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L'expérience d'Aspect -->


LES INÉGALITÉS DE BELL

par
Jens Kröger

1. Une formulation qui permet une analyse stricte du paradoxe d’EPR
2. Les inégalités de Bell
3. Les chaussettes de M. Bertlmann
4. Interprétation
5. Généralisation de Clauser, Horne, Shimony et Holt
Conclusion
Références


1. Une formulation qui permet une analyse stricte du paradoxe d’EPR

          Dans l’expérience de pensée originale d’Einstein Podolsky Rosen, on mesure d’une part l’impulsion, et d’autre part la position de deux particules qui sont initialement dans un état de singulet, ce qui revient à dire que ces particules partagent une fonction d’onde. Puisque les quantités de position et d’impulsion sont très difficiles à mesurer en pratique, il n’y avait, à l’époque du débat Einstein-Bohr, aucune possibilité de faire des mesures sur des particules corrélées. Bohm a reformulé le paradoxe EPR en termes de nouvelles observables, les spins, ce qui a permis une analyse rigoureuse de Bell et les expériences ultérieures d’Aspect. Bien que l’analyse de l’expérience de Bohm est faite en détail dans la partie  sur les variables cachées, le traitement mathématique est nécessaire à la compréhension du théorème de Bell.

          Bohm a proposé de produire un état de singulet à partir d’un atome excité, qui émet deux photons en cascade avant de se retrouver dans son état fondamental. Si le moment orbital électronique L et le spin total S de l’atome sont identiques dans les états excités et fondamentaux, la conservation du moment angulaire implique que le moment angulaire net emporté par les deux photons est nul. Le moment angulaire des photons est caractérisé par les nombres quantiques de spin et de moment angulaire s=1 et ms=±1, ce qui correspond à des photons de polarisation circulaire droite ou gauche. Pour préserver le moment angulaire total, les deux photons devront avoir des valeurs de ms opposées, soit un photon de polarisation circulaire droite et un de polarisation circulaire gauche. Nous utiliserons toutefois la convention que la direction de rotation de la polarisation du photon est celle perçue par le détecteur. Le schéma du montage expérimental tel que proposé par Bohm est illustré à la figure 1.


Figure 1.

          Puisque les deux photons ont des directions de propagation opposées, les deux états de singulet admissibles sont donc celui où les deux photons A et B ont des polarisations circulaires gauches (telles que perçues par les détecteurs) et celui où les photons A et B ont des polarisations circulaires droites. La fonction d’onde de l’état de singulet est donnée par

(1)

          En pratique, les détecteurs de photons mesurent plutôt l’absorption ou le passage du photon par un polariseur linéaire. Nous réécrirons donc la fonction d’onde dans une base de photons détectés dans un état de polarisation verticale ou dans un état de polarisation horizontale . Les états possibles et la fonction d’onde de l’état de singulet sont notés

(2)

(3)

          La conservation du spin total requiert toutefois que si on mesure un photon dans un état de polarisation verticale, l’autre photon sera mesuré dans le même état de polarisation. Il est impossible de trouver un photon dans un état de polarisation verticale et le deuxième dans un état de polarisation horizontale. Cette prémisse issue de la conservation du spin total est appelée corrélation parfaite entre deux photons. Bien qu’étant impossible à atteindre en laboratoire, les photons sont en principe soumis à cette corrélation parfaite.

(4)

          Finalement, la fonction d’onde dans la nouvelle base est donnée par

(5)

          Le traitement des inégalités de Bell requiert une légère modification du montage. Le détecteur 2 sera incliné par rapport au plan dans lequel le détecteur 1 mesure des polarisations verticales ou horizontales.  Le nouveau schéma expérimental est illustré à la figure 2.


Figure 2.

          Les états possibles des deux photons sont écrits en termes des résultats des détecteurs.

(6)

          Dans le premier montage, la polarisation verticale d’un photon impliquait automatiquement la polarisation verticale pour le deuxième photon. Dans ce nouveau montage, ce n’est plus le cas puisque les détecteurs sont inclinés l’un par rapport à l’autre. La fonction d’onde dans cette nouvelle base est

(7)

          Nous pouvons maintenant calculer la probabilité de chaque état de se réaliser à l’aide du  bracket de chaque état avec la fonction d’onde.

(8)

          De même, nous avons

(9)

          Les probabilités de détecter les photons avec des polarisations verticales et horizontales dépendent seulement de l’angle d’inclinaison entre les deux polariseurs.

