Introduction à l'éLeCTRoDYNAMIQUe QUANTIQUe

 

II. L'Électrodynamique Quantique, par Olivier Gagnon.

 

1. Introduction

Il appert que l’électrodynamique quantique est l'une des théories physiques les plus efficaces. Elle englobe et explique plusieurs phénomènes ; les prédictions qu’elle réalise sont en accord avec les expériences. Nous tenterons ici d’introduire les connaissances qui permettent de relier les phénomènes que nous observons dans la vie de tous les jours aux éléments de cette théorie. De cette façon, nous désirons guider le néophyte vers une compréhension partielle de cette théorie afin de bien cerner, à tout le moins, ce que l’électrodynamique quantique peut bien apporter de plus à des phénomènes que nous pouvions déjà expliquer d’une autre façon. Le lecteur plus au fait des différentes notions physiques (les passages qui exigent des connaissances acquises lors d’études de baccalauréat en physique seront en italiques) se verra dirigé vers un outillage plus complet qui lui permettra d’apprécier les trois parties subséquentes. Partant de la vulgarisation de Feynman ("Lumière et matière ; une histoire étrange"), nous désirons effectuer le lien entre cette approche pour public non averti et l’électrodynamique quantique telle qu’elle est enseignée à l’université. Nous espérons que chacun des deux publics en retirera quelque chose.

 

  1. L’Approche
  2. 2.1. Forces fondamentales

    À ce jour, la Nature semble être gouvernée par quatre forces : la gravité, l’électromagnétisme, l’interaction faible et l’interaction forte. Plusieurs physiciens cherchent présentement à représenter ces quatre forces comme quatre aspects différents d’une même force unificatrice. En attendant, associons quelques phénomènes aux différentes forces et nous comprendrons mieux pourquoi Feynman se plaisait à dire que l’électrodynamique quantique expliquait presque tout. Parlons tout d’abord de la gravité. C’est une force attractive qui se manifeste dès que quelque chose possède une masse. L’étude du mouvement des corps (la mécanique) y est reliée. Einstein nous a fourni la théorie la plus complète de la gravité, à savoir, la relativité générale. La gravité explique donc des phénomènes du genre "la Terre tourne autour du Soleil" et permet des activités tel le plongeon, le saut en parachute ou le ski alpin. Présentons maintenant deux interactions qui sont particulièrement présentes à l’intérieur du noyau des atomes. L’interaction forte est responsable de la cohésion du noyau (protons et neutrons restent liés) ainsi que sur la cohésion interne de ces mêmes particules (l’interaction forte gouverne la cohésion des quarks, particules élémentaires qui constituent protons et neutrons). La théorie qui s’y rattache est peu ou prou calquée sur l’électrodynamique quantique (ce n’est pas une théorie modèle sans raison). L’autre interaction présente à l’intérieur des noyaux est l’interaction faible : elle engendre différents phénomènes de radioactivité et est la seule qui peut agir sur les neutrinos. Les tenants et les aboutissants de la théorie qui s’y rattache sont présentés au chapitre 3. Ne reste plus que l’électromagnétisme pour engendrer tous les phénomènes restants.

    Figure I : vers l’unification des forces

    *d’après Crozon, l’Univers des Particules

     

    2.2 Lumière et matière

    Comme l’a si bien dit Feynman, l’électrodynamique quantique est la théorie qui traite des interactions entre photons (particules de lumière) et électrons (constituants les plus mobiles d’un atome). Elle unifie trois champs de la physique qui, à l’origine, étaient considérés distincts : optique, électricité et magnétisme. Oersted réalisa la première unification en constatant qu’un changement de courant affectait l'aiguille d'une boussole (l’électricité et le magnétisme étaient donc reliés). Maxwell apporta ensuite sa contribution en proposant que la lumière était associée au champ électromagnétique, confirmé par Hertz : il posa les quatre relations qui constituent les bases de l’électromagnétisme. Aux lecteurs qui souhaitent effectuer une incursion dans le monde de l’électromagnétisme classique nous conseillons les ouvrages de Serway (pré-universitaire) et de Cheng (baccalauréat). Nous pouvons maintenant exposer une liste non exhaustive des différents phénomènes ou inventions qui sont générés par l’interaction électromagnétisme : la vision humaine, les couleurs, le courant électrique qui alimente une panoplie d’appareils domestiques, la télévision, le téléphone, les processus chimiques et, par la même occasion, les processus biologiques (l’influx nerveux est un courant d’électrons). Terminons cette présentation succincte de l’électromagnétisme en mentionnant que différents physiciens ont réussi à exprimer l’interaction électromagnétique et l’interaction faible comme étant deux facettes d’une même force : ce sera le sujet du chapitre 4.

