Home Les premiers pas Force électrofaible Modèle standard Modèles unifiés Désunification Conclusion Liens et références

 

4.1 Modèle SU(5)

        4.1.1 Brisure de symétrie spontanée

        4.1.2 Désintégration du proton

4.2 Modèle SO(10)

4.3 Modèle de Pati-Salam

4.4 Modèle de trinification

4.5 Monopôles magnétiques

4.6 Technicouleur

4.7 Supersymétrie (SUSY)

        4.7.1 Unification avec la gravité

        4.7.2 Superpartenaires

        4.7.3 Parité-R

        4.7.4 Brisure de symétrie spontanée

       4.7.5 Modèle standard supersymétrique minimal

       4.7.6 Problèmes résolus

4.8 Cordes et supercordes 

        4.8.1 Modèle de Kaluza-Klein

        4.8.2 Théorie des cordes

        4.8.3 Modes de vibrations

        4.8.4 Supercordes

        4.8.5 La première révolution

        4.8.6 La seconde révolution

        4.8.7 Théorie M

 

 

4.1 Modèle SU(5)

 

    Le modèle d’unification SU(5) a été proposé en 1974 par Howard Georgi et Sheldon Glashow. Il s’agit du modèle d’unification le plus simple tenant compte des symétries du modèle standard qui a été proposé. En fait, les groupe de jauge du modèle standard SUC(3)ÄSUL(2)ÄUY(1) (où les indices signifient c : couleur, L : gauche, Y; hypercharge) sont regroupés en un seul, le SU(5). Le nouveau groupe de jauge est constitué de N2-1 =24 bosons de jauge. Douze d’entre eux sont les bosons du modèle standard, soit les 8 gluons (SUC(3)), les W+, W-, Z0 (SUL(2))et le photon (UY(1)). Les douze bosons de jauge restant permettent de transformer les quarks en leptons et les leptons en quarks et sont appelés leptoquarks. Il y a trois leptoquarks X qui ont une charge -4/3 et trois leptoquarks Y qui ont une charge -1/3. Chacun est doté d’une couleur (vert, bleu ou rouge). Les six autres bosons de jauge sont leurs antiparticules. Cependant, en transformant les quarks en lepton (et vice-versa), les nombres leptonique L et baryonique B ne sont pas conservés (toutefois, la quantité B-L est conservée).

    La représentation fondamentale du groupe SU(5) est un quintuplet :

où les indices R, B, et V désignent la couleur, rouge, bleu et vert. On y retrouve le triplet de couleur et l’isodoublet. À partir de ce quintuplet, il est possible de construire les représentations qui contiennent les fermions de première génération.

    Les bosons de jauges se situent dans la représentation adjointe, qui peut être exprimée par la matrice suivante :

 

4.1.1 Brisure de symétrie spontanée

    Ce modèle subit une brisure de symétrie (voir la section 2.4) aux énergies d’unification (environ 1015 GeV), pour se diviser en SUC(3)ÄSUL(2)ÄUY(1) du modèle standard. Cette brisure de symétrie se produit lorsqu’un champ scalaire analogue au champ de Higgs se transformant en l’adjoint de SU(5) atteint une valeur égale à la valeur moyenne dans le vide, qui est proportionnelle à l’hypercharge.

 

4.1.2 Désintégration du proton

    L’existence des leptoquarks dans ce modèle permet la désintégration du proton qui était jusqu’alors interdite. Plusieurs réactions de désintégration du proton sont possibles, dont la suivante :

    Le diagramme de Feynman de cette réaction est :

    La théorie permet de calculer la durée de vie du proton et donne environ 2 ´ 1029 années, ce qui est plus grand que l’âge estimé de l’Univers (13,7 ´ 109 années). Il est cependant tout de même possible de déterminer la demi-vie du proton expérimentalement en prenant un très grand échantillon de protons. La durée de vie du proton telle que déduite expérimentalement est supérieure à 5 ´ 1032années. Ainsi, le modèle SU(5) est exclu comme modèle d’unification des forces.