(10)

(11)

          Ce traitement mathématique un peu long nous montre le caractère sinusoïdal des fonctions de probabilités. La dernière expression est appelée valeur moyenne et nous servira plus loin. Nous montrerons maintenant comment Bell a utilisé ce développement mathématique pour démontrer que la mécanique quantique est incompatible avec toute théorie locale de variables cachées.


2. Les inégalités de Bell

« But on one supposition we should in my opinion absolutely hold fast: the real factual situation of the system S2 is independant of what is done with the system S1 which is spatially separated form the former. »
Albert Einstein dans Albert Einstein, Philosopher Scientist

           Einstein s’est accroché à la croyance selon laquelle un système est indépendant de tout autre système séparé spatialement du premier, a moins d’une interaction soumise à la relativité restreinte. L’autre fer de lance d’Einstein était la causalité ou le déterminisme. Sa position sur ce sujet est illustrée par sa célèbre citation
“God does not play dice with the universe”
          Il semble toutefois que ces deux souhaits ne peuvent pas être réalisés simultanément sans produire des résultats qui entrent en conflit avec la mécanique quantique. Einstein a évoqué une théorie de variables cachées afin de restaurer le caractère déterministe qui est perdu dans la mécanique quantique. Les inégalités de Bell montrent essentiellement que des variables cachées locales telles qu’introduites par Einstein pour restaurer le caractère causal de la théorie quantique ne sont pas compatibles avec les prédictions statistiques de la mécanique quantique. On démontre en effet que le problème avec ces variables cachées provient justement de la localité, soit l’hypothèse selon laquelle le résultat d’une mesure sur un système est indépendant des opérations sur un système éloigné mais ayant interagit avec le premier dans le passé. Il est important de comprendre que les théories de variables cachées ne sont pas toutes locales. Bohm a ainsi développé une théorie de variables cachées non locales.

          Pour traiter des théories locales, le cheminement logique reproduit dans l’article original de Bell sera reproduit, avant un traitement des inégalités de façon moins rigoureuse, mais peut-être plus compréhensible, dans la section suivante.

          Nous prenons le montage détaillé à la section précédente. Avec des appareillages de type Stern-Gerlach on peut effectuer la mesure des spins s1 et s2. Si la mesure de (s1·a), où a est un vecteur unitaire dont la direction détermine l’orientation du détecteur, donne une valeur +1, alors selon la mécanique quantique, le résultat de mesure de s2 selon le même axe de référence doit donner la valeur de -1, et vice-versa. L’idée est maintenant de démontrer que l’hypothèse des variables cachées restaurant le caractère local de la mécanique quantique mène à des résultats incompatibles avec les prédictions de cette dernière.

          Pour reproduire cette preuve, posons donc une telle hypothèse de variables cachées locales selon laquelle les mesures effectuées sur un système S1 spatialement séparé de S2 n’influencent pas les résultats d’une mesure sur S2. Néanmoins, on souhaite garder la conservation du spin total qui dicte que la mesure du spin de S1 détermine l’issu de la mesure du spin de S2. Cela nous force donc à supposer que le résultat de ces mesures était prédéterminé. Puisque la fonction d’onde, solution des équations de Schrödinger, ne détermine pas l’issu de la mesure d’un système, nous ajouterons donc à cette fonction d’onde un paramètre l, caché, qui prédétermine l’issue d’une mesure. La question de la signification de l, soit quant à savoir si l représente une variable unique, un groupe de variables ou même un groupe de fonctions, ne change rien à la discussion qui suivra. Pour garder le caractère de localité, il est donc impératif que B, le résultat de la mesure sur S2, ne dépende d’aucune façon de A, du résultat de la mesure sur S1, ni du paramètre a.

(12)

          Nous utiliserons tout d’abord une version simplifiée de l’argument de Bell pour illustrer sa conception des variables cachées et le fonctionnement de sa preuve. Nous imaginons donc la variable cachée ? comme étant un vecteur de polarisation fixé lors de la création de l’état de singulet. Le résultat de la mesure du spin de S1 ne dépend pas de la mesure de B mais seulement de l’angle entre l et le polariseur. Si cet angle est de ±45 , alors le spin sera détecté dans un état parallèle au polariseur (résultat +). Sinon, il sera détecté dans un état perpendiculaire (résultat -). Le résultat de S2 est déterminé par le vecteur –?, qui accompagne le deuxième photon. Si le polarisateur qui mesure S2, est parallèle au polarisateur qui mesure S1, alors le résultat sera contraire au résultat de S1, ce qui est en accord avec la mécanique quantique (voir figure 3). Si, par contre, on incline le polarisateur qui mesure S2, on ne mesurera deux états parallèles que si –l se situe à l’intérieur de ±45° des axes des deux polarisateurs, ce qui correspond à la région plus foncée sur la figure 3.