     

    2.3 Ce que l’électrodynamique quantique apporte de plus que Maxwell

     

    À partir de ce point, nous tentons de présenter les différentes connaissances ou, à tout le moins, guider le lecteur vers les sources de connaissances nécessaires à une compréhension de l’électrodynamique quantique (et d’une meilleure appréciation des chapitres 2, 3 et 4). Le titre de cette section devrait nous hanter tout au long du processus. Nous tenterons, en effet, une réflexion constante sur la nécessité de l’électrodynamique quantique. Voilà quelques fois déjà que le mot est lancé : nous avons affaire à une théorie quantique. Cette révolution du début du XXe siècle, réalisée par d’éminents physiciens tels Planck, Bohr, Heisenberg, Dirac, Shroedinger a affecté tous les domaines de la physique. Faisant face à différents problèmes que la physique classique ne pouvait résoudre, ils ont proposé des hypothèses, alors ad hoc, qui se sont avérées, par la suite, particulièrement fondées. Nous suggérons ici plusieurs ouvrages qui traitent de mécanique quantique, leur consultation est nécessaire pour qui veut saisir la plupart des passages en italique : Feynman, Lectures on Physics (approche conceptuelle) ; Eisberg et Resnick (introduction à la physique quantique) ; Cohen-Tannoudji et al. , Marchildon, Peleg et al. (mécanique quantique à proprement parler). Notons d’ailleurs au passage qu’à ce jour, seule la gravité, parmi les quatre forces fondamentales, n’a pas de formulation quantique satisfaisante qui y est associée. Nous visons donc, à partir d’ici : à présenter les points de vue propres à la physique quantique ; à démontrer que l’électrodynamique quantique permet d’obtenir les résultats fiables qu’obtenait déjà l’électromagnétisme ; à souligner les problèmes que résout de manière novatrice l’électrodynamique quantique.

     

  3. La Chose en soi

 

3.1 Combinaison des flèches

La physique quantique est probabiliste contrairement à la physique classique qui est, elle, déterministe. Cela signifie qu’il est impossible de prédire avec certitude l’état final d’un système : tout ce qu’il nous est possible de connaître sont les différentes probabilités associées aux différents résultats. C’est état de fait est très bien exprimé par le principe d’incertitude d’Heisenberg : nous ne pouvons connaître simultanément la position et la vitesse d’une particule. La Nature semble interdire l’accès aux conditions initiales ce qui nuit grandement au cheminement déterministe : conditions initiales, processus, conditions finales. Le problème naît du fait qu’il nous est impossible de connaître les conditions initiales d’un système manifestant des comportements quantiques. Feynman est probablement un de ceux qui ont le mieux illustré le caractère probabiliste de la physique quantique. Il se plaisait à dire que le physicien s’amusait à combiner différentes flèches sur une feuille de papier afin de prédire les résultats d’une expérience.

 

3.2 Règles du jeu

Nous présentons ici les règles du jeu de flèches telles que définies par Feynman. Nous nous amuserons par la suite à interpréter les différentes règles à la lumière de ce qu’un étudiant en physique pourrait apprendre au baccalauréat. Le principe fondamental est le suivant : la probabilité qu’un événement se produise est donnée par le carré de la longueur d’une flèche caractérisant l’événement. La règle générale, qui explique comment construire la flèche associée à un événement qui se produit selon différentes modalités, est la suivante :

chaque modalité est représentée par une flèche qui lui est propre ;

joindre la queue de la deuxième flèche à la tête de la première, la queue de la troisième à la tête de la deuxième, ainsi de suite ;

la flèche représentant l’événement global est celle que nous traçons entre la queue de la première flèche et la tête de la dernière.