 

4.2 Modèle SO(10)

 

    Un autre modèle de théorie grandement unifiée est le groupe SO(10). Il a été proposé en 1975 par Georgi et indépendamment par Fritzsch et Minkowski. Georgi a proposé d’inclure le groupe SU(5) déjà proposé dans un groupe plus large, et donc moins contraignant. Ainsi, il y a toujours violation de la conservation du nombre baryonique, ce qui autorise la désintégration du proton. De plus, il est possible d’ajuster les paramètres du groupe SO(10) afin de prédire une durée de vie du proton plus longue. Il existe toutefois d’autres chaînes de brisure de symétrie qui ne passent pas par le groupe SU(5) de Georgi-Glashow. De plus, ce modèle permet d’inclure une génération complète de leptons et de quarks dans une représentation irréductible unique, ce qui n’était pas possible avec le modèle de Georgi-Glashow. Puisqu’il contient des neutrinos de chiralité droite, il devient également possible de donner une masse au neutrino. Cependant, un défaut de ce modèle est qu’il réduit peu le nombre de paramètres libres par rapport au modèle standard, ce qui doit être une des qualités d’une théorie grandement unifiée.

 

4.3 Modèle de Pati-Salam

 

    Ce modèle est un modèle partiellement unifié proposé par Jogesh Pati et Abdus Salam. Il est basé sur une symétrie gauche-droite. Ainsi, le groupe de jauge est SUV(4)ÄSU(2)LÄ SU(2)R où SU(2)L et SU(2)R sont les groupe de symétrie de chiralité gauche et droite respectivement. En considérant le nombre leptonique comme étant une quatrième couleur, soit lilas (l), il permet de réintroduire une symétrie quark-lepton. On retrouve les fermions dans la représentation fondamentale 4 :

    Cependant, les groupes SU(N) possèdent N2-1 bosons de jauge. Le groupe SU(4) en contient donc 15, dont le huit gluons. Les autres bosons sont trois leptoquarks de couleurs ayant une charge Q=-2/3 et leurs antiparticules, ainsi qu’un boson neutre massif. Donc, la désintégration du proton est possible, mais puisqu’elle viole la conservation du nombre baryonique, elle est fortement brimée, ce qui explique la longue durée de vie du proton.

 

4.4 Modèle de trinification

 

    Le modèle de trinification est basé sur les groupes de jauges SU(3)CÄSU(3)LÄSU(3)R. Il postule que les fermions forment trois familles. De plus, il englobe le concept de neutrinos de chilarité droite, dont on connaît maintenant l’existence. Il comprend également un champ de Higgs qui, à la valeur moyenne du vide, cause une brisure de symétrie spontanée de SU(3)LÄSU(3)R en SUL(2)ÄUY(1), ce qui nous redonne le modèle standard.

 

4.5 Monopôles magnétiques

 

    Il est intéressant de noter que les théories grandement unifiées prédisent l’existence de monopôles magnétiques. Il s’agit de particules non chargées électriquement qui porteraient cependant une charge magnétique. Les monopôles magnétiques furent d’abord proposés par Dirac en 1931 afin d’expliquer la quantification de la charge électrique. En effet, le monopôle induirait un champ magnétique radial de la forme :

où g est la charge magnétique. Ainsi, les équations de Maxwell seraient symétriques pour les champs électrique et magnétique, ce qui conduirait à

    La masse du monopôle étant évaluée à 1016 GeV, il est trop massif pour être produit dans les accélérateurs actuels. Cependant, un flux constant devrait atteindre la Terre, et ils n’ont toujours pas été détectés. À moins de tenir compte des théories inflationnistes en cosmologie, qui permettraient alors de réduire considérablement les prédictions théoriques sur le nombre de monopôles frappant le Terre, l’absence des monopôles magnétiques constitue un point défavorable aux théories grandement unifiées.

