Les outils de base de la physique des particules

Chapitre 1) Mécanique quantique relativiste et théorie quantique des champs

1. Historique

               1.1 Première quantification

               1.2 Deuxième quantification

2. Mécanique quantique relativiste

               2.1 Équation de Klein-Gordon

               2.2 Équation de Dirac

3. Théorie quantique des champs

               3.1 Quantification des champs

               3.2 Aperçu du champ de Klein-Gordon

4. Conclusion

5. Références


1) Mécanique quantique relativiste et théorie quantique des champs :

1. Historique :

Les outils de base de la physique des particules, soient la mécanique quantique relativiste et la théorie quantique des champs, sont apparus suite aux développements de la physique quantique. C’est au début du 20ième siècle que celle-ci a commencé avec les travaux de Planck sur le rayonnement des corps noirs et d’Einstein sur l’effet photoélectrique. Après quelques années de développement, la vieille physique quantique fut abandonnée au profit de la mécanique ondulatoire de Schrödinger (1926) et de la mécanique des matrices d’Heisenberg (1927), deux formulations d’une seule et même physique, la mécanique quantique. Il s’agit en fait de la première quantification, c’est-à-dire que les entités physiques telles la position et la quantité de mouvement obtenaient le statut d’opérateurs agissant sur des états d’un certain espace vectoriel, l’espace d’Hilbert. Cependant, la mécanique quantique ne satisfaisait pas aux principes de la relativité restreinte d’Einstein, principe énoncé au début du siècle. Il fallait donc faire un autre pas vers une physique plus générale et plus complète qui obéirait à toutes les évidences expérimentales. Par conséquent, pour satisfaire à la covariance, principe découlant de la relativité restreinte d’Einstein, les physiciens ont développé de nouvelles théories. La mécanique quantique relativiste a ainsi débuté avec l’arrivée de l’équation de Klein-Gordon. Malheureusement, il y avait encore quelques problèmes reliés à celle-ci et Dirac, en 1928, introduit l’équation qui porte son nom. Cependant, les physiciens faisant toujours face à d’autres problèmes, ils ont dû développer la théorie quantique des champs, dans laquelle la seconde quantification, où les champs obtenaient le statut d’opérateurs (contrairement à la position et la quantité de mouvement pour la première quantification), prend toute son importance.

À partir de ces nouveaux formalismes (mécanique quantique relativiste et théorie quantique des champs), les physiciens ont été en mesure d’expliquer bon nombre de phénomènes en physique des particules, pour ce qui est des sections efficaces et des temps de vie des particules, en plus d’être en mesure de prédire l’existence de plusieurs particules inconnues avec un certain accord pour leur masse. De plus, à partir de la théorie quantique des champs, il a été possible de développer l’électrodynamique quantique (QED) (Feynman) et la chromodynamique quantique (QCD), théories précurseurs à l’unification des quatre forces fondamentales (force électromagnétique, interaction faible, interaction forte, et force gravitationnelle) comme la supersymétrie, la théorie des supercordes et la gravité quantique.

La première partie de ce travail développera les fondements mathématiques permettant d’étudier la physique des particules. Le travail se concentrera par la suite sur un sujet en particulier, les quarks.


2. Mécanique quantique relativiste :

2.1 Équation de Klein-Gordon :

L’équation de base de la mécanique quantique est l’équation de Schrödinger, c’est-à-dire :

Cependant, on sait que la vitesse de la lumière doit être invariante dans tous les référentiels inertiels, c’est-à-dire au repos ou se déplaçant à vitesse constante les uns par rapport aux autres. Cette loi, que l’on peut généraliser dans le cadre de la relativité restreinte par la loi de covariance, n’est pas respectée par l’équation de base de la mécanique quantique. En effet, selon la relativité restreinte, l’intervalle, défini par Ds2 = (cDt)2-Dx2- Dy2-Dz2 et la norme au carré du quadri-vecteur d’énergie-impulsion pmpm = (E/c)2-p2 = m2c2, doivent être les mêmes dans tous les référentiels inertiels. À partir de l’équation de Schrödinger, on note que l’opérateur du côté gauche de l’équation, représentant l’énergie, et l’opérateur du côté droit de l’équation, représentant la quantité de mouvement au carré, ne se transforment pas de la même façon que le quadri-vecteur d’énergie-impulsion.

