QUANTIFICaTION DU CHaMP éLeCTRoMAGNéTIQUe

III. Quantification du Champ Électromagnétique: Le Photon,

par Jonathan Duquette.

 

1. Introduction

Nous situant dans un contexte de théorie de champs, nous allons maintenant considérer la quantification du champ électromagnétique. Ce système est l'un des plus importants en physique et ironiquement, malgré le fait qu'il est observable classiquement, il est également l'un des champs les plus difficiles à quantifier. Cela est dû, d'une part, au fait que les particules impliquées, les photons, ont une masse nulle au repos et d'autre part, à la nécessité d'inclure l'invariance de jauge dans le traitement de la quantification.

La méthode de Gupta-Bleuler, développée dans les années 50, est l'approche la plus courante. Elle possède la qualité d'être manifestement covariante mais l'inconvénient d'être ardue et pauvre en ce qui concerne son interprétation physique. En effet, elle abandonne la notion de probabilité définie positivement. Néanmoins, l'approche originale, appliquée au champ de Maxwell en 1929, s'avère assez simple et donne des résultats corrects. Cette méthode, appelée procédure canonique, est celle que nous utiliserons ici.

Pour bien nous faire comprendre le contenu physique du photon, il est commode de partir d'une description classique du champ. En effet, nous verrons que le concept de champ continu émerge naturellement de la description d’un système à une infinité de particules. De fait, la quantification d'un système à plusieurs corps, comme la corde non relativiste en une dimension, va nous permettre de passer naturellement au concept de champ quantique et de phonons.

Une fois cette base établie, nous développerons les équations de Maxwell sous forme relativiste et la densité lagrangienne associée. La procédure canonique comportant certaines difficultés, nous aborderons les notions d’invariance de jauge et de contraintes. Une fois les relations de commutation entre les modes normaux et la seconde quantification effectuées, nous aborderons le champ massif ainsi que les concepts de masse et de spin pour le photon.

 

Remarque préléminaire :

Nous utiliserons les unités naturelles où = c = 1 tout au long du travail.

Les indices grecs m et n varient de 0 à 3 (composantes spatio-temporelles) et les indices romains i et j de 1 à 3 (composantes spatiales).

 

2. De l'équation d'onde aux états de Fock

Sans avoir à développer le lagrangien et l’hamiltonien, nous admettrons tout de suite que le mouvement de la corde à une dimension (ici en z) satisfait l’équation d’onde 

.

La solution d’onde est donnée par

,

où L est la longueur de la corde, v la vitesse de l’onde, w la fréquence angulaire et k le nombre d’onde. Ces quantités sont reliées ainsi :

.

Cette solution, d’ailleurs très connue, respecte les conditions de normalisation et d’orthogonalité et nous permet donc de la développer en modes normaux comme suit :

où les sont choisis comme tels pour rendre les sans dimension.

Ici, toute la dépendance temporelle est située dans les coefficients qui sont en fait les modes normaux 

.

Ceux-ci se comportent comme des oscillateurs harmoniques simples indépendants satisfaisant donc l’équation harmonique

.

Ce sont eux qui deviendront les opérateurs de création et d’annihilation qui sont fondamentaux en théorie de champs.

En choisissant la relation entre les coordonnées généralisées du système et les modes normaux comme suit :

et

,

nous passons de l’hamiltonien

,

où nous reconnaissons ici les positions et les moments conjugués, à celui-ci

qui décrit l’hamiltonien en fonction des modes normaux.

Utilisons maintenant la procédure canonique pour quantifier la corde à une dimension. Tout d’abord, une théorie de champ peut être quantifiée à l’aide des modes normaux ou des champs, méthodes qui sont équivalentes.

D’une part, nous pouvons transformer les relations entre les coordonnées et les moments généralisés, sous forme de crochets de Poisson, en relations de commutation entre opérateurs. Nous n’exposerons pas ici les détails de la procédure que nous pouvons retrouver dans des ouvrages de mécanique quantique. Les relations obtenues sont 

et avec les relations ( ) et ( ), nous pouvons établir les relations de commutation entre les modes normaux comme suit

.

