Avant d'entamer le périlleux chemin vers la compréhension des supercordes il convient de faire l'analyse du modèle le plus simple soit le modèle des cordes bosoniques. La stratégie que nous allons suivre afin d'obtenir une théorie unitaire et quantique des cordes bosoniques est la suivante (nous devons prendre note qu'elle est sensiblement la même pour les supercordes). Dans un premier temps nous ferons une analyse classique du comportement des cordes en prenant comme point de départ l'action de Nambu-Goto. Ensuite, il conviendra de rappeler les symétries du système de façon à en expliciter les courants conservés (au sens du théorème de Noether) et les contraintes auxquels le système doit se soumettre. En effet, l'avantage de la théorie des cordes est qu'elle impose des contraintes tellement élevées qu'elle élimine plusieurs paramètres libres présents dans une théorie telle que le Modèle Standard. Finalement, nous déduirons les générateurs de ces symétries et l'algèbre sous-jacente à partir des équations du mouvement.
Dans un deuxième temps nous procèderons à la quantification via une vieille approche covariante. Il s'agit, en fait, d'étudier la quantification de Gupta-Bleuler pour laquelle l'application de certaines contraintes à l'espace des états permet l'élimination des états dits « fantômes » et rendent ainsi la théorie unitaire. Bien sûr, il existe plusieurs façons d'effectuer cette quantification, mais celle de Gupta-Bleuler se révèle plus intuitive pour une première approche, et cela principalement dû aux similarités avec le modèle de l'oscillateur harmonique quantique. En effet, cette quantification permet une représentation simple de l'espace des états pour lequel on retrouve les bosons les plus communs soient les gravitons et les photons.
6.2-Quantification des cordes de Nambu-Goto
6.1.1-Retour sur l'action de Nambu-Goto et l'action de Polyakov
6.1.2-Rappel des symétries de l'action et l'invariance de Weyl
6.1.3-Choix de la jauge et équation du champ
6.1.1-Retour sur l'action de Nambu-Goto et l'action de Polyakov
Dans les sections précédentes nous avons vu que la feuille univers de la corde pouvait être paramétrisée à l'aide du couple de coordonnées
et que le vecteur
(avec
étant le nombre de dimensions de la corde) représentait l'évolution de la forme de la corde dans l'espace-temps.
Figure 6.1.1 : Paramétrisation des cordes (ouvertes et fermées)
Le fait que, contrairement à une particule ponctuelle, une corde se trouve à être un objet étendu dans le continuum espace-temps, il existe une métrique induite sur la feuille univers de la corde qui est donnée par la simple contraction des vecteurs tangents cette dernière :
; a, b = 0, 1 (6.1.1)
où
désigne la métrique plate à D dimensions de l'espace dans lequel la corde est plongée. À partir de cette métrique induite, nous avons vu qu'un élément d'aire infinitésimal sur la feuille univers peut s'écrire comme suit :
. Ainsi, par analogie avec la dynamique des particules classiques, on écrit la fonctionnelle d'action suivante :
(6.1.2)
L'action de Nambu-Goto impliquée rend compte seulement des degrés de liberté bosoniques, d'où l'appellation théorie de corde bosonique. Le terme T est la tension dans la corde, et il se définit comme suit :
tonnes (6.1.3)
((en unité de masse) d'après les physiciens)
Cette action est particulièrement importante pour le reste de l'analyse tant classique que quantique : elle possède trois types de symétries que nous allons exploiter. Par contre sous cette forme, cette action pose de sérieux problèmes lorsque viendra le temps d'effectuer la quantification car elle n'est pas quadratiques en ses champs. On peut régler ce problème en utilisant une autre forme de l'action qui se construit par l'introduction d'un champ auxiliaire :
sans degré de liberté, se trouvant à être proportionnel au tenseur métrique
de la surface bidimensionnelle de la feuille univers de la corde. Si
, on écrit alors l'action de Polyakov :
(6.1.4)
Cette action est équivalente à celle de Nambu-Goto et en fait permet de faciliter l'analyse des symétries.