On constate donc que l’équation de Schrödinger utilisée en mécanique quantique ne respecte pas la covariance. En se basant directement sur celle-ci, la façon la plus simple d’obtenir une équation respectant toutes les exigences de la relativité restreinte est de partir des invariants de Lorentz. En effet, puisque selon la relativité restreinte, on a :

On peut, en utilisant les opérateurs associés à la quantité de mouvement et à l’énergie, trouver l’équation suivante :

Qui correspond à l’équation classique d’une onde,

Avec

Cette équation est connue sous le nom d’équation de Klein-Gordon. Cependant, elle n’est plus du premier ordre selon les dérivées en fonction du temps, comme l’équation de Schrödinger, ce qui amène une complication que nous allons discuter plus tard. On constate également que l’on aurait pu éliminer cette dérivée seconde en temps en prenant la racine de la norme au carré du quadri-vecteur énergie-impulsion,

Malheureusement, nous sommes immédiatement arrêtés par l’interprétation de la racine d’un opérateur, ce qui nous oblige à rejeter cette équation et revenir à l’équation de Klein-Gordon. De plus, cette technique aurait mené à deux équations, où l’une est définie avec des énergies positives, et l’autre avec des énergies négatives. L’équation avec des énergies négatives, n’est pas, à première vue, facilement interprétable. Cependant, en considérant ces solutions comme des manifestations réellement physiques, les antiparticules, ce résultat devient bien en accord avec l’expérimentation. Nous en discuterons plus tard à partir de l’équation de Dirac.

Revenons maintenant à l’interprétation de la seconde dérivée en temps. Puisque l’équation de Klein-Gordon est une version "améliorée" de l’équation de Schrödinger, sur laquelle l’interprétation probabiliste (dans la théorie non relativiste) est basée, on doit, comme pour l’équation de Schrödinger, pouvoir construire une densité de probabilité à partir de l’équation de Klein-Gordon. En utilisant la même méthode que celle utilisée en mécanique quantique, c’est-à-dire en multipliant y* par l’équation d’onde et en soustrayant y multiplié par l’équation d’onde conjuguée, on obtient :

Ce qui nous amène à l’équation de continuité suivante :

Que l’on peut exprimer comme :

On obtiendrait donc une densité de probabilité :

Mais celle-ci n’est pas définie positive.

On est par conséquent en contradiction avec la définition d’une densité de probabilité. Dû à ce problème, Dirac a recherché une façon de modifier l’équation de Klein-Gordon pour obtenir une équation contenant une dérivée du premier ordre en temps, comme l’équation de Schrödinger, tout en respectant la covariance du point de vue de la relativité restreinte.

2.2 Équation de Dirac :

Dû à l’impossibilité de construire une densité de probabilité définie positive à partir de l’équation de Klein-Gordon, les physiciens ont cherché à obtenir une équation du premier ordre selon les dérivées en temps et qui respecte l’invariance de Lorentz, et ce, en partant de l’équation de Klein-Gordon. Ce développement, dû à Dirac, a été fait en 1928. La première étape consiste à poser un hamiltonien linéaire dans les dérivées temporelles. Il est normal de croire que la dépendance de l’hamiltonien selon les dérivées spatiales sera également linéaire. Avec ces considérations, on obtient l’équation suivante :

Cependant, puisque cette équation doit être invariante selon les rotations spatiales, il est impossible que les coefficients ai et b soient des scalaires. Ils doivent donc être des matrices, ce qui nous obligent à introduire une fonction d’onde vectorielle.

Et pour être consistant avec ces limitations, Dirac proposa que l’équation soit considérée comme une équation matricielle de la forme :

Avec des matrices ai et b constantes. On obtient ainsi un système d’équations couplées qui doit permettre d’obtenir une équation de continuité et une densité de probabilité définie positive tout en respectant la covariance de la relativité restreinte. En partant de l’équation pour l’énergie-impulsion :

On doit s’attendre à ce que l’équation de Dirac obéisse à l’équation de Klein-Gordon. En utilisant l’équation de base et en itérant, on obtient :

Et on constate que, pour obtenir l’équation de Klein-Gordon, il faut que les matrices obéissent aux relations suivantes :

De plus, puisque le hamiltonien est hermétique, les matrices ai et b doivent l’être aussi. En tenant compte de toutes ces contraintes, on constate que les valeurs propres de ai et b doivent être ±1 (dernière contrainte) et que la trace de celles-ci doit être nulle (deuxième contrainte).