Le lecteur initié aura bien sûr saisi que chaque flèche représente une fonction d’onde solution de l’équation aux valeurs propres caractéristique de la modalité étudiée. Le principe fondamental stipule tout simplement que la probabilité d’un événement est liée à l’amplitude de la fonction d’onde élevée au carré. Quant à la règle générale, elle permet de rendre compte des différents phénomènes d’interférences. En prenons comme exemple l’expérience de Young, nous nous rappelons que l’intensité (amplitude au carré) en un point de l’écran est donnée par la somme des différentes contributions correspondant aux trajets différents suivis par les photons.

 

3.3 L’Optique vue par l’électrodynamique quantique

Pour une optique classique, voir Auger et al. (pré-universitaire) et Hecht (baccalauréat).

Figure II : réflexion par un miroir

 

*d’après Feynman, Lumière et matière ; une histoire étrange

 

Comme l’électrodynamique quantique est une version améliorée de l’électromagnétisme, nous sommes en droit de nous attendre à ce que les phénomènes lumineux usuels et les lois classiques qui représentent bien ce que nous observons puissent être expliqués par l’électrodynamique quantique. C’est bien le cas et nous allons appliquer la méthode de Feynman pour en fournir un exemple. Attaquons-nous à la réflexion de la lumière par un miroir. Ceux d’entre vous dont la mémoire est la plus fiable se rappellent sûrement que, lors d’une réflexion, l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion (ou ce qui revient à la même chose, la lumière préfère le parcours de temps minimal) : c’est une loi classique que les physiciens ont pu établir suite à de nombreuses expériences. Nous tenterons donc d’obtenir le résultat précédent en utilisant les différentes règles énoncées plus haut. Chaque photon peut se rendre de la source au détecteur par un chemin différent. À chaque chemin, nous associons une flèche de longueur similaire mais d’orientation différente. En se référant à la représentation exponentielle d’une fonction d’onde, on associe la longueur de la flèche à l’amplitude et l’orientation à la phase. En soit, l’amplitude n’est pas la même pour les différents chemins, mais la variation est minime pour les trajets étudiés ici. La variation de phases est ici beaucoup plus significative.

(1) Y(t) = A exp[-iq(t)]

L’orientation de la flèche est fonction de la durée du trajet. Pour déterminer la flèche finale, il suffit d’additionner chacune des flèches intermédiaires. La présence d’une flèche finale non nulle nous permet d’affirmer que la réflexion se produit. De plus, nous notons que les contributions principales proviennent des chemins suivant un temps minimal. Nous obtenons donc le même résultat que la loi classique.

 

3.4 Séquences de base

Il est maintenant temps de passer aux choses sérieuses : quelles sont les séquences de base qui nous permettent de construire n’importe quel événement relatif à l’électrodynamique quantique ? Ce n’est pas particulièrement complexe, vous allez voir :

  1. un photon se déplace du point A au point B (P(A à B));
  2. un électron se déplace du point A au point B (E(A à B)) ;
  3. un électron émet ou absorbe un photon (couplage j). À chaque séquence est associée une flèche caractéristique.

(2) P(A à B) = f(I) = f((X2-X1)2-(t2-t1)2)

Nous reconnaissons ici des éléments de relativité restreinte. Pour un photon qui se déplace à la vitesse de la lumière, I = 0. Nous nous doutons bien que la probabilité qu’un photon se déplace à une vitesse inférieure ou supérieure est faible, mais il faut en tenir compte lorsque nous étudions des processus qui se produisent sur de petites distances. Nous verrons plus loin différentes expressions de P(A à B) beaucoup plus pratiques pour le physicien.

(3) E(A à B) = P(A à B) + P(A à C) x n2 x P(C à B) + P(A à D) x n2 x P(D à E) x n2 x P(E à B) + …

C ‘est l’expression qui s’applique à un électron factice de spin 0. Nous sommons ici différents trajets effectués par escale : le 1er terme est le trajet sans escale ; le 2e terme, avec escale en C; le 3e terme avec escales en D et E ; ainsi de suite. Feynman aimait bien présenter n comme étant un paramètre ajouté afin d’obtenir les bonnes réponses. Nous verrons plus tard quels maux de tête il a causés à plusieurs physiciens.