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6.1.2-Rappel des symétries de l'action et l'invariance de Weyl
La première symétrie que l'on observe est directement liée au fait que l'on a choisi une métrique plate pour l'espace temps dans laquelle notre corde est plongée. Il s'agit d'une symétrie globale de Lorentz-Poincaré caractérisant l'espace temps. Formellement on peut écrire la relation suivante à savoir que la formulation de action est indépendante du référentiel de l'observateur:
(6.1.5)
où ? est une matrice de Lorentz du groupe SO(1,3) et
un quadrivecteur quelconque constant. C'est en fait une symétrie triviale de l'action découlant du fait que nous avons écrit cette dernière sous une forme covariante.
La deuxième symétrie observée est probablement celle qui est la plus importante, il s'agit de l'invariance de l'action sous la reparamétrisation de la feuille univers de la corde car l'invariant considéré dans la formulation de l'action se trouve à être l'aire de la feuille univers et il va de soit que l'aire d'une surface est indépendante de la façon dont elle paramétrée. De façon formelle on écrit ces invariants en terme de changement dans les champs que produit une reparamétrisation. On a alors :
(6.1.6)
avec
, un champ vectoriel à deux dimensions correspondant à nos nouvelles coordonnées. Cette symétrie est une symétrie de jauge locale sur la feuille univers et s'avèrera par la suite d'une grande utilité.
Une troisième symétrie vient s'ajouter aux deux autres, il s'agit de l'invariance de Weyl, qui se traduit par une capacité de pouvoir localement rééchelonner la métrique introduite dans l'action de Polyakov. On peut écrire alors :
(6.1.7)
pour une fonction arbitraire
.
Ces trois dernières symétries de l'action nous permettent d'obtenir simplement les solutions aux équations du mouvement de la corde (dans les cas ouverte et fermée) et d'expliciter l'algèbre sous jacente à cette dynamique. Cela ouvrira la voie à la quantification.
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6.1.3-Choix de la jauge et équation du champ
Nous allons maintenant obtenir les équations du mouvement pour une corde en termes de coordonnées d'oscillateurs. En observant l'action de Polyakov de plus près on remarque qu'on peut l'interpréter comme une théorie de champ en deux dimensions ou l'on retrouve D champs de matière bosoniques
couplés à la gravité. Puisque nous avons choisi une métrique plate, le tenseur stress-énergie en deux dimensions associé à la corde doit s'annuler dans les équations du mouvement. On introduit alors ce tenseur stress-énergie bidimensionnel à l'aide de la dérivée variationnelle de l'action par rapport à la métrique
:
(6.1.8)
conséquemment à l'invariance de Weyl
et à l'invariance sous reparamétrisation. Il s'agit ici d'une contrainte imposée au tenseur de stress énergie et nous devrons en tenir compte lors de la résolution des équations du mouvement. Cette contrainte est une symétrie « conforme » du système : elle annihile les états physiques. En réinsérant cette contrainte dans l'action peut éliminer la métrique induite de la feuille univers dans celle-ci et retomber alors sur l'action de Nambu-Goto. Gardons à l'esprit cette contrainte et procédons maintenant au choix de la jauge.