Puisque la trace est simplement la somme des valeurs propres (±1), le nombre de valeurs propres négatives doit correspondre avec celui des valeurs propres positives, par conséquent, la dimension des matrices doit être un nombre pair. La plus petite dimension qui permet de satisfaire simultanément toutes ces contraintes est N = 4 et c’est ce que nous allons développer ici (N = 2 ne permet que trois matrices mutuellement anticommutantes, les matrices de Pauli). Pour N = 4, les matrices qui satisfont toutes ces contraintes sont définies par :

              

Où les si correspondent aux matrices 2x2 de Pauli et où 1 représente la matrice 2x2 unité. Finalement, pour construire l’équation de continuité, on procède de la même façon que précédemment, c’est-à-dire que l’on multiplie par la droite le conjugué hermitien de y par l’équation d’onde et que l’on soustrait par y multiplié par la gauche par le conjugué hermitien de l’équation d’onde, ce qui donne :

Moins

(Les indices répétés sont sommés, k = 1..3). On obtient donc (avec ai et b hermétiques) :

Ou

On peut ainsi définir une densité de probabilité r = ys*ys (s = 1..4) et un courant de probabilité J. On obtient par conséquent une équation respectant toutes les contraintes initialement imposées. On peut alors se demander si l’équation de Dirac représente bien la vérité expérimentale. Vérifions pour un cas simple.

En considérant le système physique simple d’un électron libre, on constate que l’équation de Dirac se réduit à l’équation suivante :

Puisque la longueur d’onde de De Broglie est infinie et que la fonction d’onde est uniforme sur tout l’espace. En résolvant ce système d’équations (non couplées), on obtient les solutions suivantes pour la fonction d’onde :

              

              

On remarque donc que les deux premières solutions, correspondant à des énergies positives, peuvent être interprétées comme les fonctions d’onde d’un électron pour les deux composantes de spin. Pour ce qui est des deux équations avec des énergies négatives, elles sont interprétées comme les fonctions d’onde d’un anti-électron, le positron, ayant également deux composantes de spin. Ces interprétations de l’équation de Dirac pour un électron libre conduisent directement à un accord avec la mécanique quantique et à une évidence théorique de l’existence des antiparticules.

Donc, tout en étant cohérente avec la mécanique quantique ainsi qu’avec la relativité restreinte, l’équation de Dirac fournit une interprétation de la physique tout en permettant d’en déduire une densité de probabilité définie positive et une interprétation probabiliste de la physique.


3. Théorie quantique des champs :

3.1 Quantification des champs :

L’équation de Klein-Gordon et l’équation de Dirac semblent bien décrire la physique. Cependant, elles ne sont pas complètes car elles ne permettent pas d’expliquer tous les phénomènes observés. C’est dans cette optique que les physiciens ont développé la théorie quantique des champs, dans laquelle tous les champs obtiennent le statut d’opérateurs. Cette technique permet de résoudre bon nombre de problèmes et c’est grâce à elle que Feynman a développé l’électrodynamique quantique. L’approche développée ici, qui n’est qu’une légère introduction, utilisera la densité lagrangienne comme point de départ. Redérivons premièrement les principales étapes de la première quantification à partir du lagrangien. Selon le principe d’Hamilton en mécanique classique, le lagrangien correspondant à la dynamique d’une particule est celui qui laissera l’action I stationnaire, soit :

En partant de ce principe, on obtient directement les équations du mouvement d’Euler-Lagrange.

En faisant la transformation de Legendre suivante, on obtient la version hamiltonienne de la dynamique de la particule.

