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LE PARADOXE EPR ET SES IMPLICATIONS
CONCERNANT LES VARIABLES CACHÉES

par
Julie Lefebvre

1. Le paradoxe EPR
1.1. L’analyse d’Einstein, Podolsky et Rosen
1.2. La critique de Bohr
2. L’interprétation de Bohm
2.1. Présentation générale de l’expérience
2.2. Traitement mathématique
3. Introduction au concept de variables cachées
3.1. L’idée générale
3.2. La première opinion de Bohm
4. La théorie des variables cachées de Bohm
4.1. Une critique de la mécanique quantique
4.2. Nouvelle interprétation physique de l’Équation de Schrödinger
Conclusion
Références
Remarque : les développements sont issus des publications originales, ils sont donc présentés dans le formalisme adopté par l’auteur.


1. Le paradoxe EPR
1.1. L’analyse d’Einstein, Podolsky et Rosen

          En 1935, Einstein, Podolsky et Rosen publièrent un article intitulé Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?1  dans lequel ils soulevèrent une interrogation sur l’exactitude et la complétude d’une théorie physique. Dans la première partie, qui consistait à présenter l’ensemble de la problématique, ils y exposèrent d’abord les critères qui définissent une théorie physique. La condition fondamentale est que chaque élément de la réalité physique doit avoir sa contrepartie dans une théorie complète. Il existe également un critère suffisant pour juger de l’exactitude d’une théorie : si le système n’est perturbé d’aucune manière et que nous pouvons prédire exactement la valeur d’une quantité physique, alors il existe un élément de la réalité qui correspond à cette quantité physique. L’application littérale de ces hypothèses à la théorie quantique implique que la totalité des informations concernant une particule doit être contenue dans la fonction d’onde qui lui est associée. D’autre part, deux particules ayant des fonctions d’onde qui ne diffèrent que par un facteur de phase constant seront dans le même état quantique. Les auteurs tentèrent d’infirmer cette supposition afin de démontrer l’incomplétude de la théorie quantique.

          Selon les postulats de la mécanique quantique, la connaissance de la quantité de mouvement d’une particule implique que sa position n’a pas de réalité physique. Par extrapolation, les auteurs stipulèrent que le formalisme de la fonction d’onde ne décrit que partiellement un système donné et que deux observables dont les opérateurs respectifs ne commutent pas entre eux ne peuvent exister simultanément au sens physique. Suivant cet ordre d’idées, ils tentèrent de démontrer que la supposition voulant qu’une fonction d’onde fournisse une description complète d’un système dans l’état auquel elle correspond mène à une contradiction.

          Cette démonstration, qui constitue la seconde et dernière partie de l’article, est développée principalement à partir d’une expérience en pensée. Celle-ci comprend deux systèmes, notés I et II, pouvant interagir dans un intervalle de temps allant de 0 à T. En supposant que les états initiaux sont connus, il est possible de calculer la fonction d’onde globale du système et ce, pour un t plus grand que T. La fonction d’onde décrivant le système global résulte donc du produit des fonctions de chaque sous-système agissant dans leur espace d’états respectif.

(1)

          Dans ces expressions, un(x1) et vs(x1) représentent les fonctions propres orthonormées associées respectivement aux grandeurs physiques A et B évaluées dans le premier système. De plus, nous supposons que les opérateurs A et B ont des spectres non dégénérés. Les fonctions d’état du second système, yn(x2) et js(x2), ne sont pas nécessairement orthogonales ni normées. Dans le système global, ces dernières fonctions peuvent être mathématiquement interprétées comme les coefficients du développement des fonctions du système I.