L'analyse de la dynamique des cordes qui va suivre se fait grâce à un choix convenable de notre jauge. Rappelons que nous avons trois symétries de jauge (deux de reparamétrisation et une d'invariance d'échelle de Weyl). On remarque également que la métrique bidimensionnelle
est elle aussi spécifiée par trois fonctions indépendantes puisqu'il s'agit d'une matrice symétrique
. On choisi alors les trois éléments indépendants de
tel que :
(6.1.9)
On appelle ce choix de jauge une jauge conforme et le facteur exponentielle est un facteur conforme. En faisant ce choix particulier, on simplifie la forme de notre action et les équations d'Euler-Lagrange, qui en découle, lorsqu'on fait varier la fonctionnelle action prennent alors la forme d'une équation d'onde à deux dimensions :
(6.1.10)
qui admet des solutions de la forme :
avec
(coordonnées du cône de lumière). Dans ces coordonnées, on exprime alors les contraintes sur le tenseur de stress énergie comme suit (ce résultat sera utile par la suite):
;
(6.1.11)
En fait, la conservation de l'énergie et des moments qui s'écrivent simplement
implique qu'il existe une infinité de quantités conservées qui en fait se retrouvent dans l'équation précédente en tant que les dérivés au carré des modes droits et gauches par rapport au paramètre de temps. Cependant, cette propriété de la jauge conforme n'émerge que lorsque qu'on a deux dimensions de l'espace-temps.
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6.1.4-Équations de mouvement et décomposition modale
Revenons alors à la solution obtenue, nous remarquerons que cette dernière est exprimée comme une somme de deux champs décrivant les modes allant vers la « droites » (D) et la « gauches » (G) de la corde. Les expressions plus techniques pour désigner les directions gauche et droite sont respectivement holomorphique et antiholomorphique. À partir de ce stade nous devons alors considérer deux types de solutions correspondant aux cas où la corde est ouverte ou fermée. Dans chaque cas les conditions aux frontières sont différentes. Pour la corde ouverte, la solution prendra la forme d'une onde stationnaire correspondant aux modes droites et gauches se réfléchissant l'un sur l'autre. Pour la corde fermée la solution correspondra à la superposition des modes droites et gauches voyageant en direction opposée autour de la corde. Alors si on exprime ces solutions en série de Fourier on a alors :
-pour la corde ouverte :
avec
(6.1.12)
-pour la corde fermée :
;
avec
(6.1.13)
Où
et
sont respectivement le moment total de la corde et la position du centre de masse. Les termes
sont les coefficients de Fourier, on peut les voir comme les coordonnées d'un oscillateur harmonique. Aussi, pour assurer que la solution est réelle on doit avoir :
,
. Les modes de ces oscillateurs satisfont les crochets de Poisson suivant :
(6.1.14)
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6.1.5- Algèbre de Virasoro
Maintenant attardons nous à certaines quantités physique particulières. Nous avons établie précédemment que les contraintes imposées au tenseur énergie-momentum engendraient une infinité de quantités conservées. Or ces dernières correspondent à une symétrie résiduelle laissée par le choix particulier de notre jauge
. Nous nous proposons alors de trouver les générateurs de ces symétries, c'est-à-dire les vecteurs de base de l'espace de groupe des transformations conformes. Nous expliciterons la démarche pour le cas le cas des cordes fermées (pour les cordes ouvertes, la méthode est similaire). Nous voulons obtenir le développement en termes de modes de Fourier de nos contraintes
. Considérons l'expression du champ antiholomorphique
pour la corde fermée, équation (6.1.12) et dérivons cette expression par rapport à
, on a alors:
(6.1.15)
où
est appelée la longueur fondamentale de la corde.