(4) Couplage : j = -0,08542455

Feynman utilise ici j = -(a)1/2

a (1/137,03597) est la constante de structure fine, c’est cette constante qui apparaît habituellement dans les différents calculs en électrodynamique quantique.

 

3.5 Représentation d’une réaction simple

Nous présentons ici deux éléments de théorie importants : la représentation graphique d’un événement par ce qu’on appelle maintenant les diagrammes de Feynman ; quelques techniques de calcul de probabilité. Feynman fut, de fait, le premier à représenter les réactions entre photons et électrons par des diagrammes espace-temps qui nous aident à bien envisager tous les événements possibles. Le déplacement d’un photon est y représenté par une ligne ondulée (nous utiliserons ici une ligne rouge), le déplacement d’un électron par une ligne droite (nous utiliserons ici une ligne noire) et le couplage photon-électron par la jonction d’une ligne ondulée et d’une ligne droite. Représentons donc le déplacement de deux électrons par un diagramme de Feynman et explicitons la façon de déterminer la probabilité associée à l’événement.

Figure III : les deux diagrammes de Feynman associés aux déplacements de deux électrons

*d’après Feynman, Lumière et Matière ; une histoire étrange

La première étape lors de l’analyse d’une situation consiste à déterminer toutes les possibilités et leur représentation graphique. Dans le cas qui nous intéresse, deux électrons peuvent se déplacer de deux façons différentes : 1 à 3 et 2 à 4 ; 1 à 4 et 2 à 3. Lorsque deux séquences de base doivent se produire pour que l’objectif soit atteint, nous multiplions les deux flèches associées à chacune des séquences de base.

(5) Flèche associée au 1er diagramme : E(1 à 3) x E(2 à 4)

(6) Flèche associée au 2e diagramme : E(1 à 4) x E(2 à 3)

La flèche finale est donnée par la somme de toutes les modalités, à savoir :

(7) Flèche finale : E(1 à 3) x E(2 à 4) + E(1 à 4) x E(2 à 3)

 

3.6 Moment magnétique de l’électron

Une des grandes réalisations de l’électrodynamique quantique est de prédire la valeur de différentes quantités à une précision toujours plus intéressante. La réponse d’un électron à un champ magnétique externe, communément appelée le moment magnétique de l’électron, est une de ces quantités. Elle nous servira d’exemple pour illustrer comment se construit une prédiction en électrodynamique quantique. Dirac réalisa la première étape du calcul. Le diagramme de Feynman correspondant à la situation étudiée par Dirac est le suivant :

Figure IV : approximation de Dirac

*d’après Feynman, Lumière et Matière ; une histoire étrange

Un électron se déplace de 1 à 2 en absorbant le photon émis par un aimant. La flèche finale représentant ce processus est donc donné par

(8) Flèche Dirac : E(1 à C) x j x E(C à 2)

Il obtint une valeur de 1 (1 fois la perméabilité du vide).

Un problème survint rapidement : l’événement imaginé par Dirac n’était pas la seule possibilité de représenter la situation étudiée. Le scénario suivant n’avait pas été analysé : l’électron se déplace tout bonnement jusqu’à ce qu’il émette un photon, continue sa progression, rencontre le photon de l’aimant, absorbe le photon précédemment émis pour terminer sa course au point 2.

Figure V : approximation de Schwinger

*d’après Feynman, Lumière et Matière ; une histoire étrange

La flèche représentant ce processus est donc (le premier a effectué ce calcul fut Schwinger) :

(9) Flèche de Schwinger : E(1 à A) x j x P(A à C) x E(A à B) x j x E(B à C) x j x E(C à 2)

En additionnant, les flèches de Dirac et de Schwinger, nous obtenons une valeur beaucoup plus précise (1,00116) du moment magnétique de l’électron. La prochaine question à se poser est la suivante : est-ce que l’électron peut émettre et absorber deux photons le long de son chemin ? La réponse étant oui, vous devinez sûrement quels moyens employer pour atteindre une meilleure précision. De par sa nature itérative, le calcul par électrodynamique quantique nous permet d’obtenir la précision voulue. Malheureusement, le nombre de diagrammes de Feynman à considérer augmente avec le nombre de photons intermédiaires. Initialement, il a fallu deux ans aux physiciens pour calculer la correction à deux photons (et il n’y avait que quatre diagrammes à étudier).