          En conséquent, une mesure de A(I) donnant comme résultat une valeur aj indique que la fonction d’état du second système sera proportionnelle à uj(x1). La relation s’avère identique pour la mesure de B(I). Puisque les vecteurs d’état du système II sont différents entre eux, le choix de la grandeur physique mesurée dans le premier système semble influencer l’état du second et ce, sans même perturber le second système par la mesure du premier. Il nous semble alors possible qu’une même réalité, soit l’état de la seconde particule après l’interaction, puisse être décrite par deux fonctions d’onde différentes. Celles-ci correspondent en fait aux fonctions propres de deux opérateurs non commutants. Une extrapolation des hypothèses de base nous permet de déduire que chacun des éléments indépendants doit être la contrepartie d’une quantité mathématique définie. Les observables A et B ne peuvent donc exister simultanément, la position et la quantité de mouvement en sont un exemple. En effet, une mesure fournissant une valeur propre de B implique l’absence de l’observable A. Cette destruction peut être causée par le transfert de quanta effectué lors de la mesure. Dans le cadre de la théorie quantique, ce phénomène est expliqué par la réduction du paquet d’onde qui est en fait un processus de mesure menant à la sélection d’un seul état parmi une série de solutions possibles. À la lumière de ce raisonnement, les auteurs tirent deux conclusions possibles :

1) Les descriptions de la mécanique quantique fournies par le formalisme des fonctions d’onde sont incomplètes.
2) Des opérateurs non commutants ne peuvent être associés à la même réalité, au même état. (Ils ne peuvent être mesurés simultanément)

          Toutefois, la négation de la première proposition entraîne la négation de la seconde. Cette assertion leur permet de conclure que le formalisme de la mécanique quantique reste incomplet. Ils lancent comme question ouverte la possibilité d’une autre description de la réalité, qui serait cette fois prédictive.

1.2. La critique de Bohr

          En réaction à cette remise en question de la validité de l’interprétation générale de la théorie quantique, Bohr publia un article en 1935, sous le même titre que celui d’Einstein. Sa critique était composée principalement d’un résumé du théorème de complémentarité et de ses applications dans la théorie quantique. Il revendiquait entre autres certaines clarifications terminologiques :

« From our point of view we now see that the wording of the above-mentioned criterion of physical reality proposed by Einstein, Podolsky and Rosen contains an ambiguity as regards the meaning of the expression ‘without in any disturbing a system’...there is essentially the question of an influence on the very conditions witch define the possible types of predictions regarding the future behaviour of the system. Since these conditions constitute an inherent element of the description of any phenomenon to witch the term ‘physical reality’ can be properly attached, we see that the argumentation of mentioned authors does not justify their conclusion that quantum-mechanical description is essentially incomplete. »2
          Ainsi Bohr revendique l’importance de tenir compte du dispositif de mesure. Adoptant une position instrumentaliste, il n’accordait de réalité physique qu’aux phénomènes. Il jugeait donc le formalisme des fonctions d’onde adéquat puisque leurs prédictions concordent avec les expériences. Comparativement, les conditions présentées dans l’article d’Einstein concordaient avec une interprétation réaliste de la science. Selon ce point de vue, les critères de vérité d’une théorie reposent exclusivement sur la concordance entre l’interprétation mathématique et le monde réel. Ainsi, l’opposition entre Bohr et Einstein est principalement d’ordre épistémologique puisque ces physiciens n’avaient pas la même vision de la science.


2. L’interprétation de Bohm
2.1. Présentation générale de l’expérience

          En 1951, David Bohm proposa une expérience hypothétique pour illustrer les implications physiques du paradoxe EPR. Les concepts présentés équivalaient à ceux de la version originale, mais ils avaient l’avantage d’être plus simple à traiter mathématiquement.

          Le système proposé était celui d’une molécule diatomique dont le spin total est nul. Chaque élément du système global a un spin ½ orienté dans une direction diamétralement opposée par rapport à l’autre, dans la mesure où le spin peut être orienté dans une direction arbitraire. La molécule est maintenant désintégrée de manière à ce que le spin total soit conservé. Il existe donc une corrélation entre les deux particules séparées de manière à ce que la mesure du spin de la première fournisse indirectement la mesure de la seconde et ce, sans perturber le système global puisque les particules n’interagissent plus ensemble. Un tel système laisse croire que la composante de spin déduite implicitement s’avère un élément de la réalité ayant son existence propre.