En introduisant cette expression de dans l'équation pour les composantes du tenseur stress énergie en coordonnées du cône de lumière et réorganisant les produits de séries sous forme de produits de Cauchy on peut alors écrire que :
(6.1.16)
En considérant alors cette série de Fourier et procédant alors à son inversion, on peut évaluer les composantes de Fourier du tenseur moment-énergie par la relation :
(6.1.17)
On obtient un résultat similaire pour
en utilisant
. Il s'agit des générateurs de symétries; ces modes sont appelés les opérateurs de Virasoro, et ce sont eux qui permettent les translations ou rotations en
ou
de la corde. Ils sont en fait des générateurs de transformations conformes sur un cylindre. Certaines relations sont particulièrement pratiques comme celle reliant les modes zéro et l'Hamiltonien :
;
(6.1.18)
(corde ouverte) (corde fermée)
Ce mode fondamentale ainsi que la contrainte
permet en outre l'obtention de la masse au carré de la corde en terme de modes internes de vibration. Ainsi on a que pour une corde ouverte :
constante (6.1.19)
(6.1.20)
où nous avons utilisé le fait que
(équation de Klein-Gordon) et avons ignoré la constante qui semble diverger à l'infini. Pour conclure sur ce sujet il convient de dire que pour imposer nos contraintes on doit poser que
. Utilisant les crochets de Poisson données précédemment on peut démontrer que ces modes satisfont l'algèbre de Virasoro défini par :
;
;
(6.1.21)
Ces formules jouent un rôle fondamental dans la théorie des cordes bosoniques classiques et quantique, elle permettrons par exemple de déterminer la dimension critique pour laquelle la théorie quantique de cordes bosoniques se veut d'être unitaire (absence d'état fantôme).
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6.2-Quantification des cordes de Nambu-Goto
6.2.1-Construction de l'espace des états
6.2.1-Construction de l'espace des états
Vient maintenant le temps de quantifier la théorie. Bien qu'il existe plusieurs méthodes pour se faire, dont les plus modernes ont démontrées une grande efficacité à cet effet, nous nous concentrerons sur une vieille approche covariante qui consiste en une description en termes des coordonnées
et à l'application de quelques restrictions sur l'espace des états (les contraintes de Virasoro). Nous appellerons ce formalisme la quantification de Gupta-Bleuler. En fait, à l'origine cette méthode de quantification fût développée dans le domaine de l'électrodynamique. La méthode standard pour passer de la physique classique à la physique quantique est de remplacer le crochet de Poisson par le commutateur de la manière suivante :
(6.2.1)
Dans notre cas on obtient alors les relations de commutations suivantes :
;
;
(6.2.2)
Les termes
peuvent maintenant être perçus (analogue au cas quantique de l'oscillateur harmonique) comme des opérateurs de création ou d'annihilation pour les m négatifs et positifs respectivement. On choisi comme espace des états un espace de Fock (un espace de Fock est l'espace de Hilbert construit à partir d'une somme directe ou de produits tensoriels de l'espace de Hilbert d'une seule particule), où l'état fondamental correspondant au ket
est défini comme étant annihilé par
avec m positif. Pour spécifier complètement l'état de la corde on doit ajouter un autre degré de liberté, le centre de masse de l'impulsion
, notre ket de base peut alors s'écrire comme
et l'état fondamental est alors :
. Toutefois notre étude ne se bornera qu'à des états ne nécessitant que le ket de base
;
(6.2.3)
avec
;
;
; m est positif
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6.2.2-Élimination des états «fantômes»
Pour compléter le formalisme de Gupta-Bleuler nous devons considérer les contraintes sur notre système, c'est-à-dire que nous faisons passer au rang d'opérateur les composantes
. Pour le cas de
où nous devons toutefois redéfinir la contrainte. En effet, dans l'expression pour
on retrouve une constante infinie qui se compose d'une copie de sommes infinies de chaque famille D, d'oscillateurs. On peut régulariser cette constante pour avoir une réponse finie en effectuant une translation infinie au point zéro d'énergie, rien ne l'empêche puisqu'à ce stade la masse de la particule du plus petit ordre n'est pas encore bien définie à cause de la constante divergente. Sans faire l'analyse complète du spectre des états physiques (qui d'ailleurs serait assez long) du nouvel algèbre de Virasoro que nous allons définir ci-dessous, nous posons cette constante égale à l'unité. Un état
quelconque est appelé un état physique s'il satisfait les contraintes suivante comme :
;
(6.2.4)
(corde fermée seulement)
L'algèbre engendrée inclut maintenant un terme supplémentaire de correction quantique et devient alors :
(6.2.5)
Ces contraintes permettent l'élimination des états dit «ghost» ou fantômes de la théorie, c'est-à-dire des vecteurs dans l'espace des états qui possèdent une norme négative. Ces états fantômes sont directement issus du fait que la composante temporelle de nos oscillateurs harmoniques possède une métrique négative. On engendre alors des vecteurs « ghosts » par une application d'un nombre impaire de fois de l'opérateur
sur l'état fondamental. Toutefois, à partir du terme supplémentaire introduit ci-dessus dans l'algèbre, on peut déterminer une dimension critique D pour laquelle ces états fantômes disparaissent (leur norme devient nulle). Cette dimension est égale à 26. Alors l'unitarité de la théorie exige que notre corde doit être un objet caractérisé par 25 dimensions spatiales et une de temps.