En élevant ensuite les coordonnées d’espace et de quantité de mouvement au rang d’opérateur hermétique dans l’espace d’Hilbert, on quantifie le système (il s’agit en fait de la première quantification). On doit donc changer les crochets de Poisson par les relations de commutation correspondantes et la dynamique des particules est enregistrée dans l’équation de Scrödinger (qui n’est pas invariante de Lorentz, comme mentionnée dans la première partie).

Partant de cette équation, il est possible de définir un autre point de vue, équivalent à celui de Schrödinger, mais dans lequel la dépendance temporelle est associée aux opérateurs au lieu de la fonction d’onde. Ce point de vue correspond à celui d’Heisenberg, et il plus facilement compréhensible du point de vue de la théorie des champs, c’est pourquoi nous allons l’utiliser ici. En définissant la relation suivante, on obtient l’équation qui permet de passer du point de vue de Schrödinger à celui d’Heisenberg.

Et

Du point de vue d’Heisenberg, il est possible de réécrire les équations du mouvement comme :

À partir des relations de commutation, les équations de la dynamique de la particule sont transcrites sous la forme suivante, c’est-à-dire d’un point de vue beaucoup plus classique que l’équation de Schrödinger.

              

              

Procédons maintenant à la seconde quantification proprement dite. Considérons premièrement un champ classique simple, soit le champ de déplacement j(x,t) d’une corde classique. L’amplitude du déplacement de la corde par rapport à la position d’équilibre est défini par j(x,t) et la vitesse à (x,t) par ∂j(x,t)(x,t)/∂t. Par analogie avec la mécanique classique, on s’attend à ce que j(x,t) joue le rôle de qi(t) et ∂j(x,t)/∂t, le rôle de dqi(t)/dt. L’indice discret i est remplacé par la coordonnée continue x, et le champ devient donc une fonction de l’espace et du temps, comme dans le point de vue d’Heisenberg (d’où son utilité). En définissant maintenant la densité lagrangienne L~ à partir du lagrangien comme (de la même façon qu’en mécanique classique) :

On trouve que la variation de l’action s’exprime :

Ainsi, en plaçant le temps sur le même pied d’égalité que les coordonnées d’espace, la variation de l’action s’écrit :

Et, à partir de la densité lagrangienne, les équations d’Euler-Lagrange deviennent simplement :

À partir de ces équations, il est maintenant possible d’obtenir la densité hamiltonienne et, par analogie avec la première quantification, arriver à la quantification des champs. En effet, on peut définir la densité hamiltonienne comme :

Avec

En élevant ces dernières quantités, soient l’amplitude du champ j(x,t) et la quantité de mouvement conjuguée p(x,t) de j(x,t), au rang d’opérateurs, on quantifie le champ (seconde quantifiation) et obtient les relations de commutation suivantes :

Ces relations forment la base de la théorie quantique des champs. Il est maintenant possible d’exprimer l’équation de Klein-Gordon ou l’équation de Dirac comme un champ.

3.2 Aperçu du champ de Klein-Gordon :

Pour Klein-Gordon, on obtient le champ de Klein-Gordon, avec une densité lagrangienne définie par :

À partir de cette densité lagrangienne, on peut obtenir la physique associée aux particules obéissant à un champ de Klein-Gordon. De la même façon, on peut trouver la densité lagrangienne pour un champ de Dirac et obtenir la physique correspondante.


4. Conclusion :

Donc, grâce à toutes les techniques développées jusqu’ici, nous serions en mesure d’attaquer les bases de l’électrodynamique quantique (QED) et la chromodynamique quantique (QCD) ainsi que les théories d’unification des forces fondamentales (seulement dans une certaine mesure, car il y a beaucoup de sujets qui n’ont pas été traités, comme la renormalisation).

Finalement, pour mieux situer les équations à la base de la mécanique quantique relativiste et la théorie quantique des champs, soient l’équation (ou le champ) de Klein-Gordon et l’équation (ou le champ) de Dirac, mentionnons que la première permet de décrire la physique des bosons (rayonnement) et que la seconde permet de décrire la physique des fermions (matière). Nous allons maintenant nous concentrer sur la physique d’une catégorie particulière de fermions, les quarks, en parlant tout d’abord de leurs saveurs.


5. Références :

1- Bjorken and Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1964.

2- Bjorken and Drell, Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1965.>br>