 

3.7 Nature d’une interaction quantique

Figure VI : interaction électromagnétique entre deux particules

Notons, tout d’abord, qu’une interaction quantique est définie comme étant l’échange d’un médiateur (les particules qui remplissent ce rôle sont appelées bosons) entre deux particules. Dans le cas illustré ici, deux particules de même charge se repoussent par l’entremise d’un photon. Cette conceptualisation est bien différente de la représentation classique qui veut que la charge 1 soit influencée par le champ électrique créé par la charge 2 et que la charge 2 soit influencée par le champ électrique créé par la charge 1. Nous cherchons maintenant à obtenir une expression pour P(1 à 2) qui nous permette de retrouver les résultats classiques de Rutherford quant à la section efficace impliqués dans ce processus. Rutherford a, en effet, étudié ce genre de processus en bombardant des noyaux d’atomes (chargés positivement) avec des particules alpha (chargées positivement). Nous utilisons le système d’unités naturelles (c = h / (2p) = 1). Différentes notions de relativité restreinte et de mécaniques quantiques peuvent être consultées sur ce site (notes de cours Mécanique classique I et Physique des particules).

L’équation 10 est l’équation de Klein-Gordon qui décrit le mouvement d’un boson libre (Y(p) est une fonction scalaire). L’équation 11 est une relation que respecte la fonction de Green G(p) dans l’espace des impulsions ; elle nous permet d’exprimer la fonction de Green dans cet espace (équation 12). Feynman interprète la fonction de Green comme étant une amplitude de probabilité que le boson se déplace du point 1 au point 2 avec une impulsion p. Pour obtenir P(1 à 2), il faut tenir compte de la masse nulle du photon.

(14) P(1 à 2) = i / (p2)

(15) Flèche finale : j x P(1 à 2) x j

où le couplage est proportionnel à la charge d’un électron

(16) amplitude proportionnelle à e2/p2

(17) probabilité = section efficace est proportionnelle à e4/p4

Ce qui correspond bien au résultat obtenu par Rutherford. Voilà donc un autre exemple où l’électrodynamique quantique retrouve les résultats valides de théories classiques.

 

4. Le Formalisme

 

4.1 Théorie quantique des champs

Comme le laisse suggérer la dernière intervention quelque peu parachutée, nous allons maintenant suivre une ligne directrice plus formelle afin d’introduire des concepts qui seront utiles à la compréhension des chapitres à venir. La première étape consiste à situer l’électrodynamique quantique à l’intérieur de l’environnement théorie quantique des champs. Un champ classique peut être défini comme un système mécanique qui décrit les conditions physiques en tout point de l’espace-temps. Le pendant quantique de la chose est un ensemble complet d’opérateurs qui décrivent les conditions physiques en tout point de l’espace-temps. Les opérateurs ne sont pas nécessairement des observables, mais il faut reconnaître l’utilité de la chose. Les observables, étant des opérateurs hermitiques donc possédant des valeurs propres réelles, correspondent à des propriétés physiques que nous pouvons mesurer expérimentalement. Les observables particulièrement prisées en théorie des champs sont reliées aux moments linéaires et angulaires.

 