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Le point essentiel de ce modèle est qu'il permet d'obtenir les spectres des états propres de l'Hamiltonien. On remarquera que ce dernier est diagonale dans l'espace de Fock des excitations des l'oscillateurs harmoniques. Les états propres sont alors formés par tous les produits possibles de l'opérateur de création sur l'état fondamental :
États propres :
(6.2.6)
L'opérateur de création
créé une oscillation de fréquence angulaire n dans la direction
de l'espace-temps. Représentons alors pour les deux types de cordes considérées (ouverte et fermé), l'espace des états en terme de trajectoires de Regge qui consiste à tracer le moment angulaire en fonction de l'énergie au carré de la corde. On a alors les deux diagrammes suivants :
Figure 6.2.1 : Trajectoires de Regge pour une corde ouverte (en haut) et fermée (en bas)
Note :
correspond à un vecteur de polarisation à 26 composantes indépendantes
Alors, à chaque fois que l'on applique les opérateurs de création sur l'état fondamental
on engendre un nouvel état de vibration de la corde que l'on peut interpréter comme une particule bosonique. Le spectre des états d'ordres inférieurs peuvent alors être classifié comme suit :
Pour la corde ouverte :
tachyon
vecteur (spin 1) sans masse (photon)
tenseur (spin 2) massif
scalaire (spin 0) sans masse
scalaire (spin 0) avec masse
vecteur massif
Pour la corde fermée :
tachyon
tenseur (spin 2) sans masse (graviton et boson K-R)
scalaire (spin 0) sans masse (dilaton)
On remarque d'abord la présence du photon et d'une particule ayant les caractéristiques du graviton (à supposer qu'il existe). En effet, l'espace d'états de spin 2 peut se décomposer comme la somme d'un tenseur symétrique et d'un tenseur antisymétrique, les composantes du tenseur symétrique correspondant aux états de graviton. Notons la similarité entre la forme de ces deux états avec celles déduites de la seconde quantification des champs classiques. La seule différence provient en fait de la jauge choisie (ici la jauge conforme, et pour les champs classiques la jauge « light-cone »). L'avantage de ce modèle est justement d'unir ces deux bosons en un seul objet : la corde. On retrouve également une particule possédant une masse au carré négative (donc une masse imaginaire) : le tachyon, qui dans le cas présent se déplacerait à une vitesse supérieure à celle de la lumière. Le modèle prédirait donc une nouvelle particule qui violerait un postulat cher à Einstein à savoir que la vitesse de la lumière constitue une vitesse limite pour les particules. Toutefois la présence de cet état ne cause pas vraiment de problème puisque que ce genre d'état apparaît fréquemment en théorie de champ, représentant des situations où l'on retrouve dans le système une configuration instable. Dans ce qui va suivre nous verrons que nous pouvons faire disparaître cet état dans le cadre de la théorie des supercordes, mais auparavant, introduisons la nouvelle particule appelé dilaton . Sans rentrer dans les détails, cette particule a des propriétés intéressantes : il ne peut y avoir de charge de dilaton, c'est-à-dire que ce boson est indétectable, contrairement aux bosons se couplant aux cordes (comme le photon – la charge correspondante de la corde est alors la charge électrique). Le dilaton est conséquemment appelé boson de Goldstone . Cependant, il s'avère que le dilaton détermine l'intensité des constantes de couplage entre les cordes (par exemple, la constante de structure fine pour la force électromagnétique). En d'autres mots, la théorie des cordes pourrait prédire ces constantes de couplage, contrairement aux autres théories où l'intensité du couplage pour chaque force est un paramètre libre.