Ces opérateurs sont les opérateurs de création et d’annihilation mentionnés plus haut. Comme nous avons élevé les modes normaux au rang d’opérateurs, nous pouvons également le faire pour le champ

.

Maintenant que nous avons quantifié le champ à l’aide des modes normaux nous pouvons quantifier le champ à l’aide des champs eux-mêmes. Supposons que f est une variable canonique et que nous pouvons définir le moment canonique associé à partir de la densité lagrangienne £ comme suit :

.

(À noter qu’ici nous n’explicitons pas la densité lagrangienne mais nous le ferons lors de la quantification du champ électromagnétique).

Les relations de commutation canonique (ou les CCR’s) pour les champs sont alors dérivées naturellement à partir des relations de commutation entre les modes normaux

relations que l’on peut vérifier aisément. De la même façon qu’avec les modes normaux, le champ peut ainsi devenir un opérateur à partir des trois dernières relations.

Venons-en maintenant au contenu physique des opérateurs de création et d’annihilation ainsi qu’aux conclusions qu’on peut en tirer.

De la même façon que pour le champ, l’hamiltonien devient un opérateur ayant cette forme

.

Partant d’un opérateur h , dit opérateur de nombre, défini comme

et étant convaincus de son hermiticité, nous définissons une base complète d’états propres orthonormaux .

Nous obtenons ainsi l’équation aux valeurs propres suivante

.

En appliquant les opérateurs et sur cette équation, nous obtenons, après quelques manipulations, les résultats suivants

En appliquant h sur un état , nous obtenons donc le nombre j d’états qui sont dans l’état . Les deux premières relations nous indiquent, quant à elles, que nous pouvons générer tous les états à partir d’un état, dit de plus haut poids ou de vide, par des applications successives de l’opérateur de création . Cet état, noté , est obtenu en appliquant successivement l’opérateur d’annihilation jusqu’à "plafonner" à l’état

.

En effet, ces vecteurs d’état, vivant dans l’espace de Hilbert, doivent nécessairement avoir une norme positive, de là le " plafonnement ". Plus généralement, nous pouvons générer tous les états à partir du vide comme

.

C’est ici qu’entre la notion de quantas. En transformant les modes normaux en opérateurs et en vérifiant leur impact sur des états définis, nous constatons que nous pouvons passer d’un état quantique à un autre. Mais en regardant de plus près l’hamiltonien de l’équation ( ), nous constatons que l’opérateur de nombre nous donne en fait le nombre d’entités ayant une énergie w n (où ). Il est maintenant aisé de comprendre que les états représentent en fait des particules, appelées phonons dans le cas de la corde, possédant, sans le démontrer ici, une énergie et un moment propre. Les phonons peuvent par conséquent être créés ou détruits suivant le type d’opérateur appliqué. De tels états où l’on retrouve un nombre défini de phonons possédant une énergie propre sont appelés états de Fock.

 

3. Forme relativiste des équations de Maxwell et mise en place de la densité lagrangienne

Puisque le but poursuivi ici est de comprendre comment s’effectue la quantification du champ électromagnétique, nous ne nous attarderons pas sur la dérivation des équations de Maxwell sous forme relativiste. En supposant une connaissance de base en calcul tensoriel de la part du lecteur, nous pouvons passer des équations de Maxwell très connues à leur forme relativiste. Exposons dans un premier lieu les équations de Maxwell suivantes :

En posant les deux quadri-vecteurs suivants

,

où nous reconnaissons ici le potentiel scalaire f (potentiel électrique), le potentiel vecteur A, la densité de charge r ainsi que la densité de courant j, nous pouvons exprimer les équations de Maxwell sous la forme condensée suivante :

 

Rappelons, à l’aide de l’équation ( ), que le courant doit être conservé car

.