          Supposons maintenant qu’une mesure de spin soit effectuée dans une direction arbitraire. Selon les hypothèses d’EPR, il existe une entité réelle correspondant aux définitions simultanées des trois composantes de spin de la particule 2. Cependant, la fonction d’onde ne peut spécifier qu’une seule composante de spin à la fois. En fait, aucun concept de mécanique quantique ne correspond aux valeurs simultanées des projections du spin d’une particule sur deux axes différents. Par conséquent, nous constatons que le formalisme de la mécanique quantique ne peut décrire complètement la réalité de la seconde particule.

2.2. Traitement mathématique

          Bohm exposa le problème en appliquant le cas précédent au formalisme de la mécanique quantique. Comme dans l’expérience proposée par Einstein, la construction des états du système global résulte du produit des fonctions d’onde des deux particules. Les équations suivantes représentent les combinaisons possibles de spin selon l’axe z :

(2)

          Un système total de spin nul est obtenu à l’aide d’une combinaison linéaire de yc et yd. D’après les conditions imposées, nous savons que seules ces fonctions d’onde interfèrent lors d’une mesure.

(3)

          La corrélation des résultats des mesures de composante de spin est démontrée à partir de l’expérience de Stern-Gerlach. Dans ce type de montage, un champ magnétique non homogène traverse un faisceau de particules de manière à faire dévier leur trajectoire selon leur état de spin. L’hamiltonien de ce système

(4)

fournit l’expression décrivant la dynamique du système global :

(5)

          Suivant cet ordre d’idées, l’équation de Schrödinger totale résulte d’un regroupement des hamiltoniens de chacun des sous-systèmes :
 
(6)

          Les solutions de ces équations différentielles sont :
 
(7)

Dt représente le temps d’interaction entre l’atome et le champ magnétique non homogène. Ces solutions nous informent que la probabilité d’obtenir les résultats représentés par yc équivaut à celle d’obtenir un résultat associé à yd. Il existe donc une corrélation des états quantiques de manière à ce qu’une mesure de spin négative pour la première particule implique nécessairement un spin positif pour la seconde. Le comportement s’avère similaire pour des mesures de spin dans une direction aléatoire, qui peut être décomposée selon les axes x et y. Il est à noter que cette corrélation n’implique pas que le comportement des atomes soit affecté par celui des autres après que les deux aient cessé d’interagir. La prochaine section présente entre autres l’opinion de Bohm concernant la nature de cette corrélation.


3. Introduction au concept de variables cachées
3.1. L’idée générale

          Dans l’expérience décrite par Bohm, la particule non mesurée dans son nouvel état semble avoir mémorisé l’état original. Les tenants du déterminisme, inspirés entre autres par Einstein, croyaient que cette information serait transportée dans des variables cachées. Ils recherchèrent donc une théorie pouvant prédire les résultats de mesures individuelles qui permettraient de caractériser complètement un état quantique.

          Afin de saisir l’idée générale, voyons une analogie simple en mécanique classique. Dans son volume traitant de la théorie quantique, Bohm présente un exemple en thermodynamique. Pour une expérience dans ce champ de la physique, les paramètres mesurés sont la pression, la température et le volume. Dans un domaine restreint, près d’un point critique, les paramètres n’obéissent plus aux équations d’états, mais présentent plutôt une très grande fluctuation autour des valeurs prédites. L’analyse d’un tel système exige de passer d’une loi déterministe à une loi statistique. En réalité, les variables de la thermodynamique ne sont plus appropriées au problème car les vrais paramètres influent sont la position et la vitesse de chaque particule. Bref, les mesures des quantités thermodynamiques apparaissent en termes de moyenne des variables cachées, qui ne peuvent être observées seulement par des méthodes en thermodynamique.

          Le concept des variables cachées en mécanique quantique est sensiblement le même. Ces variables décriraient exactement le moment et l’emplacement du transfert d’un quantum. Nous pouvons définir les paramètres cachés comme des variables caractérisant l’état d’un quanton, une entité physique à laquelle les symboles mathématiques se rapportent directement, de manière plus complète que ne le fait un vecteur d’état. Elle permet donc la prédiction exacte d’une mesure physique. Même si elles sont indécelables expérimentalement, ces paramètres devraient déterminer quel état physique est privilégié lors d’un processus quantique tels que la collision entre deux particules et l’émission de photon.