 

4.6 Technicouleur

 

    La technicouleur a été proposée  pour expliquer la brisure de symétrie électrofaible en l’absence du boson de Higgs prédit par le modèle standard. Elle s’inspire de la chromodynamique quantique pour introduire une interaction de jauge SUTC(N) à des énergies mille fois plus élevées que celles de la chromodynamique quantique. On introduit également une nouvelle particule qui est un état lié de deux fermions et qui joue le rôle du Higgs, le technifermion. Celui-ci se retrouve dans les doublets et singulets d’interaction faible et dans les multiplets de technicouleur. Cependant, les technifermions ne doivent pas avoir de masse, pour des questions de renormalisabilité et on doit également introduire des bosons dits de technicouleur étendus. La brisure de symétrie électrofaible n’est pas spontanée dans cette théorie, elle est plutôt induite par une théorie de jauge fortement couplée qui contient uniquement des fermions. De plus, cette théorie ne possède pas de scalaires fondamentaux, et les scalaires qu’on y trouve sont nommés technimésons, soit des états liés de paires fermion-antifermion. Cependant, cette théorie a été laissée de côté, car ses prédictions étaient vérifiables et n’ont pas été observées, et les modifications subséquentes pour enrayer ces divergences la rendaient complexe, alors qu’on souhaite trouver un modèle simple.

 

4.7 Supersymétrie (SUSY)

 

    La supersymétrie est une extension du modèle standard. Elle permet de considérer les mêmes champs fondamentaux, mais avec de nouvelle interaction. Il est à noter que la supersymétrie, c’est-à-dire une symétrie fermions-bosons, n’est qu’un modèle théorique et n’a pas été observée dans la nature.

 

4.7.1 Unification avec la gravité

    La supersymétrie tente de réconcilier le modèle standard avec la gravité. Pour cela, il faut introduire le concept de gravité quantique, car c’est la seule force de la nature qui n’est pas quantifiée, selon nos observations. On suppose qu’à des échelles de l’ordre de la longueur de Planck, lp = 10-33 cm, qui correspond à des énergies de 1019 GeV, des effets quantiques peuvent être introduits dans la gravitation. Pour être cohérents avec les modes d’interaction établis pour les trois autres forces, on introduit une particule échangée lors de ces interactions, le graviton. Le graviton est considéré comme une fluctuation quantique de la métrique de la relativité générale. Lorsqu’on considère la supersymétrie locale, on incorpore sans problème les fluctuations de la métrique. Il est intéressant de noter que c’est le spin de la particule d’échange qui détermine la nature de la force entre les particules. Les types de force associés à chaque spin sont décrites dans le tableau suivant:

Spin de la particule d’échange

  Force entre les particules

0

attractive

1

répulsive

2

attractive

n/2

aucune

>2

aucune

 

    L’algèbre de la supersymétrie contient des commutateurs et des anti-commutateurs, ce qui permet de traiter à la fois les gravitons de spin 2 et les autres bosons de jauge de spin 1. Soit Q un générateur de l’algèbre de supersymétrie, alors : 

    L’opérateur Q a pour effet de changer le spin en le diminuant de ½. En effet, si on écrit une transformation supersymétrique :

où f est un champ fermionique, B, un champ bosonique et e un paramètre de transformation infinitésimal, et si on utilise les relations de commutativité et d’anti-commutativité sur les bosons et fermions respectivement,

on obtient que , ce qui signifie que les générateurs de la supersymétrie sont fermioniques et donc changent le spin d’un demi-entier. De plus, l’application successive de deux transformations supersymétriques correspond à une translation locale.

    L’algèbre de la supersymétrie est en fait une généralisation de l’algèbre de Poincaré. La relation primordiale de la supersymétrie s’exprime en termes de l’anti-commutateur des générateurs de spin :

s représente les matrices de Pauli et Pm est le quadrivecteur impulsion.