Ici, le tenseur Fm n , qui est, précisons-le, anti symétrique, s’exprime sous cette forme :

Sans le démontrer, nous retrouvons bien les équations du mouvement désirées à l’aide des équations d’Euler-Lagrange. Une fois cela assuré, nous pouvons maintenant construire la densité lagrangienne qui décrira le champ électromagnétique. Évidemment, la densité mentionnée se devra d’être un invariant de Lorentz, c’est-à-dire que tous les produits scalaires présents devront être construits à partir d’une quantité se transformant comme un quadri-vecteur contravariant et d’une autre se transformant comme un quadri-vecteur covariant. Intuitivement, nous pouvons comprendre que la densité lagrangienne, notée , sera constituée du tenseur Fm n , des potentiels et des courants. Posons et acceptons la densité lagrangienne suivante :

où le second terme représente la source du champ qui est, précisons-le, conservée. Il est à noter que cette densité lagrangienne est la même que pour un champ massif à un terme de masse près.

 

4. Contraintes présentes en quantification EM

Contrairement aux champs où la masse des bosons impliqués n’est pas nulle, le champ électromagnétique présente des caractéristiques spéciales qui rendent la tâche plus difficile lors de la quantification. Dans le formalisme canonique, il est habituel de vouloir connaître les moments conjugués au champ. Dans le cas de la corde, le champ (déplacement) était représenté par la variable f . Ici, et c’est très important, c’est le quadri-vecteur du potentiel qui occupe ce rôle. En effet, en l’absence de champ magnétique par exemple, c’est précisément le potentiel électrique qui décrit le photon et qui satisfait l’équation d’onde.

Définissons donc les moments conjugués comme dans la partie 1 

.

Si, et c’est là que le problème survient, nous calculons le moment conjugué à A0 (en fait, c’est le potentiel scalaire f mais puisque nous retrouvons la même variable dans le cas de la corde, nous utiliserons simplement A0=A0), nous obtenons

puisque la densité lagrangienne ne dépend pas de . Ceci est la première contrainte à laquelle nous sommes confrontés et nous la caractérisons comme étant une contrainte primaire (ou de première classe) puisqu’elle dépend seulement de la structure de la densité lagrangienne. Associée à cette contrainte primaire, il existe une contrainte secondaire que nous ferons que mentionner :

Mais pourquoi est-ce que cette contrainte primaire est un problème?

Rappelons-nous les commutateurs pour le champ rencontré dans la partie 1 :

Pour la quantification du champ électromagnétique, des relations de ce genre existent également. Comme , le commutateur sera lui aussi égal à zéro. Mais rappelons-nous que pour quantifier le champ, il faut transformer le champ lui-même (f dans le cas de la corde et A dans le cas du champ EM) en opérateur; si nous tentons de le faire avec la composante du champ A0, il va commuter avec tous les opérateurs et A0 deviendra un nombre pur (c-number) et non un opérateur, ce qui est inacceptable. En effet,

.

De ce fait, il y a deux façons d’approcher ce problème :

  1. Ajouter un terme au lagrangien qui contiendra une dérivée temporelle de A0 de façon à ce que et qu’ainsi le commutateur mentionné ne soit plus nul.
  2. Éliminer la quantié A0 du lagrangien en l’exprimant en fonction des autres composantes spatiales Ai.

Dans les deux cas, l’invariance de jauge sera utilisée pour nous aider.

 

5. Utilisation de l’invariance de jauge

Pour connaître l’invariance de jauge en tant que tel, je suggère au lecteur de se référer aux travaux de mes coéquipiers. Ici, nous ne ferons qu’utiliser l’invariance de jauge.

Il est connu que le quadri-vecteur Am est invariant sous une transformation de jauge, c’est-à-dire que nous pouvons écrire

est un scalaire.

Cela impose une condition sur Am qui va nous permettre d’appliquer la procédure canonique de façon à passer par-delà la contrainte mentionnée. Par contre, puisque nous avons le choix de la jauge et que ce choix est arbitraire, il nous faut " fixer " la jauge de telle sorte qu’on puisse une obtenir une solution définie pour le champ électromagnétique. En général, plusieurs jauges peuvent être utilisées :

Dans la procédure canonique que nous utilisons, il est plus aisé de travailler avec la jauge de Lorentz ou la jauge de Coulomb. Ces deux jauges sont en fait celles qui nous permettent de travailler avec les deux approches mentionnées plus tôt. La jauge de Lorentz est utilisée pour le premier problème tandis que la jauge de Coulomb est utilisée pour le deuxième problème.