Figure 3.

          La probabilité de mesurer deux états parallèles dépend donc de l’angle entre les axes des deux polariseurs et du rapport de la plage foncée sur la figure 4 et de la plage de tous les angles possibles de -l. Nous pouvons ainsi construire les différentes fonctions de probabilité et la valeur moyenne comme définie par l’équation (13)

(13)

 
(14)

          Cette expression est équivalente à l’expression (13) de la valeur moyenne pour des angles (b-a) de 0°, 45º et 90º, mais différente pour des valeurs intermédiaires comme 22,5º. En effet l’expression (13) nous donne E(a,b) = cos2(b-a) = cos45º = 1/, ce qui est différent de l’expression (20) qui donne ½. La figure 4 illustre les deux formes de E(a,b). Comme pour la dérivation originale de Bell, la valeur moyenne est bornée par une fonction valeur absolue. C’est, d’une certaine façon, une droite qui reproduit de façon approximative la valeur moyenne issue de la mécanique quantique.


Figure 4.

          Nous pouvons maintenant donner la version originale de l’inégalité de Bell sans définir l plus précisément.  Nous prenons l comme étant un paramètre unique et continu dont la distribution de probabilité r(l) doit être incluse dans le calcul suivant de la valeur moyenne.

(15)

          La valeur moyenne dans la mécanique quantique est définie de façon suivante et est reliée aux fonctions de probabilité telles que dérivées dans la section précédente.

(16)

          L’expression précédente représente la valeur moyenne du produit des résultats A et B sur les spins des systèmes S1 et S2. La conservation du spin total et la mécanique quantique impliquent que ce résultat ne dépend que de l’orientation des vecteurs a et b selon lesquels les spins ont étés mesurés.

(17)

          Il sera démontré qu’il est impossible d’égaler les deux expressions de valeur moyenne (mécanique quantique et théorie de variables cachées locales). Toutefois, nous commençons par développer l’hypothèse d’une variable cachée l.

          Puisque r est une distribution de probabilité normalisée, nous avons

(18)

          Maintenant, puisque les résultats A et B ne peuvent prendre que des valeurs de ±1, la valeur minimale de  est -1. E(a,b) prend cette valeur minimale avec a = b (lorsque les deux spins sont mesurés dans des directions parallèles) seulement lorsque . En fait, l’hypothèse de départ ne nous permet plus de dire que le résultat de A déterminera automatiquement le résultat de B. Pour faire tenir la conservation totale du spin, on doit recourir à la variable cachée l. On peut maintenant réécrire le produit E(a,b,l).

(19)

          On introduit maintenant un troisième vecteur unitaire c selon lequel on peut mesurer la valeur de spin de S2. On écrit

(20)

          D’ailleurs la valeur minimale de A(a,l)A(b,l) est de -1. En remplaçant la valeur minimale d’un des termes dans l’expression précédente, on peut écrire une inégalité

(21)

          Puisque , nous avons l’expression

(21)

          Cette expression de E(b,c) est incompatible avec celle dérivée dans la partie précédente. Tandis que l’expression produite par la mécanique quantique est de forme sinusoïdale, celle produite avec des variables cachées (22) est bornée inférieurement par une droite. En effet, comme dans (14), l’expression est proportionnelle à . Le comportement de E(b,c) autour de zéro est illustré à la figure 5.


Figure 4.

          Avant d’interpréter l’inégalité de Bell, nous la présenterons d’une autre façon plus informelle, qui nous permet de mieux comprendre sa signification.


3. Les chaussettes de M. Bertlmann

          Nous exposerons maintenant l’inégalité de Bell à l’aide de l’analogie des chaussettes de  M. Bertlmann. Cette analogie a été rédigée par Bell et a été publiée dans le Journal de physique en 1981. Cette analogie permettra de mieux comprendre comment les inégalités ont étés construites, même si le résultat final est le même.