4.2 Construction de l’électrodynamique quantique

La procédure consiste à quantifier les champs de radiation et spinoriels séparément, pour ensuite les coupler. Les équations du champ de radiation sont obtenues par l’utilisation d’un potentiel vecteur pouvant subir une transformation de jauge (nous reviendrons sur les transformations de jauge plus tard). Ensuite, nous pouvons obtenir les expressions des règles de commutation et des opérateurs d’impulsion. Une solution sous forme d’ondes planes ainsi que les règles de commutation relatives aux amplitudes de ces ondes planes (les mêmes règles que pour l’oscillateur harmonique) peuvent aussi être développées. Finalement, il est possible d’obtenir le vecteur d’état du vide. Le champ de radiation étant dénué de masse, sa quantification demande des précautions particulières que prévoit la méthode de Gupta-Bleuler. Cette quantification sera étudiée en détail au prochain chapitre. Quant au champ spinoriel, l’équation qui y est associée est l’équation de Dirac. Les opérateurs du champ ne sont pas directement des observables mais différentes combinaisons de ces opérateurs se transforment comme des tenseurs. La quantification nous permet d’obtenir les opérateurs d’impulsion, une solution sous forme d’ondes planes ainsi que les règles de commutation associées à ses ondes planes. Le vecteur d’état du vide est toujours présent. Nous voulons attirer l’attention du lecteur sur la facilité avec laquelle nous pouvons exprimer différentes situations avec un formalisme similaire. Lorsque nous permettons une interaction entre ces deux champs, nous obtenons un terme d’interaction qui apparaît à l’intérieur des équations de champ sous la forme d’un terme de couplage recevant des contributions de chacun de deux champs. Le terme de couplage doit respecter les deux conditions suivantes : les champs couplés doivent satisfaire les équations de Maxwell à la limite classique ; le postulat d’invariance relativiste doit être respecté.

 

4.3 Invariance et symétrie

Plusieurs théories physiques sont fondées sur différents principes d’invariance et de symétrie. La recherche de théories unifiées suit particulièrement ce jalon en tentant de bâtir de nouveaux modèles qui mettent en valeur les différentes symétries de la Nature. Il semble tout à fait pertinent de souligner les différents principes d’invariance auxquels obéit l’électrodynamique quantique.

 

a) Invariance sous transformations de Lorentz

Le premier principe est une invariance sous les transformations de Lorentz. Cela revient à dire que l’électrodynamique quantique est une théorie respectant la relativité restreinte. Les quantités conservées sont ici l’énergie, l’impulsion linéaire et l’impulsion angulaire. Un système électromagnétique est donc symétrique selon une translation ou une rotation. Donc, peu importe où se situe notre expérience, peu importe son orientation par rapport à un point de référence, les lois de l’électrodynamique quantique devraient rester les mêmes.

 

b) Invariance sous transformations de jauge

Définissons maintenant une transformation de jauge :

  1. Al(x) ® Al’(x) =Al(x) + dlL(x)

19. Y(x) ® Y’(x) = Y(x)e(-ieL(x))

L(x) est un nombre complexe arbitraire satisfaisant :

20. dµdµL(x) = 0

Malgré l’aridité que nous ne pouvons bien apprécier sans une base en calcul tensoriel (nous conseillons Kay), il est important de connaître la particularité d’une transformation de jauge. Les nouveaux champs satisfont les mêmes équations et les mêmes règles de commutation que les précédents. Il est intéressant de connaître les opérateurs qui sont invariants sous une transformation de jauge puisqu’ils donnereront les mêmes résultats peu importe la jauge choisie : les opérateurs définissants le champ électromagnétique quantique sont bien sûr invariants, de même que les opérateurs densité de courant. Les opérateurs d’impulsions linéaires et angulaires ne sont pas des opérateurs invariants sous transformation de jauge, mais la prédiction physique (expectation value) effectuée à l’aide de ces opérateurs l’est.

 

c) Inversion spatiale, inversion temporelle et conjugaison de charge

L’inversion spatiale consiste essentiellement à effectuer une réflexion dans un miroir.

(21) xi’ = -xi, x0’ = x0 i = 1,2,3

où xi correspondent aux trois coordonnées spatiales et x0 à la coordonnée temporelle

L’opérateur correspondant à l’inversion spatiale est l’opérateur de parité. Quant à l’inversion temporelle, elle correspond à un retour dans le temps (on remplace t par –t dans les équations). Une invariance sous inversion du temps veut que les lois de la physique soient les mêmes pour un processus partant d’un état initial et atteignant un état final que pour un processus partant de l’état final et retrouvant l’état initial, à rebours dans le temps. Finalement, la conjugaison de charge remplace une particule par son antiparticule. Les interactions électromagnétiques sont invariantes sous chacune de ces transformations. Certaines violations par d’autres interactions ont conduit les physiciens à postuler que le principe de symétrie devait être une invariance sous CPT. C’est-à-dire qu’une application successive des trois opérateurs sur un système devrait le laisser invariant.

