montré à la figure 4.

FIGURE 3.Un plus grand nombre de trajets lumineux possibles partant de la source S vers la photomultiplicatrice P

FIGURE 4. Temps parcouru pour chaque trajet lumineux

Ce graphique indique clairement que  les temps les plus courts sont associés aux trajets les plus courts.

FIGURE 5. Addition des flèches donnant la flèche résultante, qui indique s’il y a eu avancement

En reliant chaque flèche bout à bout en partant du point A et en traçant la flèche résultante, on s’aperçoit qu’il y a un avancement de phase. Cette constatation est pour Feynman une façon de prouver que la lumière est bien réfléchie par le miroir et que c’est possible d’expliquer ce phénomène avec la théorie de l’électrodynamique quantique.

Maintenant, pour prouver que les angles d’incidence et de réflexion sont égaux, il s’y prend en expliquant encore plus le résultat obtenu. En effet, lorsqu’on examine toutes les flèches, on voit qu’une partie d’entre elles, les extrémités, ne contribuent pas à donner la tendance vers l’avant de la flèche résultante. Elles tournent en rond plus qu’elles n’avancent. Ce qui se produit en fait est que les contributions sur les bords du miroir s’annulent par interférence destructive due au facteur de phase. De plus, si on se réfère à la figure 3, on voit que ce sont les bords du miroir qui font cet effet, c’est là où le trajet lumineux est le plus long. Donc la portion importante du miroir qui porte au résultat final est le centre. En d’autres termes, le centre du miroir est l’endroit où le temps de parcours des photons est minimal, et c’est là que l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion.

La réfraction à la surface de séparation entre l’air et l’eau

Voyons maintenant ce qui se passe lorsque la lumière passe d’un milieu à un autre. Par exemple, lorsqu’elle passe de l’air à l’eau. Dans cette expérience, le photomultiplicateur est placé dans l’eau, comme le montre la figure 6 :

FIGURE 6.Trajets lumineux possibles passant d’un milieu différent à un autre, soit de l’air à l’eau

Supposons que nous voulions connaître la probabilité qu’un photon aille de la source au détecteur. Encore une fois, il faut dessiner tous les trajets possibles empruntés par la lumière. Tous les trajets ont, comme dans le cas précédent, tous à peu près la même longueur. La figure 7 représente la courbe qui donne pour chaque trajet le temps pour la lumière à le parcourir.

FIGURE 7. Temps parcouru pour chaque trajet lumineux

FIGURE 8.Addition des flèches donnant la flèche résultante

On voit que cette courbe est la même que celle obtenue pour la réflexion de la lumière sur un miroir. Les contributions importantes sont encore situées là où les flèches pointent dans la même direction, car c’est l’endroit où le trajet est minimal. Pour trouver exactement le trajet minimal, on se rappelle que la lumière voyage moins vite dans l’eau que dans l’air. Donc, le trajet le plus court sera celui dont la distance à parcourir dans l’eau est la plus courte. Ce trajet est celui qui correspond à la probabilité la plus élevée pour se rendre au point P.

La lumière se propage en ligne droite

Encore une fois, soit S une source et P le photomultiplicateur.

FIGURE 9.  Le dessin d’en haut représentent les trajets lumineux possibles, le dessin d’en bas à gauche montre le temps pris pour chaque trajet et le dessin en bas à droite montre la flèche résultante

Examinons les chemins possibles partant de S vers P. On voit qu’il y a des trajets beaucoup plus directs que d’autres. On a vu précédemment que ce sont les trajets les plus directs (donc les plus courts) qui contribuent essentiellement à la flèche résultante. Evidemment tous les trajets de S vers P contribuent, et à chacun est associée une probabilité. Le seul trajet D ne rend pas compte à lui seul de la probabilité de la lumière de se rendre en P, mais c’est clairement celui dont la probabilité est la plus élevée. Voici une façon d’interpréter les deux résultats précédents : tout comme au #1, dire que la lumière se propage en ligne droite est une approximation commode.

Focalisation de la lumière par une lentille

Tout comme dans l’eau, la lumière voyage moins vite dans le verre que dans l’air. Selon la figure 10 ci-dessous, ce sont encore les trajets les plus directs qui sont les plus probables. Nous allons essayer dans ce qui suit d’ajuster les trajets de manière à ralentir les photons qui empruntent les trajets les plus courts. En effet, comme ils auront à passer dans le verre, le temps mis pour atteindre P sera plus long. Il est possible de placer un morceau de verre adéquat comme le montre les dessins suivants :

FIGURE 10. Trajets lumineux possibles, temps pris par ces trajets et résultats pour un cas sans morceau de verre entre la source et la photomultiplicatrice

FIGURE 11. Trajets lumineux possibles, temps pris par ces trajets et résultats pour un cas avec un morceau de verre (lentille convergente) entre la source et la photomultiplicatrice

De cette façon, les trajets sont à peu près les mêmes, et leur contribution à la flèche finale sont pratiquement identiques. On aura reconnu que ce type de morceau de verre est une lentille convergente. Avec cette expérience, on aura réussi à obtenir une probabilité très élevée d’arriver à l’objectif, le photomultiplicateur.

Nous venons de montrer que la théorie sur l’électrodynamique quantique permet facilement de retrouver les résultats déjà établis en optique. Ce ne sont que quelques uns d’entre eux car il est aussi possible d’expliquer tous les autres phénomènes lumineux, dont la diffraction par un réseau.

Il est également possible avec cette théorie de calculer la probabilité de d’autres types d’événements, comme celle d’un événement composé en utilisant la méthode multiplication des flèches. De plus, avec cette dernière méthode, l’analyse d’un événement faisant intervenir plusieurs choses de façon indépendante et quelquefois simultanément est réalisable.