    Une propriété intrinsèque de la supersymétrie est que le nombre total de bosons est égal au nombre total de fermions.

 

4.7.2 Superpartenaires

    Les nouvelles particules associées sont appelées « superpartenaires ». Elles sont identiques à leur partenaire sauf pour le spin, qui est inférieur par ½. Les superpartenaires sont désignés par un ~ au-dessus du symbole et leur nom est crée en ajoutant un s devant pour les fermions ou en ajutant le suffixe –ino pour les bosons. On explique le fait qu’aucun superpartenaire n’a été observé en supposant que la supersymétrie n’est pas une symétrie exacte et que les superpartenaires sont beaucoup plus massifs, de l’ordre de 100 à 1000 GeV, et que les accélérateurs actuels ne sont pas assez puissants pour nous permettre de les observer. En réalité, la supersymétrie ne prédit pas la masse des superpartenaires, mais trois arguments sont évoqués pour expliquer la prédiction. Tout d’abord, la supersymétrie permet un adoucissement des singularités de courte distance du champ quantique. Si l’adoucissement est suffisant pour permettre la brisure de symétrie électrofaible (SU(2) Ä U(1)) par le mécanisme de Higgs aux énergies de 300 GeV, alors la brisure de la supersymétrie doit être aux mêmes énergies. Ensuite, la supersymétrie avec des superpartenaires de masses de l’ordre de 100 à 1000 GeV permet l’unification de la force nucléaire forte avec la force électrofaible à très haute énergie (environ 1016 GeV), ce qui ne fonctionnerait pas avec seulement les particules connues actuellement. Finalement, le troisième argument concerne l’hypothèse qui suggère que la particule la plus légère engendrée par la supersymétrie constituerait la matière sombre de l’univers, et pour obtenir la masse attendue, il faut encore une fois être dans l’intervalle de 100 à 1000 GeV. Le nouvel accélérateur Large Hadron Collider construit à Genève (CERN), dont le lancement est prévu pour 2007, avec des énergies de 7000 GeV permettra peut-être de découvrir l’existence des superpartenaires.

4.7.3 Parité-R

    Un nouveau nombre quantique est introduit pour distinguer les superpartenaires. Il s’agit de la parité R. On assigne un parité R = +1 aux particules du modèle standard, tandis que les superpartenaires on une parité R = -1. Lors de réactions, le produit des paritées R doit être conservé, ce qui implique trois choses. Tout d’abord, si on tente de produire des superpartenaires à partir de particules normales, ils seront produits en paires. Ensuite, la désintégration d’une particules supersymétrique implique toujours une autre particule supersymétrique dans les produits de la réaction. Finalement, de cette deuxième affirmation en découle une troisième : il existe un superpartenaire de masse minimale stable, car il ne peut pas se désintégrer à cause de la conservation de la parité R. Donc, cette particule doit s’accumuler depuis la création de l’Univers. On suppose que c’est un constituant de la matière sombre. Or, comme il doit être abondant et qu’il n’a jamais été détecté, il doit s’agir d’une particule neutre qui interagit faiblement avec la matière. On suppose donc qu’il s’agit du photino. Si on parvient à produire des réactions avec des superpartenaires, avec des accélérateurs à très haute énergie, on pourra observer la présence du photino par un manque d’énergie dans la réaction.

 

4.7.4 Brisure de symétrie spontanée

    Afin d’expliquer l’absence des superpartenaires aux énergies actuelles, il faut qu’il y ait brisure de symétrie (voir section 2.4), autrement, les masses d’un supermultiplet sont dégénérées et les masses devraient être identiques à celles des fermions et bosons connus. Afin de conserver la propriété selon laquelle les divergences quadratiques s’annulent, la brisure doit être spontanée. Or, cela se produit si et seulement si le minimum d’énergie potentielle est positif. Or, ce n’est pas le cas du potentiel du champ de Higgs. La brisure de symétrie ne peut donc pas être le résultat du mécanisme de Higgs.