 

4.4 Matrice et opérateur de diffusion

Nous chercherons ici à définir ce que nous appellerons S (pour scattering), matrice ou opérateur de diffusion. Le rôle de S est de transformé les états de diffusion initiaux en états de diffusion finaux (comme tout bon opérateur, d’ailleurs). Pour ceux qui se souviennent des principes de base de la mécanique quantique et de nos discussions précédentes, c’est S qui nous permet d’obtenir les probabilités associées aux différentes flèches de Feynman. Il n’existe pas de solutions exactes pour le résultat de l’application de l’opérateur S. Nous utilisons plutôt un processus itératif, celui-là même illustré à la rubrique Moment magnétique de l’électron. La matrice S est donc composée d’éléments qui représentent les trois séquences de base.

 

4.5 Divergences

Les physiciens ont très vite rencontré des problèmes en tentant de calculer différentes quantités. Il semble en effet que la méthode par itérations conduise à des divergences (infinis ou ambiguïtés). Ils se sont alors demandés si ces difficultés étaient causées par la méthode d’approximation utilisée ou bien si elles étaient dues à la structure de la théorie. Källen a démontré la validité de la deuxième hypothèse. Il est possible d’obtenir une réponse finie lors du calcul des éléments de matrice S aux premiers ordres. La situation se complique et les divergences surgissent aux ordres supérieurs. Il est ici intéressant de classifier les divergences selon différentes catégories; la façon de les résoudre est différente. La première catégorie est constituée des divergences associées à la description du vide. Elles sont créées par la multiplication sur chaque élément de la matrice S d’une même phase infinie. Comme ce facteur n’amène aucun effet observable (les effets observables sont exprimés par le module des éléments de matrice), il peut tout simplement être ignoré. La deuxième catégorie correspond aux divergences infrarouges. Elles sont entièrement issues du traitement mathématique utilisé afin de déterminer les solutions du champ. Un traitement plus rigoureux évite cet écueil. La troisième catégorie est composée des divergences associées à certaines boucles fermées. Une utilisation judicieuse des propriétés d’invariance de jauge permet de les éliminer.

 

4.6 Renormalisation

Les divergences sérieuses, constituant la dernière catégorie, se résolvent maintenant grâce à la contribution de Feynman, Schwinger et Tomanaga (Prix Nobel 1965 pour cette raison, d’ailleurs). La procédure développée est appelée renormalisation de la masse et de la charge. L’opération se déroule en deux étapes : 1) nous séparons les parties infinies et finies (observables) des éléments de matrice ; 2) les parties infinies sont remplacées par une combinaison de la masse et de la charge de l’électron. Si nous retournons aux séquences de base présentées plus tôt, nous notons que les nombres n et j conduisent aux divergences sérieuses. Le défi est donc de remplacer les infinis engendrés par n et j par la bonne combinaison de masse et de charge de l’électron.

 

5. Conclusion

Ici se termine notre survol de l’électrodynamique quantique. Nous avons tenté de réduire le formalisme mathématique au minimum tout en référant le lecteur à différents ouvrages qui permettent de se familiariser avec les différents outils. Nous aimerions rappeler ici les différentes réussites de l’électrodynamique quantique que nous avons présentées précédemment. La première est le traitement de la réflexion dans un miroir. Nous voulions illustrer par cet exemple que l’électrodynamique quantique retrouvait les résultats que nous observions dans la vie de tous les jours. La deuxième réussite est le traitement des sections efficaces de Rutherford qui illustre que l’électrodynamique quantique peut retrouver des résultats classiques plus étoffés. La troisième, finalement, a été illustrée ici par le moment magnétique de l’électron ; elle représente l’apothéose de l’électrodynamique puisqu’elle est considérée comme une théorie modèle étant donné la précision de ses prédictions. Nous nous permettons maintenant de guider le lecteur à travers les prochains chapitres : chapitre 2) un traitement formel et mathématique de la quantification du champ électromagnétique dont les grandes lignes ont été présentées ici, cœur sensible s’abstenir; chapitre 3) l’interaction faible y est présentée ; chapitre 4) nous goûtons à la théorie électrofailbe et à tous ses prérequis conceptuels.

 

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