3. Parenthèse sur les théories de champ quantiques et la renormalisation

 

 

Les champs décrits dans la page précédente et dans ma section sur l'approche Lagrangienne sont essentiellement des champs classiques.  Les véritables théories Yang-Mills s’appliquent à des champs quantiques.  Mathématiquement, il y a la différence essentielle que les variables A et ψ, qui ici prennent leurs valeurs dans de simples espaces vectoriels de dimension finie deviennent alors des opérateurs.  En chaque point x de l’espace, ces opérateurs A(x) agissent sur un espace d’une taille comparable à celle des espaces utilisés en mécanique quantique « élémentaire ».

 

Par exemple, en électrodynamique quantique libre, non couplée à la matière, chaque solution harmonique du champ classique de Maxwell peut être vue comme associée à un oscillateur harmonique quantique (dont les niveaux d’énergie discrets, (n+1/2) hν, sont associés chacun à un nombre défini n de photons). Pour un champ de fermions on peut associer à chaque solution classique un espace à deux états, « occupé » et « inoccupé », sur lequel agissent des analogues des matrices de Pauli, mais de façon équivalente en pratique on considère  aussi l'algèbre tensorielle antisymétrique de l'espace d'état original, c'est à dire l'espace engendré par les fonctions d'onde de plusieurs particules et qui changent de signe sous permutation de deux d'entre eux.  Les degrés de liberté d’un champ quantique sont donc extrêmement nombreux et on peut facilement imaginer à quel point il peut être difficile de solutionner directement ces équations. On emploie plutôt des méthodes itératives (perturbatives), comme celle des diagrammes de Feynman.

 

Abrégé de QED

 

            Le concept de base avec les diagrammes de Feynman pour décrire l’interaction électromagnétique entre les photons et la matière est la notion de particule (qui n'est pas si fondamentale en théorie des champs, mais seulement une interprétation des excitations du champ), et l'idée que l'on peut décrire avec une précision pertinente (fort pertinente en fait, parfois plus de 7 à 10 chiffres significatifs) un phénomène en ne considérant qu'un nombre restreint d'interactions entre un nombre restreint de particules libres.

 

En QED, chaque sommet d’un diagramme de Feynman multiplie l’amplitude de l'élément de matrice de transition associé au processus par un facteur proportionnel à la constante de couplage électromagnétique, α ≈ 1/137 (sans dimensions).  Il est donc raisonnable de ne considérer, en approximation, que les diagrammes impliquant un faible nombre de sommets (i.e. peu d'échanges de photons).  Le but est de calculer les éléments de la matrice de transition « S », qui est l'opérateur reliant le système entre les état initiaux et les état finaux; la probabilité qu'une transition se produise est proportionnelle au carré de la norme de l'élément de matrice associé:

 

|Sij|2 = |i|S|ψj>|2

 

À chaque diagramme de Feynman est associé une amplitude, et en faisant une somme sur tous les diagrammes possibles on obtient l'amplitude totale; il est à remarquer que des interférences entre les différents diagrammes sont possibles.  Pour des diagrammes sans boucles, dit « arbres », il est commode d'associer un terme aux sommets et aux lignes internes du diagramme; l'amplitude est le produit de ces termes (et des amplitudes des fonctions d'onde initiales et finales).

 

Où q = p1-p3 = p4-p2 est le transfert d'énergie-momentum.

 

Le terme -igμν/q2 s'appelle le propagateur du photon; il est relié à l'opérateur différentiel du champ de Maxwell:

 

    ∂μ ( ∂μAν - νAμ) = Jν

 

C'est d'une certaine façon son inverse: dans la jauge de Lorentz, définie par ∂μAμ = 0, l'équation précédente prend la forme:

 

    ∂μμAν = Jν

 

Ou, en représentation momentum (transformée de Fourier):

 

    (pμpμ)Aν (p)= -Jν (p)

 

--- Aμ = -gμν Jν /p2

 

Dans le cas ou les particules sont considérées comme des ondes planes, seule une fréquence est présente dans le courant J : c'est la différence des fréquences des ondes incidentes et finales, ce qui correspond au transfert d'énergie-momentum q par le photon.  Un photon s'échappant à l'infini a toujours sa « norme » q2 nulle: il a une masse nulle. On voit qu'en général plus le transfert q2 est petit plus le processus est probable; mais les interactions avec q2 ≠ 0 jouent un rôle très important dans la théorie.  Elles se manifestent surtout à courtes distances et on dit que ces photons sont virtuels.   Les facteurs i aux sommets accentuent le fait que les courants sont liés aux générateurs infinitésimaux d'une représentation unitaire d'un groupe; dans une théorie de jauge, les bosons d'échange sont chacun associés à un générateur du groupe, de la même façon que le sont les courants.