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6.2.4-Interactions entre les cordes
Il conviendrait bien sûr d'étendre notre analyse dans ce formalisme au cas d'interactions entre plusieurs cordes mais étant donnée que cela nécessiterait des notions très poussées en théorie de champ, il convient alors juste d'en glisser quelques mots.
En théorie de cordes il survient des interactions lorsque ces dernières se joignent ou se séparent. La probabilité de transition pour un ensemble donnée de cordes vers un autre ensemble donné de cordes peut être déterminée via une série infinie de diagrammes de Feynman, sauf qu'en théorie de corde ces diagrammes ne correspondent plus à une théorie des graphes comme en QED. Ces graphes deviennent des variétés différentiables possédant différentes topologies. La somme sur toutes les «histoires» possibles de la corde devient par exemple dans le cas d'une corde fermée une somme sur toutes les différentes surfaces connectées pouvant être déformées de façon continue dans un cylindre sans être déchirées, elles sont toutes topologiquement équivalentes à un cylindre. La feuille univers de la corde est alors considérée comme une surface de Riemann, et l'ensemble des interactions entre les cordes devient d'autant plus limité. Notons également que la théorie de corde élimine la divergence ultraviolette causée par les points singuliers de rencontre en des lignes externes des particules ponctuelles.
Figure 6.2.2: Interaction en théorie de champ (a) : une particule qui se sépare en deux. Dans la théorie des cordes (b) : une corde fermée qui se sépare en deux. Les lignes obliques représentent un référentiel Lorentzien pour deux valeurs de temps .
Figure 6.2.3 : Diagrammes de Feymann versus l'approche de la théorie des cordes où les singularités topologiques sont absentes éliminant alors la divergence UV
Un des principaux avantages de ce modèle est qu'il permet grâce au choix de notre jauge d'effectuer des transformations conformes vers le plan complexe et peut s'avérer très utile pour certains calculs d'amplitude de transition par exemple. Dans le formalisme que nous avons traité, nous avons choisi une jauge dite conforme. Notre capacité à choisir cette jauge conforme nous permet alors d'effectuer une transformation conforme avec la métrique du plan complexe puisque notre métrique
constituant le champ auxiliaire est invariante sous l'ensemble des échelles
. Alors, en faisant un changement de variable approprié il est possible de représenter une cordes comme des cercles (cordes fermées) ou de demi-cercle (cordes ouvertes) de différents rayons (correspondant au déplacement à travers le temps) dans le plan complexe. Cela est également conforme à « des trous » sur une sphère et des dents sur un disque respectivement (i.e. par projection du plan complexe infini sur une sphère, le « pôle sud » de cette sphère étant défini comme le point (0,0) et le « pôle nord » comme un regroupement des points à l'infini). Pour représenter alors de quel type de corde il s'agit on introduit un opérateur vertex (associé à chaque opérateur de création d'état) sur lequel on effectue une intégrale de parcours, cet opérateur contient l'information sur la corde, grâce à quoi on est mesure à l'aide des méthodes standards de calculer l'amplitude de transition
Il convient de noter que les états externes viennent s'attacher aux extrémités d'une corde ouverte contrairement à la corde fermée où ils peuvent s'attacher à tous les points de la surface de la corde (voir les figures ci-dessous avec P : zone d'interaction).
Figure 6.2.4 : Interaction pour une corde ouverte et fermée avec P : la zone d'interaction
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