          Évidemment l’introduction d’un tel concept dans le formalisme de la mécanique quantique implique des conséquences sur l’interprétation même des concepts à la base de cette théorie. Selon l’interprétation de Copenhague, la statistique en mécanique quantique provient d’une indétermination de principe a priori. En comparaison, les probabilités concernant les variables cachées dépendent de la méconnaissance de certains paramètres, elles s’avèrent donc issues de la statistique classique. Dans l’hypothèse où les variables cachées peuvent être révélées par des processus expérimentaux, la préparation d’états se résume en un ensemble de quantons, aussi nommés micro-objets, décrits par une valeur précise de toutes ces variables. Cette supposition implique également la connaissance d’un vecteur d’état de cette mesure, qui représente en fait l’état d’un groupe de micro-objets où chaque élément avant sa mesure est associé à une valeur exacte de l’observable. En d’autres termes, l’appareil de mesure indique la valeur propre de l’opérateur correspondant au micro-objet détecté.

3.2. La première position de Bohm

          Dans son ouvrage intitulé Quantum theory, Bohm expose l’interprétation des variables cachées. Pourtant il infirme cette thèse en supposant qu’elle s’avère incohérente avec les fondements de la mécanique quantique. Il exposait même une position allant à l’encontre du déterministe :

« The present form of quantum theory implies that the world cannot be put into a one-to-one correspondence with any conceivable kind of precisely defined mathematical quantities, and that a complete theory will always require concepts that are more general than that of analysis into precisely defined elements. »3
          L’un des arguments invoqués pour l’improbabilité de cette hypothèse est l’absence de résultats expérimentaux confirmant l’existence des paramètres cachés. Selon lui, il est injustifié de croire qu’une particule telle qu’un électron comporte simultanément des valeurs exactes de position et de quantité de mouvement, et que ces quantités nous sont inaccessibles puisque nous ne pouvons les mesurer précisément. Au contraire, il juge que l’indéterminisme est inhérent à la structure même de la matière.

          Concernant la possibilité que les variables cachées soient sous-jacentes à la théorie quantique, Bohm démontra la circularité de ce raisonnement. Supposons l’existence des variables cachées. Afin que ces nouveaux paramètres aient une signification physique, nous devons concevoir des expériences dont les résultats dépendraient des états propres de ces nouveaux observables. Ils devront donc répondre implicitement aux exigences de la mécanique quantique, incluant l’incertitude régissant la sélection des états lors d’une mesure. À partir de ce raisonnement, il s’avère impossible d’affirmer l’existence d’une expérience mesurant avec précision les variables cachées.

          L’argumentation de Bohm met principalement l’emphase sur l’impossibilité que la théorie quantique concorde avec celle des variables cachées. Ayant à l’époque un point de vue instrumentaliste, il jugeait injustifié la remise en question de la théorie quantique puisqu’elle concordait avec l’expérience. Il fournit en effet une interprétation de la corrélation des spins dans l’expérience de EPR qui s’accorde avec la mécanique quantique. Une mesure détruit la relation de phase existante entre yc et yd (voir l’équation (3)). Le résultat d’une mesure du premier atome provient donc d’un état associé exclusivement à l’une des deux fonctions d’onde. À ce même instant, la seconde particule s’ajustera automatiquement de manière à obtenir une composante de spin diamétralement opposée à la valeur mesurée si et seulement si elle interagit avec l’appareil de mesure. La fonction d’onde décrit donc la propagation de potentialités interdépendantes. La corrélation serait ainsi d’ordre statistique.

          Il souligna toutefois que certains domaines de la physique en développement, tels que la mécanique quantique relativiste et la physique des particules, pouvaient mener éventuellement à des résultats tangibles infirmant la théorie de cette époque.


4. La théorie des variables cachées de Bohm
4.1. Une critique de la mécanique quantique

          À peine quelques mois après avoir publié son livre sur la théorie quantique, Bohm rectifia son opinion précédente dans un article où sa première théorie soutenant l’hypothèse des paramètres cachés fut présentée. Nous porterons ici notre attention sur une série d’articles parus en 1952 où Bohm élabore davantage sa thèse4. Bohm soutient d’abord la critique d’Einstein selon laquelle, même à l’échelle quantique, il devait exister, à l’image de la mécanique classique, des variables décrivant avec précision le comportement d’un système physique. Une remise en question des principes de base de la mécanique quantique est ensuite proposée.