          Le Dr Bertlmann est un chercheur qui est préoccupé par les caractéristiques physiques de ses chaussettes. Il procède donc aux tests suivants:

Test a: lavage pendant 1 heure à O °C
Test b: lavage pendant 1 heure à 22,5 °C
Test c: lavage pendant 1 heure à 45 °C

          Il est particulièrement intéressé par le nombre de chaussettes qui sortiront intactes (résultat positif) ou qui seront détruites (résultat négatif) par un lavage prolongé à ces différentes températures. Il note donc n(a+b-) le nombre de chaussettes qui passent le test a et qui échouent le test b. Il réécrit ensuite cette expression en termes de deux sous-ensembles, soit celui de chaussettes qui passent a, échouent b et passent le test c, et celui des chaussettes qui passent le test a et échouent les tests b et c. On peut donc écrire les relations suivantes

n(a+b-) = n(a+b-c+) + n(a+b-c-)
n(b+c-) = n(a+b-c-) + n(a-b+c-)
n(a+c-) = n(a+b+c-) + n(a+b-c-)

          Les inégalités suivantes s’ensuivent trivialement:

n(a+b-) ³ n(a+b-c-)
n(b+c-) ³ n(a+b+c-)

n(a+b-) + n(b+c-) ³ n(a+b+c-) + n(a+b-c-)

et donc

n(a+b-) + n(b+c-) ³ n(a+c-)

          Avant même d’avoir procédé à une seule mesure M. Bertlmann se rend compte de l’erreur qu’il a commis en rédigeant ces inégalités. Les propriétés physiques d’une chaussette qui a été soumise au test a ont été changées irrévocablement durant ce test ce qui affectera immanquablement l’issu du test b. De surcroît, une chaussette qui échoue un test ne pourra tout simplement plus être utilisée pour un autre test. Le nombre n(a+b-c-) n’a donc aucune pertinence physique. C’est à ce moment que M. Bertlmann se souvient que ses chaussettes sont toujours présentes en paires. Il peut alors effectuer le test a sur la première chaussette A et faire subir le test b à la chaussette B. Les deux chaussettes d’une paire étant identiques, il assume que le résultat du test a sur la chaussette A peut être utilisé pour prédire le résultat du même test sur la chaussette b. Il fait implicitement la supposition qu’un test sur la chaussette A n’affectera aucunement les résultats des autres tests subits par la chaussette. M. Bertlmann fait donc subir le test a à la chaussette A et le test b à la chaussette B. Le nombre de paires pour lesquelles la chaussette A passe son test et la chaussette B échoue son test sera dénotée N+-(a,b) et est égale au nombre hypothétique n(a+b-). Nous pouvons donc écrire une inégalité similaire à celle énoncée plus haut:

N+-(a,b) + N+-(b,c) ³ N+-(a,c)

          En divisant cette inégalité par le nombre total de paires utilisées, on obtient une égalité entre les fréquences de chaque résultat. On peut ensuite généraliser cette égalité pour tout lot de paires de bas contenant un nombre quelconque de paires de bas. On arrive donc à une inégalité contenant des probabilités de mesurer chaque résultat:

P+-(a,b) + P+-(b,c) ³ P+-(a,c)

          Ici s’arrête l’analogie des chaussettes et commence l’interprétation physique. En effet, si on remplace les chaussettes par des photons, des paires de chaussettes par des paires de photons corrélées, les machines à laver par des polariseurs et les températures de lavage par les orientations de ces polariseurs (a = 0 , b = 22,5  et c = 45 ), alors on retrouve l’inégalité originale de Bell comme énoncée précédemment. Si on remplace les probabilités par celles calculées en première partie, on retrouve une l’inégalité qui est définitivement fausse.


4. Interprétation

          Où se situe donc l’élément qui mène à cette inégalité mathématique? Il s’agit sans aucun doute de la séparabilité proposée par Einstein, qui veut que la mesure sur un système S1 soit indépendante de la mesure sur le S2, dont il est séparé spatialement. Si on impose cette localité et si on veut garder la conservation  du spin tout en évitant que la mesure A  ne soit déterminée par la mesure B, il faut absolument se munir d’une variable cachée. Cette variable implique que le résultat des mesures A et B est prédéterminé. Le théorème de Bell construit des expressions de valeur moyenne en fonction des angles des détecteurs de manière à satisfaire aux relations de corrélation des photons. Ces valeurs moyennes sont construites à partir des résultats des mesures A et B,  alors indépendants l’un de l’autre. Il factorise ensuite l’expression de A, la minimise et construit une inégalité qui ne peut être respectée pour certains angles. L’opération interdite, dans le sens où elle contredit la mécanique quantique, est la factorisation de A. Ce résultat a produit la définition suivante d’un état corrélé: deux particules sont dites corrélées s’il est impossible de factoriser leur fonction d’onde ainsi que les probabilités d’un certain résultat lors de la mesure sur les deux particules. Cette conclusion est aisément compréhensible par analogie avec l’approche statistique. Ici aussi, deux événements sont indépendants si on peut factoriser leur probabilité de fournir certains résultats. La probabilité d’obtenir deux 6 de suite lors de deux jets de dés est de 1/36 ce qui est factorisable en 1/6 x 1/6, puisque les deux jets de dés sont indépendants.