Par choix, nous utiliserons la jauge de Coulomb qui est certainement celle qui fait apparaître le plus naturellement la " condition de transversalité " dont nous parlerons ultérieurement. Malheureusement, la jauge de Coulomb comporte le désavantage de ne pas être manifestement covariante. Pour faire en sorte que cette jauge soit valide dans tous les référentiels, nous devons choisir une fonction pour chaque référentiel. Les résultats obtenus de cette façon apparaîtront comme étant non covariants mais le résultat final sera quant à lui covariant. Par contre, dans des calculs de plus haute envergure, cela peut devenir un problème et un autre choix de jauge devrait être effectué.

Dans le cadre de ce travail, nous ne dériverons pas le lagrangien ni l’hamiltonien dans la jauge de Coulomb puisque nous n’aborderons pas les interactions elles-mêmes. Nous ne ferons que quantifier le champ pour mettre en évidence le photon. Par conséquent, nous utiliserons peu la jauge de Coulomb elle-même. On peut donc directement passer à la quantification du champ en généralisant le cas de la corde à une dimension.

 

6. Quantification du champ électromagnétique

Pour quantifier le champ, il faut transformer A en opérateur. Pour ce faire, il faut, comme pour la corde, déterminer et quantifier les oscillateurs harmoniques indépendants qui décrivent le champ.

De la même façon que pour la corde, nous transformons les oscillateurs indépendants (que nous appellerons pour tout de suite ) en opérateurs en imposant les relations de commutation qui sont d’ailleurs semblables à celles que nous avons rencontrées aux équations ( ) et ( ).

Maintenant, effectuons l’expansion en modes normaux du champ A. Rappelant ici la jauge de Coulomb

,

nous remarquons qu’elle impose une restriction sur les composantes spatiales de A. En fait, cela indique que le champ devra posséder deux degrés de liberté étant donné que la jauge de Coulomb induit une contrainte sur la troisième composante (elle dépend des deux autres). De plus, nous devons généraliser le cas de la corde en trois dimensions.

Reprenant l’équation du champ f

et la généralisant en trois dimensions pour un champ vectoriel (sachant qu’ici v = c = 1), nous obtenons 

Nous remarquons ici, encore une fois, les opérateurs de création et d’annihilation et qui sont associés aux oscillateurs indépendants . On somme donc sur les n=(nx, ny, nz) car l’équation satisfait, comme pour la corde, des conditions frontières périodiques en trois dimensions. D’autre part, a peut prendre deux valeurs, 1 et 2, qui correspondent aux deux degrés de liberté du champ A. On comprend mieux maintenant la place des a dans les relations de commutation plus haut. Quant aux vecteurs e , ils représentent les vecteurs de polarisation associés aux deux degrés de liberté mentionnés. De plus, en observant la jauge de Coulomb,

nous comprenons que les vecteurs de polarisation doivent être perpendiculaires à la direction de polarisation caractérisée par k. Ainsi,

.

De plus, puisqu’ils sont indépendants et qu’ils doivent être normés, nous avons

.

C’est ici que nous retrouvons la condition de transversalité puisqu’il n’existe que deux vecteurs indépendants et perpendiculaires pour chaque k.

Maintenant que nous avons obtenu les relations de commutation ( ) et l’équation ( ) du champ vectoriel devenu opérateur, nous possédons la description complète de la quantification du champ électromagnétique. Par analogie avec les phonons, nous pouvons montrer que l’opérateur de nombre nous donne le nombre de photons avec une énergie et une polarisation présents dans un état donné. De la même façon qu’avec les phonons, nous pouvons créer ou détruire des photons en appliquant les opérateurs de création et d’annihilation appropriés.

 

7. Champs massifs, masse et spin du photon

Puisque dans la prochaine section du travail, on traitera de l’interaction faible, où les bosons impliqués sont massifs, il serait intéressant de se demander quel serait l’effet d’ajouter un terme de masse à la densité lagrangienne £. Pour ce faire, nous n’utiliserons pour l’instant qu’un paramètre réel quelconque m. Nous pourrons montrer par la suite que ce paramètre correspond bien à la masse du photon. Définissons donc la nouvelle densité lagrangienne £m comme étant

.