 

Invariance de jauge

 

Avec cette méthode, il s'avère nécessaire pour inverser l'opérateur différentiel associé au champ de Maxwell,

 

    ∂μ ( ∂μAν - νAμ) = Jν

 

de fixer un choix de jauge par une relation algébrique, par exemple ∂μAμ= 0, sinon l'opérateur différentiel n'a pas d'inverse bien défini.  Notons que même encore, l'inverse de l'opérateur n'est pas uniquement défini car on peut toujours ajouter à A une solution de l'équation homogène (Jν= 0); cela ne cause par contre pas de problème, c'est plus une question de « condition aux frontières ».  Mais le point important est que le propagateur dépend de la relation choisie, et l'invariance de la théorie sous les différents choix possibles peut sembler douteuse; la forme simple du propagateur utilisé plus haut, -igμν/q2, est un cas extrême très particulier; dans une jauge générale, il peut être tout simplement impossible de représenter le propagateur sous forme fermée.

 

    Du point de vue de la théorie de champ, sous-jacente à la méthode perturbative, fixer une jauge par une condition algébrique n'est pas trivial.  En fait, A en chaque point est un opérateur, et il s'avère que l'opérateur associé à un choix de jauge, par exemple ∂μAμ, ne commute tout simplement pas avec A. On ne peut donc pas identifier cet opérateur à l'opérateur nul.  On peut contourner le problème en définissant cette condition comme une condition que doit satisfaire tous les vecteurs de l'espace d'état sur lequel A agit : (∂μAμ)ψ = 0.  En d'autres termes, on introduit le choix de jauge comme une restriction de l'espace d'état sur lequel on travaille, une équation que ces vecteurs doivent satisfaire. Il faut ensuite s'assurer que les véritables observables physiques laissent ce sous-espace invariant par leur action. La démonstration que les résultats physiques de la théorie sont biens invariants par rapport au choix d'une jauge n'a rien d'évident.

 

    Cette démonstration existe, et fut notamment faite au passage par  't Hooft et Veltman en 1971, pour toute théorie de jauge, dans le cadre de leur démonstration que toutes les théories de champ quantiques basées sur des théories de jauge sont renormalisables.

 

 

La renormalisation

 

    Les règles survolées plus haut concernant la formulation mathématique de diagrammes de Feynman sans boucles ne sont applicables qu'aux diagrammes sans boucles. À partir de la théorie de champ sous jacente, il est possible de construire un algorithme général pour connaître la contribution d'un diagramme de Feynman quelconque. Mais le calcul naïf de ces contributions donne en général des intégrales qui divergent!  La théorie dans cet état n'a donc aucun sens.

 

    Ce qui se produit est souvent (du moins partiellement) interprété comme un phénomène de polarisation du vide; en fait une particule est considérée non comme un point émettant de temps à autre des photons en interagissant, mais comme continuellement en train d'émettre et de réabsorber des photons virtuels, sur toute la gamme possible de leur masse. La particule est en quelque sorte entourée d'un nuage de photons virtuels, prêts à interagir avec ce qui s'approche.  Mais ces photons virtuels (le mot virtuel signifie plus qu'ils ont une masse et une courte durée de vie que de dire qu'ils ne sont pas vraiment là) ont tendance à créer des paires d'électrons-positrons virtuelles; c'est ce qu'on appelle la self-énergie du photon.  Dans le champ présent autour d'un électron, ces paires ont tendance à s'aligner comme des dipôles, le positron étant plus près de l'électron que son électron ne l'est; cela a l'effet de masquer la charge de l'électron.

 

    Il s'agit de réaliser que la masse et la charge des objets ponctuels eux-mêmes ne sont pas directement observables, mais ce qu'on observe en fait est la masse effective et la charge effective du « nuage » de particule virtuelles.  L'idée est alors de s'arranger, à tous les ordres de perturbation en α, pour construire une théorie qui va mener aux bonnes valeurs observables.  Si on voulait définir la masse d'un « électron nu », cette masse serait infinie; sa charge aussi.  Il faut donc faire tous les calculs en fonction de la masse effective qui s'obtient de la théorie, et non de la masse qui apparaît directement dans les équations de champ.

 

    On dit que QED est renormalisable parce qu'il suffit de deux paramètres expérimentaux, la masse et la charge, pour définir une façon saine de traiter tous les diagrammes de Feynman qu'on est susceptible de rencontrer.  Dans une théorie non-renormalisable, de nouveaux types de divergences apparaissent à tous les ordres et il faudrait définir une infinité de paramètres expérimentaux pour obtenir une véritable théorie cohérente.  Cela annihile le pouvoir prédictif de la théorie en question, quand il devient question de traiter des ordres de perturbation supérieurs.

 

    Comme on l'a mentionné plus haut, une caractéristique importante, et profonde, des théories de jauge (dans des espaces rigides du moins) est qu'elles sont renormalisables.

 

 

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