 

4.7.5 Modèle standard supersymétrique minimal

    Puisque le modèle standard possède 28 degrés de libertés bosoniques et 96 degrés de liberté fermioniques (dans le cas d’un neutrino possédant une masse), il faut introduire de nouvelles particules pour le rendre supersymétrique. Ce faisant, on introduit de nouveaux bosons pour les associer aux fermions connus et de nouveaux fermions pour les associer aux bosons connus. Il n’y a pas de particules connues qui sont les superpartenaires des autres. De plus, on ajoute un deuxième champ de Higgs. Cependant, on conserve le groupe de jauge du modèle standard, soit SUC(3)ÄSUL(2)ÄUY(1).

 

4.7.6 Problèmes résolus

    La supersymétrie permet de résoudre plusieurs problèmes du modèle standard. Tout d’abord, elle permet d’enrayer les divergences ultraviolettes. En effet, les termes de divergence quadratique s’annulent dans l’algèbre de ce modèle. Ainsi, elle permet également de solutionner le problème de hiérarchie des théories grandement unifiées. Finalement, elle est intégrable, ce qui permet une solution non perturbative exacte.

 

4.8 Cordes et supercordes

 

    Les fondements de la théorie des cordes prirent forme en 1968, alors que Veneziano suggéra que l’interaction forte était modélisée par des cordes reliant les particules. Lorsque les particules sont rapprochées, il faut se figurer qu’il n’y a pas de tension dans la corde, qu’il n’y a donc pas de force apparente entre les particules. Lorsque les particules s’éloignent, la corde se tend, ce qui mène à de l’interaction entre les particules. Si la corde se brise, il y a de l’énergie libérée qui est ensuite utilisée pour créer une paire quark et anti-quark aux extrémités libres de la corde. Cependant, cette théorie est tombée dans la désuétude avec l’apparition de la chromodynamique quantique en 1973.

 

4.8.1 Modèle de Kaluza-Klein

    Kaluza et Klein proposèrent un modèle comportant 5 dimensions. Cette conception semble contre-intuitive pour l’esprit humain qui ne perçoit que 3 dimensions spatiales. Pour expliquer la présence d’une quatrième dimension spatiale qui nous est imperceptible, ils suggérèrent que la cinquième dimension était de dimension de l’ordre de la longueur de Planck, soit environ 10-33cm, donc grandement inférieures aux dimensions expérimentalement observables. Puis, cette dimension est compactifiée, ce qui signifie qu’elle est enroulée sur elle-même avec un diamètre très petit, la rendant imperceptible à nos sens. L’introduction de cette cinquième dimension entraîne une propriété très intéressante. En effet, si l’on compactifie la relativité générale en cinq dimensions, on obtient la relativité générale à quatre dimensions qui nous est familière, ainsi que les équations Maxwell qui décrivent l’électromagnétisme.

 

4.8.2 Théorie des cordes

    La théorie des cordes à proprement parler a vu le jour dans les années soixante-dix. À l’essence, la théorie propose de considérer les particules non pas comme des objets ponctuels, mais plutôt de les modéliser comme des cordes à une dimension. Cela a pour effet d’enrayer les divergences ultraviolettes qui naissaient de la nature ponctuelle des particules, ce qui constituait un défaut des autres théories grandement unifiées. Ces cordes peuvent être ouvertes ou se refermer sur elles-mêmes. Lorsqu’elles se déplacent dans l’espace, elles balaient une surface. De la même façon, les diagrammes de Feynman sont aussi constitués de surfaces, ce qui fait disparaître la « rupture » de trajectoire des particules, qui sont à l’origine des divergences. Cette théorie requiert 26 dimensions, soit 25 d’espace et une de temps. On compactifie les 22 dimensions supplémentaires à notre perception de la même façon qu’avec le modèle de Kaluza-Klein. De plus, toutes les interactions sont expliquées avec un seul processus, celui de la jonction de deux cordes en une seule. Tout s’explique avec ce seul procédé ou son inverse.