          Le principe d’incertitude figure parmi les bases les plus importantes de la théorie quantique. L’auteur en dégagea deux interprétations possibles. La première attribue la cause de ce phénomène aux limitations de la précision inhérente au formalisme mathématique, alors que la seconde l’associe à la perturbation causée par la mesure de l’appareil. Le principe de complémentarité est ensuite présenté comme la nécessité de renoncer au modèle mathématique continu pour un système discret à l’échelle atomique afin de respecter la correspondance statistique. La précision est alors fournie par les relations de complémentarité entre deux types de variables ou deux opérateurs non commutants.

          Bohm tenta donc d’introduire les concepts reliés aux variables cachées dans le cadre de ces principes. Ces nouveaux paramètres participent implicitement aux calculs statistiques des valeurs moyennes d’un ensemble plus grand de particules. Les coordonnées et la quantité de mouvement d’un atome individuel sont données comme exemples.

          À la lumière du principe de correspondance, l’auteur propose que l’existence des variables cachées serait au niveau de l’atome. À une certaine échelle, les résultats obtenus concorderaient avec la mécanique quantique conventionnelle. Pour des dimensions inférieures à la longueur fondamentale, qui est de l’ordre de 10-13 cm, les variables cachées fourniraient de nouveaux effets, inconsistants avec la théorie de l’époque.

          C’est donc à partir de ce contexte que Bohm proposa un changement formel équivalent à l’ajout de paramètres libres (inconnus), mais non un changement fondamental de la conception de la physique au niveau atomique.

4.2. Nouvelle interprétation physique de l’équation de Schrödinger

          Dans le premier volet de cette publication, Bohm appliqua sa théorie des variables cachées à différents exemples de la mécanique quantique telles que la dynamique à plusieurs corps, la diffusion, l’expérience de Franck et Hertz, puis la pénétration de barrières de potentiel. Nous limiterons notre présentation au cas le plus simple proposé, celui d’une nouvelle interprétation de l’équation de Schrödinger en une dimension :

(8)

          Pour cette expression, la fonction d’onde y est complexe, alors que les composantes R et S sont des fonctions réelles dépendantes d’un paramètre x. Cette équation différentielle équivaut à :

(9)

          Le dernier terme de l’équation (9) est interprété comme le potentiel quantique (noté U(x)). En posant P(x)=R2(x); nous obtenons :

(10)

          Bohm associa la première équation à la conservation de probabilité pour un ensemble de particules ayant une vitesse v=ÑS/m, alors que la seconde représente l’équation d’Hamilton-Jacobi.

          L’introduction de paramètres cachés s’effectue d’abord en associant à chaque électron une particule ayant une position et une impulsion spécifique définie continûment. En d’autres termes, la fonction S ne sera pas contrainte au principe d’incertitude, en plus d’être régulière. Les solutions de l’équation (9.2) représentent alors les trajectoires possibles pour ces particules. La forme proposée de cette dernière équation implique que les particules sont soumises à une force comprenant à la fois une contribution classique (V(x)) et une quantique (U(x)). Par conséquent, la fonction R(x) n’est pas complètement arbitraire car il est possible, à l’aide de l’équation (9.1) de la définir en termes de la fonction S(x). Il s’avère conventionnel d’évaluer ces fonctions en résolvant l’équation de Schrödinger à l’aide des relations suivantes :

(11)

(12)

(13)

          Mathématiquement, la fonction d’onde peut être interprétée comme un champ réel. Ce champ exercerait une force sur la particule dont l’effet serait similaire à celui qu’un champ électromagnétique exerce sur une charge. Bohm interpréta donc ce résultat comme un champ classique.

          Une comparaison exhaustive entre le champ électromagnétique et celui associé à la fonction y est d’ailleurs présentée. Premièrement le champ y doit être une solution de l’équation de Schrödinger comme un champ électromagnétique respecte les équations de Maxwell. Dans les deux cas, une spécification du champ à un instant et une position donnés fournit l’expression du champ à n’importe quel moment. De plus, la connaissance des conditions initiales implique la possibilité de calculer entièrement la trajectoire.