          Le théorème de Bell montre que l’hypothèse selon laquelle la mesure du spin d’un photon n’a aucun effet sur la mesure du deuxième photon doit être abandonnée. La séparabilité d’Einstein, qui stipule que tout système est indépendant d’un autre système dont il est séparé spatialement, ne peut tenir à moins de rejeter les prédictions de la mécanique quantique. Ce résultat ne condamne pas toutes les théories de variables cachées, mais seulement celles qui sont locales.

          Malgré l’élégance de ce résultat, il est difficile de le vérifier expérimentalement. En effet, la corrélation parfaite entre les deux photons, qui est toujours respectée en théorie pour un état de singulet, ne l’est pas toujours en pratique. Les imperfections des détecteurs et du montage expérimental font en sorte que les expressions suivantes ne sont pas toujours satisfaites en laboratoire.

          En d’autres mots, si la mesure expérimentale du spin d’un photon donne +1 dans une certaine direction, la mesure du spin de la deuxième particule dans la même direction ne donne pas toujours -1.

          De plus, l’inégalité de Bell nécessite des variables cachées qui sont déterminées au moment de la création de l’état de singulet, soit au moment où les particules sont séparées. Pourtant, il existe d’autres théories de variables cachées locales, dont les variables sont indéterminées lors de la création de l’état de singulet. Le théorème de Bell ne couvre pas ces théories et ne peut donc régler définitivement l’issu du débat.


5. Généralisation de Clauser, Horne, Shimony et Holt

          Ayant en tête ces problèmes et la volonté de réaliser une expérience découlant des inégalités de Bell pour tester l’hypothèse de localité, Clauser, Horne, Shimony et Holt ont proposé une généralisation du théorème de Bell. Leur théorème couvre toutes les classes de variables cachées locales, sans supposer que la valeur des variables cachées est prédéterminée pendant la propagation des photons. L’avantage de la généralisation de CHSH réside dans le fait qu’elle ne pose aucune contrainte sur les variables cachées. En fait, aucune hypothèse n’est posée quant à leur forme mise à part la normalisation de leur densité.

          La localité, soit le fait que la mesure d’un spin n’influence d’aucune façon l’issue de la mesure du spin du deuxième photon, est la seule contrainte sur les variables. De plus, la démonstration ne nécessite pas une corrélation parfaite entre les deux photons, ce qui rend la vérification expérimentale beaucoup plus facile.

Voici donc en quelques lignes la généralisation de CHSH

Les valeurs de spin des particules A et B ne peuvent pas excéder 1

La valeur moyenne d’une mesure est similaire à celle de la démonstration de Bell :

Puisque ,

De la même façon,

En combinant les deux équations précédentes, on obtient

          Puisque nous savons que. Finalement, sachant que , on peut écrire l’inégalité de CHSH, soit

          Une application avec différents angles de polarisateurs nous donne encore une impossibilité. En effet, avec a = 0°, b = 0°, c = 45° et a = 67,5° (b-a = 22,5°; d-a = 67,5°; b-c = -22,5° et d-c = 22,5°) on obtient


Conclusion

          Une fois encore, il y a disparité entre la localité et les prédictions de la mécanique quantique. La question est donc de savoir quel modèle représente le mieux la réalité physique, un modèle local comme le croyait Einstein, ou celui, non local, de la mécanique quantique décrite par Bohr et l’école de Copenhague. C’est l’équipe d’Aspect, Dalibard et Roger qui apportera les preuves expérimentales permettant d’éclaircir ce débat, tout en renforçant les résultats de Bell et CHSH. En effet les inégalités décrites dans mon travail ne tiennent pas compte du fait que les orientations des polariseurs sont déterminées avant la création de l’état de singulet.  Se pourrait-il que les photons aient été émis avec les caractéristiques tout juste nécessaires (gouvernées par des variables cachées) pour satisfaire les équations de corrélation? Les expériences d’Aspect répondent habilement à cette question.


Références

Jim Bagott, The meaning of quantum theory, Oxford University Press, 1992, 230 pp.

 J.S. Bell, Speakable and unspeakable in quantum mechanics, Cambridge Univesity Press, 1987, 212 pp.

Causuality and Locality in Modern Physics, Edited by Geoffrey Hunter, Stanley Jeffers and Jean Pierre Vigier, Kluwer Academic Publishers, 1998, 497 pp.

Amir D. Aczel, Entanglement, Raincoast Books, Vancouver , 2002, 282 pp.



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