 

4.8.3 Modes de vibrations

    Les modes de vibration représentent chacun une particule distincte. Le mode le plus simple est associé à une particule de spin 1 appelée le tachyon. Or la masse de celui-ci est imaginaire. La prédiction théorique d’une particule de masse imaginaire constitue un défaut de la théorie des cordes. Le second mode le plus simple est associé à une particule de spin 2 et de masse nulle. On retrouve donc le graviton de la gravité quantique, ce qui fait de la théorie des cordes une théorie unifiant naturellement la gravité et les théories quantiques. De plus, une corde fermée possède une hélicité qui dépend du sens de propagation des vibrations. Si les vibrations se propagent dans le sens horaire, l’hélicité est gauche et elle est droite dans le sens anti-horaire. 

    Les conditions aux limite des cordes sont imposées par ce qu’on appelle des D-Branes. L’ensemble des D-Branes possiblies pour une corde donnes le nombre d’états possibles. Elles peuvent être en plusieurs dimensions, d’où le D. Voici un exemple de 2D-Brane :

    Les D-Branes portent une charge électrique et ont des interactions avec les champs de jauge tensoriels de dimension D+1.

 

4.8.4 Supercordes

    La théorie des supercordes est une extension de la théorie des cordes qui comprend la supersymétrie. Elle permet d’éliminer le problème des tachyons de la théorie des cordes, qui disparaissent sous l’annulation des énergies minimales des fermions et des bosons. Cette nouvelle théorie ne comprend plus que 10 dimensions.

 

4.8.5 La première révolution

    Ce qu’on désigne comme étant la première révolution de la théorie des supercordes est qu’il est erroné de parler de la théorie des supercordes, car il en existe cinq principales, soit celles de type I, de type IIA, de type IIB, les cordes hétérotiques E8ÄE8 (HE) et les cordes hétérotiques SO(32) (HO). Les caractéristiques principales de ces théories sont :

 

Type I :    Les cordes peuvent être fermées ou ouvertes, on considère une théorie de jauge SO(32) et elle viole la parité.

Type IIA : Les cordes sont fermées, il n’y a pas de théorie de jauge et la parité est conservée

Type IIB : Les cordes sont fermées, il n’y a pas de théorie de jauge et la parité est violée

HE :         Les cordes sont fermées, on considère une théorie de jauge E8ÄE8 et la parité est violée

HO :         Les cordes sont fermées, on considère une théorie de jauge SO(32) et la parité est violée

 

    Une particularité du modèle hétérotique est que les degrés de liberté horaires correspondent à des supercordes, alors que les degrés de liberté anti-horaire correspondent à ceux d’une corde bosonique, c’est-à-dire une corde normale.

 

4.8.6 La seconde révolution

    La seconde révolution consiste en la réunification des cinq modèles grâce aux dualités S et T. La dualité S relie les modèles de couplage fort avec ceux de couplage faible.

    Ainsi, les théories de type I et HO sont reliées entre elles, et le modèle de type IIB est relié à lui-même. La dualité T, quant à elle, relie les modèles ayant un faible rayon de compactification avec celles ayant un grand rayon de compactification. Les théories de type IIA et IIB sont ainsi reliées, ainsi que celles HE et HO.

 

4.8.7 Théorie M

    Une nouvelle avenue est explorée découlant de la théorie des cordes, celle de la théorie M. Dans cette théorie, au lieu de considérer des cordes, on considère des membranes. Cette théorie possède onze dimensions, ce qui correspond aux dimensions requises par la supergravité. Elle combine les théories de type IIA et HE des supercordes. Cependant, elle n’a pas encore été étudiée à son plein potentiel.

 

 

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