          Suivant cet ordre d’idée, nous pouvons retrouver les résultats obtenus à partir de l’équation d’Hamilton–Jacobi (équation (10.2)), mais cette fois en passant par les lois du mouvement de Newton :

(14)

          Une première différence apparaît ici entre le champ y et les champs conventionnels. Nous devons tenir compte de la définition p=ÑS(x). Une seconde distinction entre les deux types de champ réside dans l’homogénéité de l’équation de Schrödinger. Cette restriction implique qu’il ne peut y avoir de radiation ou d’absorption du champ, mais seulement une transformation de sa forme. Bohm propose que ces contraintes ne soient pas dues aux propriétés inhérentes de la structure conceptuelle, contrairement aux principes de la théorie quantique. Une dernière précision est apportée. Celle-ci concerne des interprétations d’ordre statistique. L’équation (10.1) peut laisser croire que la probabilité de densité pour un ensemble statistique de particules équivaut à P(x)=R2(x)=|y(x)|2. Toutefois, avec les paramètres cachés, les probabilités de la mécanique quantique sont interprétées comme une nécessité pratique, et non comme une manifestation de l’indéterminisme inhérent aux propriétés de la matière à l’échelle quantique. Les probabilités seraient donc une conséquence de l’ignorance des conditions initiales de la particule. Évidemment, |y(x)|2 concorde la plupart du temps avec la valeur de la densité de probabilité. En principe, il serait possible de concevoir une expérience dans laquelle ces deux valeurs seraient distinctes. Cette réflexion fait l’objet du second volet de sa publication. Dans ce contexte la position et l’impulsion d’une particule individuelle seraient des variables cachées puisque ces quantités violeraient le principe d’incertitude.


Conclusion

          En résumé, la critique d’Einstein, de Poldolsky et de Rosen propose d’abord une hypothèse déterministe et réaliste où chaque élément de la réalité doit correspondre à une quantité physique. L’expérience proposée, qui consistait principalement à observer une corrélation d’états quantiques pour deux systèmes étant initialement regroupés, mettait en évidence l’incomplétude du formalisme de la mécanique quantique. Dans un premier temps, Bohm rétorqua à cette analyse en précisant que l’interdépendance résultait exclusivement de la statistique. Pourtant le paradoxe EPR donnait lieu à une interprétation en termes de variables cachées, qui détermineraient parfaitement la physique. Bohm adopta subséquemment cette position et présenta sa propre théorie sur le sujet. Mais la question était loin d’être réglée car l’hypothèse des paramètres cachés souleva encore plusieurs débats, notamment le problème de la localité. En 1964, Bell démontre l’incohérence entre le formalisme des variables cachées locales et celui de la mécanique quantique. Contrairement aux hypothèses d’Einstein, les inégalités de Bell suggèrent que les conditions physiques réelles d’objet spatialement séparés ne soient pas complètement indépendants. La partie suivante traite en détails de ce sujet.


Références

J. Baggott, The meaning of quantum theory, Oxford science publications, New York, 1992, 230 pages.

D. Bohm., Quantum Theory, Prentice-Hall physics series, Englewood Cliffs, 1951, 646 pages.

D. Bohm, « A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of  ‘Hidden’ Variables I », Physical Review, volume 85, numéro 2, 1952, 166-179.

A. Einstein, B. Podolsky et N. Rosen, « Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered complete? », Physical Review, volume 47, mai 1935, 777-780.

L. Marchildon., Mécanique Quantique, De Boeck Université, Bruxelle, 2000, 524 pages.


1 A. Einstein, B. Podolsky et N. Rosen, «Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered complete?», Physical Review, volume 47, mai 1935, 777-780.
2 Jim Baggott, The meaning of quantum theory, Oxford science publications, New York, 1992, pages 112.
3 D. Bohm. Quantum Theory, Prentice-Hall physics series, Englewood Cliffs, 1951, page 622.
4 D. Bohm, « A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of  ‘Hidden’ Variables I », Physical Review, volume 85, numéro 2, 1952, 166-179.



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