 À partir de ce lagrangien, les équations du mouvement deviennent maintenant

,

équations que l’on appelle " équations de Proca ". Si nous appliquons la divergence spatio-temporelle des deux côtés de l’équation, nous obtenons

.

Puisque la source est conservée et que est anti-symétrique, nous obtenons

.

Cette dernière équation nous démontre en partie pourquoi le champ électromagnétique est plus difficile à quantifier. Étant donné qu’ici la masse n’est pas nulle (, nous obtenons nécessairement

qui est la jauge de Lorentz précédemment rencontrée. Cela implique que, contrairement au champ non massif où l’on devait fixer une jauge parmi d’autres, la jauge de Lorentz apparaît nécessairement comme une contrainte pour un champ massif et le choix n’a pas à être fait. En fait, on dit que le terme de masse n’est pas invariant de jauge.

Montrons maintenant que le paramètre m est bien la masse du photon.

Reprenons l’équation ( )

.

À l’aide de la condition de Lorentz et des équations ( ), transformons le premier terme

Sachant que l’opérateur de d’Alembert est défini comme

= m m

nous pouvons réécrire les équations du champ ainsi 

( +

qui est la fameuse équation de Klein-Gordon qui décrit les bosons.

Nous pouvons démontrer que s’il n’y a pas de source, la solution de cette équation sera celle de l’onde plane 

=

est un vecteur de polarisation unitaire et c0 une constante de normalisation. N’oubliant pas le fait que k dans l’expression précédente est le quadri-vecteur énergie-impulsion et que dans notre cas k2 = m2, nous obtenons

ce qui indique bel et bien que m représente une masse. Maintenant que nous avons démontré brièvement les différences entre les champs massif et non massif en ce qui concerne l’invariance de jauge, nous allons montrer que la masse du photon est nulle et discuter de son spin.

Réécrivons la condition de Lorentz dans l’espace des impulsions

Si nous imposons cette dernière équation dans la solution ( ), nous obtenons

.

Pour une particule vectorielle qui obéit à l’invariance de jauge, il existe trois degrés de liberté indépendants comme nous pouvons le voir dans l’équation précédente. Admettant ici le fait que la particule en question possède un spin 1 (démonstration faite dans les documents mentionnés dans la bibliographie), on comprend que celle-ci peut se trouver dans trois états de spin (direction de propagation : z)

.

Par contre, les équations du champ impliquent une autre contrainte

.

C’est-à-dire que l’invariance de jauge par l’intermédiaire de la condition de Lorentz nous mène à considérer que la masse du photon est nulle car . De plus, cela fait en sorte d’éliminer un degré de liberté et nous permet donc d’affirmer que le photon possède deux états de spin Jz = ± 1, l’état Jz = 0 étant éliminé. Munis de la condition de transversalité (10) et des derniers résultats, nous pouvons donc affirmer que les seules composantes non-nulles du vecteur de polarisation du photon sont les composantes transverses décrites par les états de spin Jz = ± 1.

 

8. Conclusion

Dans cette deuxième partie, nous avons traité de la quantification du champ électromagnétique dans le contexte d'une théorie de champ. Pour ce faire, nous avons procédé par analogie en traitant le cas de la corde non relativiste en une dimension. Cela nous a mené au concept d'état de Fock et de phonons. Après avoir discuté du caractère physique de ceux-ci, nous avons établi les équations de Maxwell sous forme relativiste et procédé à la quantification du champ associé. Certaines contraintes sont apparues et un choix de jauge a dû être fait pour contrer ce problème. L'utilisation de l'invariance de jauge a permis de donner une description de certaines propriétés du photon comme sa masse et son spin. Finalement, une comparaison entre champs massifs et non-massifs nous a permis de comprendre la difficulté d'effectuer la quantification du champ électromagnétique par rapport aux autres champs.

 

 

K Retour à la page d'accueil